傅里叶变换与卷积

连续频谱需要先固定约定

傅里叶级数用整数频率表示周期函数。对非周期函数，频率不再局限于离散整数，求和相应变成对连续频率的积分。不同教材会把 $2\pi$ 分配在正变换、逆变换或指数中；每种约定都可以成立，但同一推导中不能混用。

本章始终采用角频率 $\xi$：

傅里叶变换与逆变换约定

若 $f\in L^1(\mathbb R)$，定义

$$\widehat f(\xi)=\mathcal F[f]\,(\xi) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,\mathrm dx.$$

在逆变换成立的意义下，

$$f(x)=\mathcal F^{-1}[\widehat f]\,(x) =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \widehat f(\xi)e^{i\xi x}\,\mathrm d\xi.$$

指数中的负号和逆变换前的 $1/(2\pi)$ 是一套整体约定。若改用普通频率 $\nu$ 与指数 $e^{-2\pi i\nu x}$，缩放、卷积和微分公式中的 $2\pi$ 位置会一起改变。

当 $f\in L^1$ 时，$\widehat f$ 有界、连续，并在 $|\xi|\to\infty$ 时趋于零；这并不保证 $\widehat f\in L^1$。一个简洁的充分条件是 $f$ 属于 Schwartz 空间：它及所有阶导数都比任意多项式倒数衰减得更快，此时正反变换都可逐点进行。若 $f,\widehat f\in L^1$，逆积分定义一个连续函数，并与 $f$ 几乎处处相等；若 $f$ 取其连续代表，等式处处成立。

对分段光滑且满足适当衰减的函数，截断逆积分在跳跃处通常趋于左右极限的平均，而不是任意指定的单点值。对 $L^2$ 函数，Plancherel 定理把变换延拓为均方意义的算子，并给出

这里的相等是 $L^2$ 意义，不自动提供每一点的反演值。

可直接复算的双边指数变换

例 1：双边指数衰减的有理频谱

设 $a>0$，$f(x)=e^{-a|x|}$。把积分按零点分开，并利用偶性：

$$\widehat f(\xi) =2\int_0^\infty e^{-ax}\cos(\xi x)\,\mathrm dx.$$

由

$$\int_0^\infty e^{-(a-i\xi)x}\,\mathrm dx =\frac1{a-i\xi}$$

取实部，得到

$$\widehat f(\xi)=\frac{2a}{a^2+\xi^2}.$$

两端都绝对可积，所以可用逆变换核对：

$$e^{-a|x|} =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2a}{a^2+\xi^2}e^{i\xi x}\,\mathrm d\xi.$$

在 $x=0$ 时，这等价于 $\int_{-\infty}^{\infty}(a^2+\xi^2)^{-1}\mathrm d\xi=\pi/a$。频谱宽度随 $a$ 增大而变宽：时域衰减更快、形状更集中，对应更广的频率范围。

平移、调制与缩放

这些规则都可从定义中的变量代换得到。令 $g(x)=f(x-x_0)$，取 $u=x-x_0$，则

时域平移只增加线性相位，不改变频谱模长。反过来，乘以复指数会平移频谱：

若 $g(x)=f(ax)$ 且 $a\ne0$，变量代换必须处理积分方向，得到

因子是 $1/|a|$，不是 $1/a$。当 $|a|>1$ 时，函数在时域被压窄，频谱横向展开并降低幅值，以保持积分尺度一致。

若 $f$ 绝对连续，且 $f,f'\in L^1$ 并满足无穷远边界项消失，分部积分给出

同样，在 $xf(x)\in L^1$ 等条件下，

微分强化高频、乘以位置对应频谱求导；若边界项不消失或导数含跳跃产生的广义函数，上述经典公式必须改用分布框架解释。

卷积把邻域贡献叠加起来

卷积

对可积函数 $f,g$，定义

$$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)\,\mathrm dt.$$

当 $f,g\in L^1(\mathbb R)$ 时，卷积几乎处处有定义，且 $\lVert f*g\rVert_1\le\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1$。

