积分方法、无穷级数与单变量微积分综合

原函数计算是求导法则的反向识别

微积分基本定理把定积分化为原函数的端点差，却没有保证每个连续函数的原函数都能写成有限个初等函数。例如 $e^{-x^2}$ 在实数上连续，定积分存在，但它的原函数不能用多项式、指数、对数、三角函数及有限次代数组合表示。积分计算因此包含两项判断：先确认积分对象和收敛条件，再判断是否存在适合的解析方法；没有初等原函数时，应保留积分记号或使用带误差说明的数值近似。

常见积分技巧来自求导法则的逆向使用。链式法则对应换元法，乘积法则对应分部积分，有理函数的因式结构对应部分分式。方法名称不能替代结构检查：换元需要同时匹配内层函数与其导数；分部积分需要选择能够简化的因子；部分分式要求分母已经在所用数域中正确分解。

三类基本积分结构

设被积函数在所讨论区间上有定义。

1. 若被积式含 $f(g(x))g'(x)$，优先检查换元 $u=g(x)$；
2. 若被积式是两类函数的乘积，且其中一项求导后简化、另一项容易积分，检查分部积分；
3. 若被积式是有理函数 $P(x)/Q(x)$，先做多项式除法，再按 $Q$ 的实因式进行部分分式分解。

这些规则给出候选路线，不保证得到初等原函数。每一步仍需对所得表达式求导，核验是否恢复原被积函数。

换元法匹配复合函数的内层微分

设 $F'=f$，$g$ 可导。链式法则给出

反向读取便得到

对定积分，若 $g\in C^1([a,b])$，且 $f$ 在包含 $g([a,b])$ 的区间上连续，则复合函数与乘积都连续，并且

这个公式不要求 $g$ 单调；其依据是两边都等于 $F(g(b))-F(g(a))$。若在定积分中改用新变量，积分元和上下限要同时改写。若保留原上下限，则必须在求出原函数后换回 $x$，不能让同一个积分中混用 $u$ 与 $x$ 的边界。

换元后的上下限同时变化

计算

$$\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm dx.$$

分母 $1+x^2$ 的导数是 $2x$，令 $u=1+x^2$，则 $\mathrm du=2x\,\mathrm dx$。原端点 $x=0,1$ 分别映射到 $u=1,2$，所以

$$\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm dx =\int_1^2\frac1u\,\mathrm du =\left[\ln u\right]_1^2 =\ln2.$$

结果为正，且被积函数在 $[0,1]$ 上介于 $0$ 与 $1$ 之间，因此积分落在 $[0,1]$ 内；$\ln2\approx0.693$ 符合这一范围。对 $\ln(1+x^2)$ 求导也会恢复原被积函数。

分部积分把乘积法则倒置

若 $u,v\in C^1([a,b])$，乘积微分公式

在区间上积分后整理为

常用记号是 $\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du$。选择 $u$ 与 $\mathrm dv$ 的依据是右侧新积分应比原积分更直接。对数和反三角函数通常选作 $u$，因为求导后结构简化；多项式与指数、正弦或余弦相乘时，常让多项式接受求导。若新积分更复杂，原选择没有提供进展。

分部积分与代数化简共同完成定积分

计算

$$I=\int_0^1x\ln(1+x)\,\mathrm dx.$$

取 $u=\ln(1+x)$、$\mathrm dv=x\,\mathrm dx$，则 $\mathrm du=\mathrm dx/(1+x)$、$v=x^2/2$。分部积分给出

$$I=\left[\frac{x^2}{2}\ln(1+x)\right]_0^1 -\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,\mathrm dx.$$

多项式除法得到

$$\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac1{1+x}.$$

因此

$$\begin{aligned} I &=\frac12\ln2 -\frac12\left[\frac{x^2}{2}-x+\ln(1+x)\right]_0^1\\ &=\frac12\ln2-\frac12\left(-\frac12+\ln2\right) =\frac14. \end{aligned}$$

被积函数在 $[0,1]$ 上非负，且不超过 $\ln2$，所得 $1/4$ 位于 $[0,\ln2]$ 内。把分部积分所得不定式求导，乘积项与剩余积分项会消去额外部分，恢复 $x\ln(1+x)$。

部分分式按分母因式逐层展开

有理函数 $P/Q$ 先比较次数。若 $\deg P\ge\deg Q$，先做多项式除法，把它写成多项式与真分式之和。对实系数真分式，分母分解成一次因式与不可约二次因式。重复一次因式 $(x-a)^m$ 对应

