行列式：有向体积、乘法结构与可逆性

一个标量怎样浓缩方阵的结构

在线性方程组中，方阵每列都有主元时，对每个右端项都存在唯一解；少一个主元，零空间便出现非零方向。行列式把这条主元结论压缩成一个标量：非零表示没有方向被完全压扁，零表示至少一个输入方向丢失。这个标量还记录线性映射对有向体积的统一缩放，因此它既是代数判据，也是几何倍率。

本章只对方阵定义行列式。记 $A=[\mathbf a_1\ \cdots\ \mathbf a_n]\in\mathbb R^{n\times n}$，其列依次为 $\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n$。$\det A$ 的绝对值给出体积倍率，符号比较有序列组 $(\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n)$ 与标准基的取向。普通体积非负；“有向”二字负责保存列次序翻转的信息。

多线性、交替性与归一化

定义

$n$ 阶行列式是列向量的实值函数 $D(\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n)$，满足：

1. 对每一列分别线性；
2. 交换任意两列，函数值乘以 $-1$；
3. $D(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)=D(I_n)=1$。

满足这三条性质的唯一函数记作 $\det(\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n)$ 或 $\det A$。

“分别线性”不是把所有列同时乘标量。例如只改变第 $j$ 列时，

交替性立即推出两列相同时行列式为零：交换两列既不改变输入，又要求结果变号，只能有 $D=-D=0$。若一列是其余列的线性组合，多线性展开后的每一项都含重复列，结果同样为零。这正是列线性相关导致体积退化的代数来源。

三条性质唯一决定置换公式

对 $A=(a_{ij})$，

$$\det A= \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}.$$

证明

先把右侧置换和记作 $F(A)$。每一项对每一列都只含一个一次因子，所以 $F$ 对各列分别线性；交换两列等于给所有置换复合一次对换，故每项符号翻转；在 $I_n$ 上只有恒等置换对应的乘积非零，且其值为一。因此该公式确实满足多线性、交替性和归一化，存在性成立。

再设 $D$ 是任意满足三条性质的函数。把第 $j$ 列写成 $\mathbf a_j=\sum_i a_{ij}\mathbf e_i$，再对各列逐次使用多线性。完全展开后，每项对应从每列选择一支标准基。若两列选择了同一支标准基，该项因交替性为零；剩余非零项恰好让 $\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n$ 各出现一次，也就是一个置换。把该排列交换回标准顺序会产生 $\operatorname{sgn}(\sigma)$，归一化给出标准顺序的值一。任何满足三条性质的函数都必须得到同一展开，因此它只能等于 $F$，唯一性成立。

置换公式有 $n!$ 项，适合证明而不适合大矩阵计算。它还表明 $\det(A^{\mathsf T})=\det A$：转置只把置换乘积中的行列索引互换，所有置换与符号仍一一对应。因此列变换规则也可原样转成行变换规则。

二阶公式与取向

二阶行列式同时给出面积和方向

设

$$A= \begin{bmatrix} 2&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}.$$

由置换公式

$$\det A=2(-1)-1\cdot1=-3.$$

两列张成的平行四边形面积为 $|-3|=3$，负号表示列向量的有序方向与标准基相反。若交换两列，几何图形不变而行列式变为三；若把第一列加上第二列的五倍，平行四边形经历剪切，底与高组合出的有向面积仍为负三。

二阶公式 $\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$ 不是一条孤立口诀。它恰好是“对每列线性、交换列变号、单位正方形取一”在二维的唯一结果。三阶对角线口诀只是一种记忆置换项的方式，不能推广为一般定义。