$g(x-t)$ 表示把核翻转后移动到 $x$，再与 $f(t)$ 逐点相乘并积分。若 $g$ 是归一化、集中在零附近的非负核，卷积可视为局部加权平均；若核含正负振荡，它也可检测边缘或选取频段，不能一概理解为“平滑”。

对 $f,g\in L^1$，被积函数的绝对积分有限，可以用 Fubini 定理交换积分次序：

这就是卷积定理。与本章约定配套，时域乘积对应

其中的 $1/(2\pi)$ 不可遗漏。

例 2：两个矩形脉冲卷积成三角函数

令

$$r(x)=\mathbf1_{[-1/2,\,1/2]}(x).$$

它的变换可直接积分：

$$\widehat r(\xi) =\int_{-1/2}^{1/2}e^{-i\xi x}\,\mathrm dx =\frac{2\sin(\xi/2)}{\xi},$$

在 $\xi=0$ 处用极限补成一。卷积 $(r*r)(x)$ 等于区间 $[-1/2,1/2]$ 与 $[x-1/2,x+1/2]$ 的重叠长度，因此

$$(r*r)(x)= \begin{cases} 1-|x|,& |x|\le1,\\ 0,& |x|>1. \end{cases}$$

卷积定理立即给出三角函数的频谱

$$\mathcal F[r*r]\,(\xi) =\left(\frac{2\sin(\xi/2)}{\xi}\right)^2.$$

可在 $\xi=0$ 核对两边：左侧等于三角函数面积一，右侧极限也为一。这个零频检查常能发现归一化或尺度错误。

卷积定理怎样求解线性方程

常系数线性微分算子在频域中变成关于 $\xi$ 的乘子。例如形式上对

变换后得到

若 $G$ 的变换为 $(\xi^2+a^2)^{-1}$，则 $u=G*f$。这把“求逆微分算子”转化为“与 Green 核卷积”。但分母若在实频率上为零，就涉及可解性、边界条件或分布意义，不能简单逐点相除。

在信号处理中，线性平移不变系统的输出常写成 $y=h*x$，频域关系为 $\widehat y=\widehat h\,\widehat x$。$\widehat h$ 是系统对不同频率的增益与相位响应。由有限采样计算离散卷积时，还需区分线性卷积、循环卷积和边界填充；连续定理本身不替代离散实现的索引检查。

常见误区

写出逆积分就已经证明逐点反演

变换存在不代表逆积分绝对收敛。必须说明使用 Schwartz、$L^1$ 加变换可积、分段光滑的截断极限，还是 $L^2$ 均方反演。不同条件给出的等式意义不同。

时域平移会把频谱图整体平移

时域平移乘上线性相位，频谱模长不动；时域调制才使频谱平移。混淆二者会错误判断滤波器的通带位置。

函数压缩后的频谱只需替换自变量

$f(ax)$ 的变换除了把 $\xi$ 替换为 $\xi/a$，还有 $1/|a|$。遗漏该因子会使零频值、积分和能量尺度不一致。

频谱可积不是所有可积函数自动拥有的性质

矩形脉冲 $r\in L^1$，但其频谱 $2\sin(\xi/2)/\xi$ 的绝对积分发散。因此不能仅凭 $r\in L^1$ 直接套用“$f$ 与 $\widehat f$ 都可积”的绝对收敛反演条件；矩形脉冲的跳跃点需用截断反演或 $L^2$ 理论解释。

练习

练习标记完成

设 $f(x)=\mathbf1_{[-2,2]}(x)$。按本章约定求 $\widehat f(\xi)$，并写出 $\xi=0$ 处的连续补值。

查看解答

直接积分得 $\widehat f(\xi)=\int_{-2}^{2}e^{-i\xi x}\mathrm dx=2\sin(2\xi)/\xi$。当 $\xi\to0$ 时，$\sin(2\xi)\sim2\xi$，所以补值为四；这也等于 $f$ 的积分，即区间长度。

