Lebesgue 积分与收敛定理

从有限加权面积开始

Riemann 积分用定义域上的小区间构造和。Lebesgue 理论先处理只取有限多个值的可测函数，再用单调极限逼近一般非负可测函数。两种积分在有界闭区间上的 Riemann 可积函数处给出同一个数；Lebesgue 构造的优势主要体现在零测集修改、无界函数和函数列极限上。

设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 为测度空间。先取非负简单函数

其中 $A_k$ 两两不交且可测。

非负简单函数的积分

定义

$$\int_X s\,\mathrm d\mu =\sum_{k=1}^{r}a_k\mu(A_k).$$

若某个 $a_k=0$ 而 $\mu(A_k)=\infty$，约定该项为零。

同一个简单函数可能有不同的指标函数表示。把所有相关集合取有限交，便可细分成共同的两两不交分划；在每个分划原子上，函数值固定。可列可加性的有限情形保证细分前后的加权和相同，所以积分只依赖函数本身。

例 1：在不等长集合上计算简单函数积分

在 $[0,4]$ 上取 Lebesgue 测度，定义

$$s=3\mathbf1_{[0,1)}+\mathbf1_{[1,3)}+4\mathbf1_{[3,4]}.$$

三个水平区间的测度分别为 $1,2,1$，所以

$$\int_{[0,4]}s\,\mathrm dm =3\cdot1+1\cdot2+4\cdot1=9.$$

若改写成

$$s=\mathbf1_{[0,4]}+2\mathbf1_{[0,1)}+3\mathbf1_{[3,4]},$$

各集合不再互不相交，但按线性拆分得到 $4+2+3=9$。将重叠表示细分回三个水平集，也得到同一结果。

非负可测函数由下方逼近

非负可测函数的 Lebesgue 积分

若 $f:X\to[0,\infty]$ 可测，定义

$$\int_X f\,\mathrm d\mu =\sup\left\{ \int_X s\,\mathrm d\mu: s\text{ 为非负简单函数且 }0\le s\le f \right\}.$$

该积分属于 $[0,\infty]$，允许取无穷。

定义取所有简单下界积分的上确界，因此不依赖某一条特定逼近序列。实际证明中常用标准阶梯逼近。令

$s_n$ 是非负简单函数，$s_n\le s_{n+1}\le f$，并且 $s_n(x)\uparrow f(x)$。截断控制函数值范围，二进网格控制量化误差。这条构造说明简单函数足以从下方逐点恢复任何非负可测函数。

这个定义也解释了为何零测集上的数值不贡献积分。若 $N$ 为零测集，任何满足 $0\le s\le f\mathbf1_N$ 的简单函数，其正水平集都包含在 $N$ 中，因而积分为零。对上确界取值后得到

反过来，若 $f\ge0$ 且 $\int f=0$，则对每个正整数 $k$，

故 $\mu(\{f>1/k\})=0$。而 $\{f>0\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{f>1/k\}$，所以 $f=0$ 几乎处处。于是“非负函数积分为零”等价于“函数几乎处处为零”。

从定义可推出单调性：$0\le f\le g$ 时，$\int f\le\int g$。对非负可测函数还成立齐次性和可列可加式的积分版本；这些结论允许值为无穷，但不能据此做无穷减无穷。

例 2：处处不连续函数仍有 Lebesgue 积分

在 $[0,1]$ 上令

$$f=\mathbf1_{\mathbb Q\cap[0,1]}.$$

有理数与无理数都在每个区间中稠密，所以 $f$ 处处不连续，因而不 Riemann 可积。集合 $\mathbb Q\cap[0,1]$ 可数，Lebesgue 测度为零，故