不可约二次因式的每一幂次使用一次多项式分子。系数由通分后比较多项式系数或代入适当数值求得。分解完成后，一次因式产生对数项，二次因式经过配方后产生对数或反正切项。

线性因式分解后的端点检查

计算

$$\int_0^2\frac{1}{x^2+3x+2}\,\mathrm dx.$$

分母分解为 $(x+1)(x+2)$，并且

$$\frac1{(x+1)(x+2)} =\frac1{x+1}-\frac1{x+2}.$$

于是

$$\begin{aligned} \int_0^2\frac{\mathrm dx}{x^2+3x+2} &=\left[\ln(x+1)-\ln(x+2)\right]_0^2\\ &=\ln3-\ln4+\ln2 =\ln\frac32. \end{aligned}$$

区间上分母为正，被积函数从 $1/2$ 降到 $1/12$，积分应为正且小于 $2\cdot1/2=1$；$\ln(3/2)\approx0.405$ 满足估计。对数绝对值在本区间内可以省略，因为两个线性因式始终为正。

三角幂与根式先暴露可换元的因子

三角积分仍以换元为核心，但恒等变形负责先制造内层导数。对整数幂 $\sin^m x\cos^n x$，若正弦幂为奇数，保留一个 $\sin x\,\mathrm dx$，把其余偶次幂用 $\sin^2x=1-\cos^2x$ 改写，再令 $u=\cos x$；若余弦幂为奇数，则对称地保留 $\cos x\,\mathrm dx$ 并令 $u=\sin x$。两项幂都为偶数时，使用

降低幂次。规则的依据是导数匹配，而非只根据函数名称套用公式。

含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的根式在 $|x|\le a$ 上常令 $x=a\sin\theta$；含 $\sqrt{x^2+a^2}$ 时常令 $x=a\tan\theta$。三角恒等式会化简根号，但还需指定 $\theta$ 的取值区间，保证回代时绝对值符号正确。例如 $\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}=a|\cos\theta|$，只有把 $\theta$ 限制在 $\cos\theta\ge0$ 的区间，才能直接写成 $a\cos\theta$。

奇次正弦幂保留一个微分因子

计算

$$\int_0^{\pi/2}\sin^3x\,\mathrm dx.$$

写成 $\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x$，令 $u=\cos x$、 $\mathrm du=-\sin x\,\mathrm dx$。上下限由 $x=0,\pi/2$ 变为 $u=1,0$，所以

$$\int_0^{\pi/2}\sin^3x\,\mathrm dx =\int_1^0(1-u^2)(-\mathrm du) =\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_0^1 =\frac23.$$

被积函数在区间上非负且不超过一，积分值应位于 $[0,\pi/2]$；$2/3$ 满足该界。分部积分也能得到同一递推结果，但此处换元只产生多项式，步骤更短。

反常积分先截断，再分别取极限

定积分的黎曼定义针对有限闭区间上的有界函数。无穷区间或端点附近无界时，先在合法的有限区间上积分，再用极限定义新对象。

反常积分及其收敛

若对每个 $R>a$，$f$ 在 $[a,R]$ 上可积，并且有限极限

$$\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,\mathrm dx$$

存在，则称 $\int_a^\infty f(x)\,\mathrm dx$ 收敛，并把该极限作为积分值。若 $f$ 在 $a$ 的右侧无界，则定义

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx =\lim_{\varepsilon\downarrow0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,\mathrm dx,$$

前提同样是有限极限存在。区间内部有奇点 $c$ 时，必须把积分拆成 $\int_a^c f+\int_c^b f$，左右两项都收敛才称原积分收敛。

内部奇点两侧的发散不能互相抵消。例如 $\int_{-1}^1 1/x\,\mathrm dx$ 的左右反常积分分别发散。对称截断 $\int_{-1}^{-\,\varepsilon}1/x+\int_\varepsilon^1 1/x=0$ 给出的是柯西主值，不是通常意义的反常积分。

幂函数给出两个基本阈值。对 $p\ne1$，

当且仅当 $p>1$ 时，$R^{1-p}\to0$，故 $\int_1^\infty x^{-p}\,\mathrm dx=1/(p-1)$。在零点附近，

当且仅当 $p<1$ 时收敛。$p=1$ 的对数在两个方向都发散。无穷远处需要足够快的衰减，有限端点附近则要求奇异性不能过强，两处条件不能混用。

正项级数由部分和与比较控制

无穷级数

定义为部分和 $S_N=\sum_{n=1}^Na_n$ 在 $N\to\infty$ 时的极限。级数收敛必然要求 $a_n\to0$，但这一条件不充分；调和级数的项趋于零，部分和仍无界。若 $a_n\ge0$，部分和单调递增，因此级数收敛当且仅当部分和有统一上界。