行变换如何改变行列式

三类初等行变换规则

对方阵实施一次行变换：

1. 交换两行，行列式乘以 $-1$；
2. 把一行乘以常数 $c$，行列式乘以 $c$；
3. 把一行加上另一行的任意倍数，行列式不变。

因而上三角或下三角矩阵的行列式等于对角元素之积。

证明

前两条分别来自交替性和单列线性，再利用 $\det(A^{\mathsf T})=\det A$ 转为行规则。第三条把新行 $\mathbf r_i+c\mathbf r_j$ 按线性性展开：第一项是原行列式，第二项有两行成比例，故为零。对三角矩阵沿第一列展开，或逐步用加倍行消去对角线下方元素，可归纳得到对角乘积。

计算时必须记账。若把某行除以主元以便得到一，行列式也被除以该主元；若只做“某行减另一行倍数”，则无需修正。最稳妥的手算策略是尽量只用加倍行与必要的行交换，把矩阵化为三角形，再补回交换产生的负号。

用消元与余子式交叉核对三阶结果

计算

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 2&1&1\\ 0&3&2 \end{bmatrix}.$$

作 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，再作 $R_3\leftarrow R_3+R_2$，两步都不改变行列式：

$$A\sim \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&-3&1\\ 0&0&3 \end{bmatrix}.$$

所以 $\det A=1(-3)3=-9$。沿原矩阵第一列展开得到

$$1\det\begin{bmatrix}1&1\\3&2\end{bmatrix} -2\det\begin{bmatrix}2&0\\3&2\end{bmatrix} =-1-8=-9,$$

与消元一致。第二项前的负号来自位置 $(2,1)$ 的代数余子式符号。

特殊矩阵先看结构，再决定算法

对角矩阵的行列式是全部对角元素之积；置换矩阵的行列式是对应置换的符号；初等矩阵的行列式则分别是 $-1$、行倍乘因子 $c$ 或一。这些结果让“矩阵分解成简单因子”成为计算行列式的统一方法，而不是为每种矩阵另背一条公式。

若矩阵具有分块三角结构

其中 $B,D$ 都是方阵，则

当 $B$ 可逆时，可用只加倍行的分块消元把 $C$ 清除为零，行列式不变；若 $B$ 奇异，可从置换公式看出，任何非零项必须分别在两个对角方块中选择完整的行列匹配，结论仍成立。普通分块矩阵若左下角不为零，不能不加条件地套用对角方块乘积。

缩放整个矩阵也容易混淆。$cA$ 把 $n$ 列都乘以 $c$，因此

而不是 $c\det A$。这条次数规律与 $n$ 维体积随长度尺度的 $n$ 次方变化一致，也解释了高维行列式为什么对单位缩放格外敏感。

余子式、伴随矩阵与展开

定义

删去 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列所得子矩阵记为 $M_{ij}$。代数余子式为

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}.$$

余子式矩阵为 $C=(C_{ij})$，伴随矩阵定义为 $\operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf T}$。

沿第 $i$ 行的拉普拉斯展开是

沿第 $j$ 列也可展开。选择零较多的行或列能减少手算，但递归展开的计算量仍增长很快；一般数值算法不会用它求大型行列式。

伴随矩阵恒等式

任意 $n$ 阶方阵满足

$$A\operatorname{adj}(A) =\operatorname{adj}(A)A =(\det A)I_n.$$

若 $\det A\ne0$，则

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).$$

证明

$A\operatorname{adj}(A)$ 的第 $(i,j)$ 个元素是 $\sum_k a_{ik}C_{jk}$。若 $i=j$，这就是沿第 $i$ 行的余子式展开，等于 $\det A$；若 $i\ne j$，它等于把第 $j$ 行替换成第 $i$ 行后作展开，而该矩阵有两行相同，行列式为零。于是乘积只有主对角线为 $\det A$。另一侧同理。行列式非零时除以它便得到双侧逆。

例如 $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}$ 有 $\det A=1$、 $\operatorname{adj}(A)=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$，所以伴随矩阵就是逆矩阵。直接相乘得到单位矩阵，完成符号核对。这个公式适合理论证明和低阶手算；实际求解 $A\mathbf x=\mathbf b$ 通常不先显式构造逆矩阵。