$$\int_0^1 f\,\mathrm dm =1\cdot m(\mathbb Q\cap[0,1])=0.$$

$f=0$ 几乎处处。Lebesgue 积分忽略零测集上的函数值，却没有把稠密性或不连续性说成不存在；它使用的是与 Riemann 判据不同的可测结构。

正负部分与可积性

对实值可测函数 $f$，定义

于是 $f=f^+-f^-$ 且 $|f|=f^++f^-$，两部分都是非负可测函数。

有符号函数的积分与 Lebesgue 可积

若 $\int f^+\,\mathrm d\mu$ 和 $\int f^-\,\mathrm d\mu$ 不同时为无穷，可定义扩展积分

$$\int_X f\,\mathrm d\mu =\int_Xf^+\,\mathrm d\mu-\int_Xf^-\,\mathrm d\mu.$$

若

$$\int_X|f|\,\mathrm d\mu<\infty,$$

则称 $f$ Lebesgue 可积，记作 $f\in L^1(\mu)$。这等价于 $f^+$ 与 $f^-$ 的积分都有限。

绝对可积性排除了 $\infty-\infty$。在此条件下积分线性成立，并有

若 $f=g$ a.e. 且其中一个函数可积，则另一个函数的可测代表也可积，积分相等。后续 $L^1$ 空间因此把几乎处处相等的函数视为同一元素。

局部抵消不能代替绝对可积。例如在 $\mathbb R$ 上，$f(x)=x^{-1}\mathbf1_{[1,\infty)}(x)$ 非负且积分发散；交替符号的条件收敛级数或对称主值也不自动成为 Lebesgue 积分。主值是另一种极限约定，不能用来掩盖 $f^+$、$f^-$ 同时无穷。

三个收敛工具各自承担什么

极限与积分的交换写成

逐点收敛本身不足以推出这条等式。单调收敛定理、Fatou 引理和控制收敛定理给出三种不同强度的控制。

单调收敛定理（MCT）

设 $f_n:X\to[0,\infty]$ 可测，且

$$f_1\le f_2\le\cdots, \qquad f_n\uparrow f\quad\text{几乎处处}.$$

若 $f$ 可测，则

$$\int_X f\,\mathrm d\mu =\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,\mathrm d\mu,$$

等式两边允许为 $\infty$。

证明

单调性先给出 $\int f_n\le\int f$，所以积分极限 $L$ 满足 $L\le\int f$。反向取任意简单函数 $0\le s\le f$ 和 $0<c<1$。在集合 $E_n=\{f_n\ge cs\}\cap\{s>0\}$ 上有 $cs\mathbf1_{E_n}\le f_n$，而 $E_n\uparrow\{s>0\}$，忽略可能的零测例外。简单函数积分和测度从下连续给出

$$L\ge\lim_n\int cs\mathbf1_{E_n}\,\mathrm d\mu =c\int s\,\mathrm d\mu.$$

令 $c\uparrow1$，再对所有简单下界 $s$ 取上确界，得到 $L\ge\int f$。

例 3：用 MCT 接近一个可积奇点

在 $(0,1]$ 上定义

$$f_n(x)=x^{-1/2}\mathbf1_{[1/n,\,1]}(x).$$

集合 $[1/n,1]$ 随 $n$ 增大而扩张，所以 $0\le f_n\uparrow f(x)=x^{-1/2}$。逐项积分为

$$\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm dx =\int_{1/n}^{1}x^{-1/2}\,\mathrm dx =2-\frac{2}{\sqrt n}.$$

MCT 给出成功的换序

$$\int_0^1x^{-1/2}\,\mathrm dx =\int_0^1\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm dx =\lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x)\,\mathrm dx =2.$$

这里没有共同的有界控制，但单调性和非负性足够。若极限积分为无穷，MCT 仍然成立。

MCT 还给出非负函数级数的逐项积分公式。若 $h_k\ge0$ 可测，令 $S_n=\sum_{k=1}^nh_k$，则 $S_n\uparrow\sum_{k=1}^{\infty}h_k$，从而

两边允许为无穷。这个结论不需要先证明级数绝对收敛，因为每一项都非负；若各项有符号，则必须另行控制正负部分。

例 4：非负幂级数与积分换序

在 $[0,1/2]$ 上，部分和

$$S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}x^k$$

非负且递增到 $(1-x)^{-1}$。MCT 允许交换级数与积分：

$$\int_0^{1/2}\frac{1}{1-x}\,\mathrm dx =\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^{1/2}x^k\,\mathrm dx =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{-(k+1)}}{k+1}.$$

左侧直接计算为 $\log2$，所以右侧级数也等于 $\log2$。若区间改成 $[0,1]$，极限函数在一点取无穷并不单独造成问题，但 $(1-x)^{-1}$ 在端点附近积分发散，MCT 会给出两边同为无穷，而不是有限换序公式。

Fatou 引理

若 $f_n:X\to[0,\infty]$ 可测，则

$$\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\,\mathrm d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\,\mathrm d\mu.$$

令 $g_n=\inf_{k\ge n}f_k$。则 $g_n\uparrow\liminf_k f_k$，并且 $g_n\le f_k$ 对所有 $k\ge n$ 成立。对 $g_n$ 使用 MCT 和积分单调性即可得到 Fatou 引理。它不要求 $f_n$ 收敛，也不保证等号；结论只控制积分的下极限。若存在可积函数 $h$ 使 $f_n\ge h$，可对非负函数 $f_n-h$ 使用相应版本。