比较判别法保留不等式：若从某项起 $0\le a_n\le b_n$，且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛；若 $0\le b_n\le a_n$，且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。极限比较把同阶量联系起来：若

则两个正项级数同敛散。

积分判别适用于正、连续且最终单调递减的函数 $f$，其中 $a_n=f(n)$。矩形面积与曲线下面积的夹逼表明 $\sum a_n$ 与 $\int_1^\infty f(x)\,\mathrm dx$ 同敛散。于是 $\sum 1/n^p$ 当且仅当 $p>1$ 收敛。比值判别考察

$L<1$ 时绝对收敛，$L>1$ 时发散；$L=1$ 时没有结论，调和级数与 $\sum1/n^2$ 都会落入这个临界值。

交错级数用下一项控制截断误差

若 $b_n\ge0$ 从首项起单调递减且 $b_n\to0$，则交错级数

收敛。偶数项部分和从下方递增，奇数项部分和从上方递减，两列之差为 $b_{2N+1}\to0$，所以它们趋于同一极限。若在第 $N$ 项截断，余项满足

且余项符号与第一项被舍去项相同。

绝对收敛蕴含收敛

若 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。若 $\sum a_n$ 收敛而 $\sum|a_n|$ 发散，则称原级数条件收敛。

交错调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n$ 收敛，但绝对值级数是发散的调和级数，因此它条件收敛。条件收敛级数的项不能任意重排；重排可能改变和甚至破坏收敛。绝对收敛则允许有限组合、分组和常见的重排操作。

幂级数在收敛半径内允许逐项运算

以一点为中心的幂级数

幂级数是

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n.$$

存在收敛半径 $R\in[0,\infty]$，使级数在 $|x-a|<R$ 时绝对收敛，在 $|x-a|>R$ 时发散。当 $0<R<\infty$ 时，两个端点 $x=a\pm R$ 必须分别代入原级数判断。

比值法或根值法常给出 $R$。在任意严格位于收敛区间内部的闭区间上，幂级数一致收敛，可以逐项积分和逐项微分：

导数级数与积分级数保持相同收敛半径，但端点行为可能改变。例如几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1/(1-x)$ 在 $|x|<1$ 成立。对 $[0,x]$ 逐项积分得到

令 $x=-1$ 需要另用端点收敛论证，不能只把边界值代入开区间内的推导。

Taylor 余项决定有限展开能否代表函数

函数在 $a$ 处的 $n$ 次 Taylor 多项式为

若 $f$ 在 $a$ 与 $x$ 之间具有 $n+1$ 阶连续导数，Taylor 定理给出某个位于两点之间的 $\xi$，使

因而在区间上若 $|f^{(n+1)}|\le M$，就有

无穷次可导仍不足以保证函数等于自己的 Taylor 级数；还需证明余项随 $n\to\infty$ 趋于零。函数 $e^{-1/x^2}$ 在 $x\ne0$ 时取该表达式、在 $x=0$ 时取零，它在原点各阶导数都为零，Taylor 级数恒为零，却在原点之外为正。这个例子区分了光滑性与解析性。

对数近似同时检查方向与误差上界

在 $a=0$ 展开 $f(x)=\ln(1+x)$，用三次 Taylor 多项式估算 $\ln1.1$：

$$T_3(0.1) =0.1-\frac{0.1^2}{2}+\frac{0.1^3}{3} =0.095333\ldots.$$

四阶导数为 $f^{(4)}(x)=-6/(1+x)^4$。在 $[0,0.1]$ 上有 $|f^{(4)}(x)|\le6$，所以

$$|\ln1.1-T_3(0.1)| \le\frac6{24}(0.1)^4 =2.5\times10^{-5}.$$

实际值约为 $0.0953102$，三次近似偏大约 $2.32\times10^{-5}$，落在上界内。交错项的下一项是负数，也预示了实际值低于当前部分和；符号检查与拉格朗日余项给出相互独立的核验。

累积函数的幂级数同时接受导数与误差检查

同一个对象可以在几种表示之间切换。设

基本定理给出 $A'(x)=1/(1+x^2)$、$A(0)=0$。另一方面，几何级数在 $|t|<1$ 时给出

当 $|x|<1$ 时，积分区间严格位于收敛区间内，可以逐项积分：

右侧逐项求导恢复几何级数，代入 $x=0$ 又满足初值，因此它与累积函数表示一致。由 $(\arctan x)'=1/(1+x^2)$ 且 $\arctan0=0$，还可认出 $A(x)=\arctan x$。积分定义、原函数和幂级数给出了同一函数的三种可互相核验的描述。