乘法性来自复合变换

行列式的乘法性

对同阶方阵 $A,B$，

$$\det(AB)=\det A\det B.$$

因此 $\det(A^k)=(\det A)^k$；若 $A$ 可逆，则 $\det(A^{-1})=1/\det A$。

证明

固定 $A$，把 $B=[\mathbf b_1\ \cdots\ \mathbf b_n]$ 看作列向量的有序组。函数

$$F(B)=\det(A\mathbf b_1,\ldots,A\mathbf b_n)=\det(AB)$$

对 $B$ 的每一列分别线性；交换两列时 $F$ 变号；并且 $F(I_n)=\det A$。若 $\det A=0$，交替多线性函数 $F$ 的置换展开中每个系数都由 $F(I_n)$ 决定，故 $F\equiv0$。若 $\det A\ne0$，则 $F/\det A$ 满足行列式的三条定义性质。两种情形都由置换公式的唯一性得到 $F(B)=\det A\det B$。

几何上，$B$ 先改变有向体积，$A$ 再改变一次，复合倍率自然相乘。乘法性不意味着 $\det(A+B)=\det A+\det B$：多线性针对的是逐列变化，不是把两个完整矩阵相加后整体线性。

非零行列式与可逆性的等价链

方阵的等价判据

对 $A\in\mathbb R^{n\times n}$，下列命题等价：

1. $\det A\ne0$；
2. $A$ 的列线性无关；
3. $\operatorname{rank}(A)=n$；
4. $\mathcal N(A)=\{\mathbf0\}$；
5. $A$ 可逆；
6. 对每个 $\mathbf b\in\mathbb R^n$， $A\mathbf x=\mathbf b$ 有唯一解。

证明

若列相关，多线性展开会使每项含重复列，所以行列式为零。反过来，把 $A$ 行化简：若每列都有主元，三角形主元乘积非零，补回每次非零倍乘与交换后 $\det A\ne0$；若缺主元，三角形出现零对角元，行列式为零。因此非零行列式等价于满秩。满秩、零空间平凡、可逆及对每个右端项唯一可解，正是线性方程组的主元等价链。

用一个行列式分类参数方程组

令

$$A(t)= \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&t \end{bmatrix}.$$

沿第一行展开得 $\det A(t)=t+1$。因此 $t\ne-1$ 时，对每个右端项都有唯一解； $t=-1$ 时， $(1,-1,1)^{\mathsf T}$ 是非零零空间向量。若右端项取 $(1,2,3)^{\mathsf T}$，前三条方程变为 $x+y=1$、$y+z=2$、$x-z=3$。前两式相减实际给 $x-z=-1$，与第三式矛盾，所以该特定系统无解。零行列式只说明“不是唯一解”；究竟无解还是无穷多解，仍须检查增广矩阵。

有向面积、体积与单位

由列向量 $\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n$ 张成的平行多面体是

它的普通 $n$ 维体积为 $|\det A|$。当行列式为正，有序列组与标准基同向；为负时取向翻转；为零时多面体被压进低维子空间，$n$ 维体积为零。三维中这就是标量三重积 $\mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)$。

若三个列向量都是以米为单位的位移，三阶行列式的单位是 $\mathrm m^3$，不是无单位数。若 $A$ 是同量纲坐标之间的纯数值变换，行列式才通常视为无量纲倍率。把温度、时间和长度等不同物理量直接并列成列向量时，必须先解释坐标归一化及乘积单位，不能把数值行列式自动称为几何体积。

对于足够规则的区域 $S$ 和可逆线性映射，换元公式给出 $\operatorname{vol}(AS)=|\det A|\operatorname{vol}(S)$。非线性映射则在每一点使用 Jacobian 矩阵，其行列式绝对值是局部体积因子；积分中取绝对值是因为普通体积非负，而曲面取向或有向积分会另外保留符号。

三维平行多面体的体积倍率

取列向量组成

$$A= \begin{bmatrix} 2&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{bmatrix}.$$