控制收敛定理（DCT）

设 $f_n$ 与 $f$ 可测，$f_n\to f$ 几乎处处。若存在 $g\in L^1(\mu)$，使每个 $n$ 都有

$$|f_n|\le g\quad\text{几乎处处},$$

则 $f\in L^1(\mu)$，并且

$$\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\,\mathrm d\mu =\int_Xf\,\mathrm d\mu, \qquad \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\,\mathrm d\mu=0.$$

由 $|f|\le g$ 得极限函数可积。对非负函数 $g+f_n$ 使用 Fatou 引理，得到 $\int f\le\liminf_n\int f_n$；对 $g-f_n$ 使用同一引理，得到 $\limsup_n\int f_n\le\int f$。上下极限夹出积分收敛。再对 $|f_n-f|\le2g$ 使用控制收敛，便得到 $L^1$ 收敛结论。

三者的差别可压缩为下表：

工具	函数列条件	极限条件	结论
MCT	非负且递增	几乎处处趋于可测 $f$	积分递增到极限积分，可取无穷
Fatou	非负	不要求收敛，使用 $\liminf$	只给 $\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$
DCT	可有符号，受同一 $g\in L^1$ 控制	几乎处处趋于 $f$	积分收敛，并有 $L^1$ 收敛

MCT 的核心是顺序，DCT 的核心是共同可积控制，Fatou 则在最少假设下保留一侧不等式。使用前应逐项写出所选定理的假设，而不是仅凭“函数看起来变小”判断。

例 5：DCT 允许交换幂函数列的极限与积分

在 $[0,1]$ 上令 $f_n(x)=x^n$。对 $0\le x<1$，$x^n\to0$；在 $x=1$ 极限为一，所以 $f_n\to0$ 几乎处处。又有

$$|f_n(x)|\le1,$$

而常数函数一在有限测度区间上可积。DCT 因而给出

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1x^n\,\mathrm dx =\int_0^1\lim_{n\to\infty}x^n\,\mathrm dx=0.$$

直接计算左侧为 $1/(n+1)$，与定理一致。单点 $x=1$ 的极限不同不影响积分，因为该点测度为零。

DCT 在有限测度空间中包含常用的有界收敛结论：若 $\mu(X)<\infty$、$f_n\to f$ a.e.，并且存在常数 $M$ 使 $|f_n|\le M$，则常数函数 $g=M\mathbf1_X$ 可积，因而积分收敛。在无限测度空间中，同一个常数控制函数通常不可积，所以“函数列一致有界”仍不足以套用 DCT。若 $f_n$ 在有限测度空间上一致收敛到 $f$，则

积分收敛还可由这个直接估计得到。

没有统一控制时，质量会集中或逃逸

逐点趋于零但积分恒为一

在 $(0,1)$ 上定义

$$f_n(x)=n\mathbf1_{(0,\,1/n)}(x).$$

对每个固定 $x>0$，当 $n>1/x$ 时 $x\notin(0,1/n)$，所以 $f_n(x)\to0$。然而

$$\int_0^1f_n(x)\,\mathrm dx=n\cdot\frac1n=1.$$

因此

$$\lim_n\int f_n=1 \ne0=\int\lim_nf_n.$$

这是一处明确的换序失败。序列非负但不单调，故 MCT 不适用；Fatou 只给出正确但严格的不等式 $0\le1$；DCT 也不适用。若 $g$ 控制所有 $f_n$，则在区间 $(1/(n+1),1/n)$ 上有 $g\ge n$，于是

$$\int_0^1g\,\mathrm dx \ge\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1}=\infty.$$

所以不存在可积的共同控制函数。函数图像越来越窄、越来越高，单位质量集中到端点附近；逐点观察会错过这部分质量。

另一个常见模式是在无限测度空间中令 $f_n=\mathbf1_{[n,n+1]}$。每点最终都取零，积分却始终为一；此时质量不是集中到一点，而是逃向无穷远。两类反例都说明，局部逐点信息必须配合全局积分控制。

共同可积控制之所以能排除集中现象，还可由积分的绝对连续性说明。若 $g\in L^1(\mu)$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使每个满足 $\mu(E)<\delta$ 的可测集 $E$ 都有

证明时令 $M\to\infty$，函数 $|g|\mathbf1_{\{|g|>M\}}$ 几乎处处趋于零，并受 $|g|$ 控制。DCT 允许选取充分大的 $M>0$，使 $\int_{\{|g|>M\}}|g|<\varepsilon/2$；再取 $\delta=\varepsilon/(2M)$。于是