用交错幂级数近似累积函数

估算

$$\int_0^{1/2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2} =\arctan\frac12.$$

取幂级数前四个非零项：

$$S_3 =\frac12-\frac{(1/2)^3}{3} +\frac{(1/2)^5}{5} -\frac{(1/2)^7}{7} \approx0.463467.$$

各项绝对值单调下降，交错级数余项不超过下一项：

$$\left|A\left(\frac12\right)-S_3\right| \le\frac{(1/2)^9}{9} =\frac1{4608} <2.18\times10^{-4}.$$

数值 $\arctan(1/2)\approx0.463648$ 与近似相差约 $1.80\times10^{-4}$，落在误差界内。被积函数在 $[0,1/2]$ 上介于 $4/5$ 与 $1$ 之间，所以积分还应位于 $[0.4,0.5]$；近似值和精确值都满足这一独立的积分界。

这项计算同时使用了四个条件：积分区间没有奇点，几何级数在 $|t|<1$ 内收敛，逐项积分只在收敛半径内部使用，截断误差由交错级数单调条件控制。若把上限改为大于一的数，积分仍存在，但上述以零为中心的幂级数不再覆盖完整区间，必须换中心、分段或改用其他计算方法。函数存在与某一种级数表示有效属于不同结论。

极限、导数、积分与级数组成同一条检验链

单变量微积分的各部分承担不同职责。极限定义导数、反常积分和级数的收敛；连续性保证局部值不会突然跳离，并支撑定积分与介值结论；导数描述局部线性变化，通过中值定理控制整个区间；积分把局部密度累积成总量；幂级数把函数表示为一列可逐项处理的多项式近似。

一项综合计算通常按以下顺序组织。先写定义域与可能的奇点，再判断有限积分或反常积分；求原函数时根据复合、乘积或有理结构选择方法；结果用求导、端点符号、单位或数值界复核。遇到无穷过程，必须说明部分和、截断区间或 Taylor 余项趋向什么。形式计算只有在收敛区间和定理条件内才保持有效。

例如概率密度的归一化先要求非负，再用反常积分检查总质量是否有限；期望的存在还需对 $|x|$ 加权后的积分收敛。微分方程中的幂级数解先由递推关系确定系数，再单独研究收敛半径。Fourier 级数把函数投影到三角函数族，逐项积分、能量等式与点态收敛各有不同条件。后续章节会继续使用本章建立的“先判收敛，再做运算，最后给误差”的顺序。

综合练习

练习标记完成

计算 $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{2-\cos x}\,\mathrm dx$，并核对换元后的上下限。

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令 $u=2-\cos x$，则 $\mathrm du=\sin x\,\mathrm dx$。当 $x=0$ 时 $u=1$，当 $x=\pi/2$ 时 $u=2$，所以

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{2-\cos x}\,\mathrm dx =\int_1^2\frac{\mathrm du}{u} =\ln2.$$

分母在原区间上介于 $1$ 与 $2$ 之间，没有奇点；结果为正。

练习标记完成

计算 $\int_0^1xe^{2x}\,\mathrm dx$，并对所得原函数求导复核。

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取 $u=x$、$\mathrm dv=e^{2x}\,\mathrm dx$，则 $\mathrm du=\mathrm dx$、$v=e^{2x}/2$。因此

$$\int xe^{2x}\,\mathrm dx =\frac{x e^{2x}}2-\frac14e^{2x}+C =e^{2x}\left(\frac x2-\frac14\right)+C.$$

端点差为

$$\left[e^{2x}\left(\frac x2-\frac14\right)\right]_0^1 =\frac{e^2+1}{4}.$$

对括号内表达式求导得到 $2e^{2x}(x/2-1/4)+e^{2x}/2=xe^{2x}$，复核成立。

练习标记完成

计算 $\int_0^1\frac{3x+5}{x^2+3x+2}\,\mathrm dx$。

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分母为 $(x+1)(x+2)$。设

$$\frac{3x+5}{(x+1)(x+2)} =\frac A{x+1}+\frac B{x+2}.$$

比较系数得 $A+B=3$、$2A+B=5$，所以 $A=2,B=1$。于是

$$\begin{aligned} \int_0^1\frac{3x+5}{x^2+3x+2}\,\mathrm dx &=\left[2\ln(x+1)+\ln(x+2)\right]_0^1\\ &=2\ln2+\ln3-\ln2 =\ln6. \end{aligned}$$

区间上被积函数为正，结果也为正；对原函数求导并通分可恢复原分子。

练习标记完成

分别判断 $\int_0^1x^{-2/3}\,\mathrm dx$ 与 $\int_0^1x^{-4/3}\,\mathrm dx$ 的收敛性；对收敛者求值。

