Riemann 度量、测地线与曲率

为什么流形还需要度量

光滑流形只规定哪些坐标变换可微，因此能谈切向量、微分和积分，却不能自动比较两个切向量的长度或夹角。即使两个流形微分同胚，它们也可能携带完全不同的几何：同一张二维参数域既可描述平面，也可描述球面的一块。Riemann 度量补上的正是逐点内积；一旦内积随点光滑变化，就能把微积分中的速度、弧长、最短路和弯曲程度搬到抽象流形上。

本章始终区分“对象”与“坐标分量”。度量 $g$、曲线长度、协变导数和曲率张量是几何对象；矩阵 $(g_{ij})$、Christoffel 符号 $\Gamma^k_{ij}$ 和张量的分量随坐标改变。坐标公式是计算工具，不是定义本身。

Riemann 度量：每个切空间上的光滑内积

Riemann 度量

设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形。Riemann 度量是对每个 $p\in M$ 给定一个正定对称双线性型

$$g_p:T_pM\times T_pM\longrightarrow\mathbb R,$$

并要求对任意光滑向量场 $X,Y$，函数 $p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$ 光滑。二元组 $(M,g)$ 称为 Riemann 流形。

在局部坐标 $(x^1,\ldots,x^n)$ 中，令 $g_{ij}=g(\partial_i,\partial_j)$，则

这里及下文对重复的上下指标求和。换到坐标 $y^a$ 后，分量按

变化，所以矩阵会变，但同一切向量的数值 $g_p(v,v)$ 不变。正定性给出 $|v|_g=\sqrt{g(v,v)}$，并由极化得到夹角。

例 1：极坐标分量变化，但平面仍是平的

欧氏平面的直角坐标度量是 $g=dx^2+dy^2$。令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，则

$$dx=\cos\theta\,dr-r\sin\theta\,d\theta, \qquad dy=\sin\theta\,dr+r\cos\theta\,d\theta.$$

展开并消去交叉项，得到

$$g=dr^2+r^2d\theta^2.$$

矩阵从单位阵变成 $\operatorname{diag}(1,r^2)$，这不表示空间产生了曲率，只表示坐标基 $(\partial_r,\partial_\theta)$ 不是单位正交基：$|\partial_\theta|=r$。例如圆周 $\gamma(\theta)=(R,\theta)$ 的速度平方为 $R^2$，长度为 $\int_0^{2\pi}R\,d\theta=2\pi R$，与直角坐标计算一致。

长度、能量与参数化

分段光滑曲线 $\gamma:[a,b]\to M$ 的长度和能量定义为

长度在保持方向的正则重参数化下不变：若 $t=\phi(s)$ 且 $\phi'(s)>0$，换元会让速度多出的 $\phi'$ 与积分元抵消。能量一般会改变，因此讨论能量临界点时必须固定参数区间和端点。Cauchy–Schwarz 不等式给出

等号当且仅当速度 $|\dot\gamma|_g$ 几乎处处为常数。于是固定区间内，常速长度临界曲线也可由能量变分研究。

长度还诱导距离

定义中的下确界不保证任意两点间一定存在达到它的曲线；存在性需要完备性等额外条件。即使一条测地线在短段上最短，延长后也可能失去全局最短性，球面两点的多条大圆弧就是基本提醒。

Levi-Civita 联络：沿曲线比较不同切空间的向量

不同点的切向量属于不同向量空间，不能直接相减。联络给出沿方向 $X$ 对向量场 $Y$ 求协变导数 $\nabla_XY$ 的规则：它对 $X$ 是函数线性的，对 $Y$ 满足 Leibniz 法则。Riemann 度量选出唯一的自然联络。

Levi-Civita 基本定理

每个 Riemann 流形 $(M,g)$ 上存在唯一联络 $\nabla$，同时满足：

1. 无挠：$\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$；
2. 度量相容：$Xg(Y,Z)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)$。

该联络称为 Levi-Civita 联络。

把两条条件循环代入可得到 Koszul 公式，因此唯一性不是坐标猜测。坐标向量场彼此对易，写 $\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k$，便有

其中 $(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}$。$\Gamma^k_{ij}$ 不是张量分量：在一个点可选正规坐标使它们全为零，但不能由此推出附近曲率为零。