沿第一行展开：

$$\det A =2\det\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} -\det\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix} =2-(-1)=3.$$

若列是以米为单位的三条边，平行六面体体积为 $3\,\mathrm m^3$，取向保持。以同三条边和同一顶点构成的四面体体积是平行六面体的六分之一，即 $0.5\,\mathrm m^3$。

克拉默法则能做什么，不能做什么

若 $\det A\ne0$，把 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\mathbf b$ 得到 $A_i(\mathbf b)$，则

证明把 $\mathbf b=A\mathbf x=\sum_jx_j\mathbf a_j$ 代入替换列，再用多线性展开；除 $j=i$ 外，每项都有重复列而为零，剩下 $\det A_i(\mathbf b)=x_i\det A$。公式清楚展示解对右端项的线性依赖，也适合二、三阶理论推导。

它不是大型系统的推荐算法。逐坐标重复计算行列式成本高，且显式行列式比带主元消元、QR 或其他分解更易掩盖舍入误差。对非方阵、无解系统或无穷多解系统，分母条件不成立；此时应返回秩、参数解或最小二乘，而不是强套克拉默法则。

数值判断的边界

精确数学中 $\det A=0$ 与 $\det A\ne0$ 界限明确，浮点计算却不能只用一个固定阈值判断。行列式随整体尺度变化很快：把 $n$ 阶矩阵乘以 $c$ 会把行列式乘以 $c^n$。所以“绝对值很小”可能只因单位选择或矩阵尺度小，不必然表示病态；反过来，高维矩阵的行列式不小也不能完整描述最差方向的压缩。

数值求解更关心奇异值与条件数。$|\det A|$ 等于全部奇异值的乘积，行列式的符号还记录取向；这个乘积可能让一个极小方向与其他较大方向相互遮掩。计算大矩阵的行列式时，库通常通过 LU 分解累计对角因子，并用符号加对数绝对值避免上溢或下溢。若任务是判断数值秩，应报告容差、尺度与奇异值，而不是把 det === 0 当作可靠算法。

常见误区

“行列式是矩阵所有元素的乘积。”只有三角矩阵的行列式等于对角元素乘积；一般矩阵包含不同置换的带符号乘积。

常见误区

“行列式非零表示每个具体方程组都有正解。”它只保证对每个右端项存在唯一的实向量解，不保证分量为正、整数或满足额外约束。

相同行列式不代表相同几何作用

单位矩阵与剪切矩阵 $\begin{bmatrix}1&5\\0&1\end{bmatrix}$ 的行列式都为一。前者保持每个向量，后者改变多数长度和夹角；行列式只保留总体有向面积倍率，不能重建整个变换。

练习：代数规则与几何解释互相复核

练习标记完成

所属知识

行变换与三角计算

难度

2/5

不用完全展开，计算 $\det\begin{bmatrix}1&2&1\\0&3&-1\\2&1&0\end{bmatrix}$，并用一次余子式展开复核。

查看提示

先用第三行减去第一行的两倍，再把第二行加到新的第三行；两步都不改变行列式。

查看解答

作 $R_3\leftarrow R_3-2R_1$ 得 $(0,-3,-2)$，再作 $R_3\leftarrow R_3+R_2$ 得 $(0,0,-3)$。所得上三角矩阵对角线为 $1,3,-3$，故行列式为 $-9$。沿原矩阵第一行展开也得 $1-4-6=-9$。

练习标记完成

所属知识

多线性与交替性

难度

3/5

只用多线性和交替性证明：对任意 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in\mathbb R^3$， $\det(\mathbf u+2\mathbf v,\mathbf v,\mathbf w)= \det(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)$。

查看提示

先把第一列拆成两列之和，再观察哪些项出现重复列。

查看解答

对第一列线性展开：

$$\det(\mathbf u+2\mathbf v,\mathbf v,\mathbf w) =\det(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w) +2\det(\mathbf v,\mathbf v,\mathbf w).$$