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两项都在 $x=0$ 无界，必须从 $\varepsilon>0$ 截断。第一项为

$$\int_\varepsilon^1x^{-2/3}\,\mathrm dx =\left[3x^{1/3}\right]_\varepsilon^1 =3-3\varepsilon^{1/3}\longrightarrow3,$$

所以收敛且值为 $3$。第二项为

$$\int_\varepsilon^1x^{-4/3}\,\mathrm dx =\left[-3x^{-1/3}\right]_\varepsilon^1 =3\varepsilon^{-1/3}-3\longrightarrow\infty,$$

所以发散。这与零点附近 $x^{-p}$ 仅在 $p<1$ 时可积一致。

练习标记完成

证明正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+3)]$ 收敛，并求其和。

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先有 $1/[n(n+3)]\le1/n^2$，与收敛的 $p$ 级数比较可知原级数收敛。进一步分解

$$\frac1{n(n+3)} =\frac13\left(\frac1n-\frac1{n+3}\right).$$

部分和中从 $1/4$ 起的项相消：

$$S_N=\frac13\left( 1+\frac12+\frac13 -\frac1{N+1}-\frac1{N+2}-\frac1{N+3} \right).$$

令 $N\to\infty$，得到 $S= \frac13(1+\frac12+\frac13)=11/18$。比较判别负责收敛性，望远镜结构负责精确求和。

练习标记完成

用交错级数余项估计判断：交错调和级数截取多少项，才能保证误差小于 $0.01$？并说明该级数是绝对收敛还是条件收敛。

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第 $N$ 项后余项满足

$$|R_N|\le\frac1{N+1}.$$

要求 $1/(N+1)<0.01$，即 $N+1>100$，所以取 $N=100$ 已足够。原级数满足交错判别法而收敛；其绝对值级数 $\sum1/n$ 发散，因此是条件收敛。

练习标记完成

求幂级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n3^n}$$

的收敛半径与实数收敛区间。

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对绝对值使用根值或比值判别，要求

$$\left|\frac{x-2}{3}\right|<1,$$

所以收敛半径为 $R=3$，内部区间是 $-1<x<5$。在 $x=5$ 时，级数化为 $\sum1/n$，发散；在 $x=-1$ 时，化为 $\sum(-1)^n/n$，由交错判别法收敛。因此实数收敛区间为 $[-1,5)$。左端点仅条件收敛，不能由内部的绝对收敛结论代替检查。

练习标记完成

用 $e^x$ 在零点的三次 Taylor 多项式估算 $e^{0.2}$，并给出只使用 $e^{0.2}<1.222$ 所得的误差上界。

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三次多项式给出

$$T_3(0.2)=1+0.2+\frac{0.2^2}{2}+\frac{0.2^3}{6} =1.221333\ldots.$$

Lagrange 余项满足

$$|R_3| \le\frac{1.222}{4!}(0.2)^4 <8.15\times10^{-5}.$$

因此可以报告 $e^{0.2}\approx1.221333\ldots$，误差小于 $8.15\times10^{-5}$。近似值与误差界应同时保留，不能把截断多项式写成精确等号。

后续课程中的使用位置

极限与连续性 提供反常积分、部分和与余项收敛的定义语言； 导数与微分 提供换元、分部积分和 Taylor 系数的反向来源； 积分与累积 给出黎曼积分与微积分基本定理。三者在本章合并为一套计算与验证流程。

继续学习 Fourier 级数 时，要分别判断系数积分是否存在、级数以何种意义收敛，以及截断误差如何衡量。多变量微积分会把换元中的一维尺度因子 $g'(x)$ 推广为 Jacobian 行列式；微分方程会用幂级数系数递推构造局部解。

教材与课程资源

书籍 · 2016

Calculus Volume 2

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对数列与级数的收敛条件、积分技巧、反常积分和幂级数例题。

打开官方来源

OpenStax《Calculus Volume 2》系统讨论积分技巧、反常积分、数列与级数、幂级数和 Taylor 展开。阅读外部算例时，应逐项核对定义域、收敛条件、端点和余项估计。

课程 · 2010

MIT 18.01SC Single Variable Calculus

David Jerison

课程材料连接严格定义、计算技巧与应用，可作为完整学习序列。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.01SC 的积分技巧与无穷级数单元包含讲义、例题和带解练习，适合按“选择方法—完成计算—求导或估计复核”的顺序练习。完成本章后，读者应能说明一项形式运算依赖哪些收敛条件，而不只给出计算结果。