练习标记完成

已知 $\widehat f(\xi)=F(\xi)$，求 $g(x)=f(3(x-2))$ 的变换。分别指出频谱模长的缩放和相位因子。

查看解答

先令 $h(x)=f(3x)$，则 $\widehat h(\xi)=\frac13F(\xi/3)$；而 $g(x)=h(x-2)$，所以

$$\widehat g(\xi)=e^{-2i\xi}\frac13F(\xi/3).$$

频谱横向扩大三倍、幅值乘 $1/3$，平移二只增加模长为一的相位因子。

练习标记完成

令 $h(x)=e^{-x}\mathbf1_{[0,\infty)}(x)$。先求 $\widehat h$，再直接计算 $h*h$，并核对卷积定理。

查看解答

有 $\widehat h(\xi)=\int_0^\infty e^{-(1+i\xi)x}\mathrm dx=(1+i\xi)^{-1}$。当 $x<0$ 时卷积为零；当 $x\ge0$ 时，只有 $0\le t\le x$ 有贡献，故

$$(h*h)(x)=\int_0^x e^{-t}e^{-(x-t)}\mathrm dt=xe^{-x}.$$

另一方面，卷积定理给出 $\mathcal F[h*h]\,(\xi)=\widehat h(\xi)^2=(1+i\xi)^{-2}$，与直接对 $xe^{-x}\mathbf1_{[0,\infty)}$ 积分所得结果一致。

练习标记完成

给定频谱 $F(\xi)=\mathbf1_{[-\Omega,\Omega]}(\xi)$，其中 $\Omega>0$。形式上求逆变换，补出 $x=0$ 的值，并说明为何结果不宜仅用 $L^1$ 绝对反演来解释。

查看解答

由逆变换

$$f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}e^{i\xi x}\mathrm d\xi =\frac{\sin(\Omega x)}{\pi x},$$

在 $x=0$ 处的极限为 $\Omega/\pi$。该函数按 $1/|x|$ 振荡衰减，通常不属于 $L^1(\mathbb R)$，但属于 $L^2(\mathbb R)$；因此这组变换对应更自然地由 $L^2$ 的 Plancherel 理论或适当的广义反演理解。

知识关系

• 傅里叶级数 提供从离散频率到连续频率的起点。
• 傅里叶变换 把时域函数编码为连续频率振幅与相位。
• 一维波动方程 可按空间频率分解为独立演化模式。
• Laplace 变换 使用复频率和收敛域处理增长、衰减与单边初值结构。
• Sturm–Liouville 理论 在有界区间和边界条件下以离散本征函数替代连续指数频率。

参考资源

课程 · 2024

Topics in Fourier Analysis

Daniel Stroock

用于核对正交展开、Fourier 变换、反演条件和分布理论的对象边界。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 的 Fourier Analysis 专题课程系统覆盖 Fourier 级数、$L^1/L^2$ 变换与温和分布，适合核对本章的归一化、反演条件和卷积定理。

课程 · 2011

MIT 18.03SC Differential Equations

Arthur Mattuck, Haynes Miller

为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。

打开官方来源

MIT 微分方程课程展示 Fourier 方法怎样把线性方程和边值问题分解为独立模式，可用于继续学习频域求解。

课程 · 2016

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

Yen-Jie Lee

连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。

打开官方来源

MIT 振动与波课程提供频谱、叠加和波动传播的物理背景，适合把变换性质与可观测信号联系起来。

书籍 · 2016

Calculus Volume 2

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对数列与级数的收敛条件、积分技巧、反常积分和幂级数例题。

打开官方来源

OpenStax Calculus Volume 2 在此仅作为广义积分、分部积分和无穷级数等先修计算的复习来源；高级 Fourier 反演与 $L^2$ 理论以专门课程资源为准。

后续学习

下一章将引入广义函数，使 Dirac 冲激、常数函数和纯频率指数也能进入统一的变换规则，并进一步讨论采样与 Poisson 求和。随后在偏微分方程中，卷积核会具体表现为热核、Green 函数或传播算子。