第二项有两列相同，由交替性为零，结论成立。这正是“给一列加另一列倍数不改变行列式”的列版本。

练习标记完成

所属知识

参数矩阵与唯一可解性

难度

3/5

对正文中的 $A(t)=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&t\end{bmatrix}$，求所有不可逆的 $t$，并在退化参数处给出零空间的一组基。随后判断右端项 $(0,0,0)^{\mathsf T}$ 的解有多少个。

查看提示

先沿第一行计算 $\det A(t)$，再在退化参数处求一个非零齐次解。

查看解答

$\det A(t)=t+1$，所以只在 $t=-1$ 时不可逆。此时 $\mathcal N(A)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)^{\mathsf T}\}$。齐次系统的全部解是 $s(1,-1,1)^{\mathsf T}$，$s\in\mathbb R$，因此有无穷多个，而不是无解。

练习标记完成

所属知识

乘法性、转置与逆矩阵

难度

3/5

已知 $A$ 可逆、$\det A=-2$、$\det B=3$。计算 $\det(A^{-1}B^{\mathsf T}A)$，并说明结果为何与 $A$ 的具体元素无关。

查看提示

逐个使用 $\det(XY)=\det X \det Y$、$\det(B^{\mathsf T})=\det B$ 和 $\det(A^{-1})=1/\det A$。

查看解答

$$\det(A^{-1}B^{\mathsf T}A) =\frac{1}{\det A}\det(B^{\mathsf T})\det A =\frac1{-2}\cdot3\cdot(-2)=3.$$

$A^{-1}$ 与 $A$ 的行列式因子抵消；结论只依赖乘法性、转置与逆矩阵规则，不需要知道 $A$ 的具体元素。

练习标记完成

所属知识

有向体积与物理单位

难度

3/5

从同一顶点出发的三条边为 $\mathbf u=(1,0,1)^{\mathsf T}\,\mathrm m$、 $\mathbf v=(0,2,1)^{\mathsf T}\,\mathrm m$、 $\mathbf w=(1,1,0)^{\mathsf T}\,\mathrm m$。求有向体积、普通平行六面体体积与四面体体积。

查看提示

把三条边按列组成矩阵；四面体体积是对应平行六面体体积的六分之一。

查看解答

按列组成

$$A= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&2&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}, \qquad \det A=-3.$$

有向体积为 $-3\,\mathrm m^3$，负号表示取向与标准基相反；普通平行六面体体积为 $3\,\mathrm m^3$，四面体体积为 $3/6=0.5\,\mathrm m^3$。

关系、资源与后续学习

• 矩阵 提供方阵、乘法、转置与逆矩阵语言。
• 线性方程组 把非零行列式解释为对每个右端项唯一可解。
• 矩阵的秩 把主元数与列空间维数连接到零行列式判据。
• 线性变换 赋予行列式有向体积缩放的几何意义。
• 特征值与特征向量 用 $\det(A-\lambda I)=0$ 寻找出现非零零空间的参数。

课程 · 2011

MIT 18.06SC Linear Algebra

Gilbert Strang

提供线性代数核心概念的完整课程顺序、例题、习题和考试材料。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.06SC 把行列式放在消元、逆矩阵、特征值和体积解释之间，可用于继续练习行变换计算并核对可逆矩阵定理。

书籍 · 2019

Interactive Linear Algebra

Dan Margalit, Joseph Rabinoff

章节含几何解释、交互图、例题、练习提示和部分解答，可用于交叉核对本册六章的代数与几何主线。

打开官方来源

Georgia Tech 的 Interactive Linear Algebra 从行变换、体积缩放和可逆性进入行列式，并配有交互几何解释，可用于独立复核本章的计算规则和等价判据。

下一章把矩阵看作线性映射，并研究不同基下的表示。随后进入

特征值与特征向量：当 $A-\lambda I$ 的行列式为零时，齐次系统才可能出现非零解，这正是特征方程的来源。