若 $|f_n|\le g$，所有 $f_n$ 在小测度集合上的积分便同时很小。反例 $n\mathbf1_{(0,1/n)}$ 把固定质量压进越来越小的集合，正好违反这种统一绝对连续性。

练习

练习标记完成

设 $A,B,C$ 两两不交，测度分别为 $2,1,3$。令 $s=3\mathbf1_A-2\mathbf1_B+\mathbf1_C$。求 $s^+$、$s^-$、$\int s\,\mathrm d\mu$ 和 $\int|s|\,\mathrm d\mu$。

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有

$$s^+=3\mathbf1_A+\mathbf1_C, \qquad s^-=2\mathbf1_B.$$

因此 $\int s^+=3\cdot2+1\cdot3=9$，$\int s^-=2\cdot1=2$，从而

$$\int s\,\mathrm d\mu=9-2=7, \qquad \int|s|\,\mathrm d\mu=9+2=11.$$

练习标记完成

对实数 $\alpha$，判断函数 $f_\alpha(x)=x^{-\alpha}$ 在 $(0,1)$ 上何时 Lebesgue 可积，并计算可积情形的积分。

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$f_\alpha$ 非负可测。广义积分计算给出：当 $\alpha<1$ 时，

$$\int_0^1x^{-\alpha}\,\mathrm dx =\left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_{0}^{1} =\frac1{1-\alpha}.$$

当 $\alpha=1$ 时为对数发散；当 $\alpha>1$ 时，$x^{1-\alpha}$ 在零点发散。因此恰在 $\alpha<1$ 时属于 $L^1(0,1)$。

练习标记完成

在 $\mathbb R$ 上定义

$$s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}2^{-k}\mathbf1_{[k,\,k+1)}(x).$$

说明可使用 MCT，并求极限函数 $s$ 的积分。

查看解答

每个 $s_n$ 非负可测，而且增加一项非负函数，所以 $s_n\uparrow s$，其中

$$s(x)=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}\mathbf1_{[k,\,k+1)}(x).$$

MCT 给出

$$\int_{\mathbb R}s\,\mathrm dx =\lim_n\sum_{k=1}^{n}2^{-k}m([k,k+1)) =\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}=1.$$

练习标记完成

仍取 $f_n=n\mathbf1_{(0,1/n)}$。分别计算 $\int\liminf_n f_n$ 与 $\liminf_n\int f_n$，并解释 Fatou 引理为何不能推出积分收敛。

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每点最终取零，所以 $\liminf_n f_n=0$，左侧积分为零。每个 $f_n$ 的积分为一，右侧下极限为一。Fatou 给出的只是 $0\le1$，并不声称二者相等。函数列缺少单调性和可积共同控制，因而不能从 Fatou 的单侧估计升级为换序等式。

练习标记完成

在 $[0,1]$ 上令

$$h_n(x)=\frac{x^n}{1+x}.$$

验证 DCT 的每项条件，并求 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1h_n(x)\,\mathrm dx$。不要求先算出每个积分的闭式。

查看解答

$h_n$ 连续，因而可测。对 $0\le x<1$，$x^n\to0$；在 $x=1$ 的单点极限为 $1/2$，所以 $h_n\to0$ 几乎处处。并且

$$0\le h_n(x)\le\frac1{1+x}\le1.$$

常数函数一在 $[0,1]$ 上可积，可作共同控制函数。DCT 给出

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,\mathrm dx =\int_0^1 0\,\mathrm dx=0.$$

知识关系与资源

• 测度与可测性 提供可测集合、简单函数和几乎处处语言。
• 函数列与一致收敛 强调一致控制；DCT 则以可积函数控制处理几乎处处收敛。
• 数学期望 是概率测度下的 Lebesgue 积分，随机变量可积等价于绝对期望有限。
• Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理 将以 $\int|f|^p$ 定义范数，并回答二重积分何时能够换序。

课程 · 2003

Measure and Integration

Jeff Viaclovsky

用于核对可测性、积分定义、极限换序条件、Lp 范数与乘积测度结论。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 的 Measure and Integration 课程系统讲解 Lebesgue 积分构造、收敛定理、Lp 空间和乘积测度。可据此继续核对定理证明，并学习 Tonelli 与 Fubini 定理对二重积分换序提出的条件。

后续路线

本章处理的是函数列极限与单个积分的交换。下一章进入 $L^p$ 空间后，Hölder 与 Minkowski 不等式将给出范数控制；乘积测度、Tonelli 和 Fubini 定理再处理两个积分次序的交换。无论是哪种换序，结论都来自明确的非负性、绝对可积性或共同控制条件，而不是形式符号的自由移动。