测地线方程与两个可核验模型

仿射参数测地线

曲线 $\gamma$ 若满足

$$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0,$$

就称为仿射参数测地线。在局部坐标中等价于

$$\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x(t))\dot x^i\dot x^j=0, \qquad k=1,\ldots,n.$$

度量相容性给出 $\frac{d}{dt}g(\dot\gamma,\dot\gamma)=2g(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma,\dot\gamma)=0$，所以仿射参数测地线自动常速。非仿射重参数可能保留同一条几何轨迹，却不再满足右端为零的方程。

例 2：平面极坐标中的非零 Christoffel 符号

对 $g=dr^2+r^2d\theta^2$ 使用公式，唯一非零的独立符号是

$$\Gamma^r_{\theta\theta}=-r, \qquad \Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=\frac1r.$$

测地线方程为

$$\ddot r-r\dot\theta^2=0, \qquad \ddot\theta+\frac{2}{r}\dot r\dot\theta=0.$$

若 $\theta$ 为常数且 $r(t)=at+b$，两式成立，因此不过原点的径向直线段在该坐标区内是测地线。若 $r=R$、$\theta=t$，第一式变成 $-R=0$，不成立，所以普通圆周不是平面测地线。非零 Christoffel 符号只反映极坐标基变化；稍后计算的 Riemann 曲率仍为零。

例 3：圆球面的赤道与子午线

半径 $a$ 的球面在去掉两极的球坐标中有

$$g=a^2\left(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2\right).$$

非零 Christoffel 符号为

$$\Gamma^\vartheta_{\varphi\varphi}=-\sin\vartheta\cos\vartheta, \qquad \Gamma^\varphi_{\vartheta\varphi} =\Gamma^\varphi_{\varphi\vartheta}=\cot\vartheta.$$

赤道取 $\vartheta=\pi/2$、$\varphi=ct+d$：第一式中的 $\sin\vartheta\cos\vartheta$ 为零，第二式也因 $\dot\vartheta=0$ 成立。子午线取 $\varphi$ 常数、$\vartheta=ct+d$，同样满足方程。两类轨迹都是球心平面与球面的交线，即大圆。赤道两点若不是对跖点，较短大圆弧给出全局最短路；对跖点之间则有无穷多条等长半圆，说明测地线不等于唯一最短路。

Riemann 曲率与三个收缩层次

联络沿两个方向先后求导可能不交换。固定本章符号约定

这个 $R$ 对 $X,Y,Z$ 都是函数线性的，因而是真正的 $(1,3)$ 型张量。不同教材可能把整个定义乘以 $-1$；引用分量公式或比较曲率正负前必须先对齐约定。本章的截面曲率定义为

分母是 $X,Y$ 张成平行四边形面积的平方，所以结果与该二维平面的基选择无关。

截面曲率给每个二维切平面一个数，是最细的标量化信息。Ricci 曲率把 Riemann 曲率在一个正交基 $e_1,\ldots,e_n$ 上取迹：

标量曲率再取一次迹：

因此 Riemann 曲率是张量，截面曲率依赖二维平面，Ricci 曲率是对称二阶张量，标量曲率才是单个函数。维数二时只有一个切平面，Ricci 与标量曲率都由 Gauss 曲率决定；高维中一个标量不足以恢复所有弯曲方向。

例 4：半径 a 的球面曲率层次

沿用球面度量。将上面的 Christoffel 符号代入曲率分量公式，得到与截面曲率分子对应的分量

$$g\!\left( R(\partial_\vartheta,\partial_\varphi)\partial_\varphi, \partial_\vartheta \right) =a^2\sin^2\vartheta.$$

而 $g_{\vartheta\vartheta}g_{\varphi\varphi}-g_{\vartheta\varphi}^2 =a^4\sin^2\vartheta$，所以

$$K=\frac1{a^2}.$$

这是常正曲率。二维常曲率情形满足 $\operatorname{Ric}=Kg$、$S=2K$，故

$$\operatorname{Ric}=\frac1{a^2}g, \qquad S=\frac2{a^2}.$$

结果在两极仍成立；球坐标分量在那里失效，不是几何量发散。作为对照，欧氏平面在直角坐标中所有 Christoffel 符号为零，故 $R=0$；张量性再保证极坐标中计算也必须得到零。

思考实验：能否用换坐标消去弯曲

在任意点 $p$ 附近都可选正规坐标，使 $g_{ij}(p)=\delta_{ij}$ 且 $\partial_k g_{ij}(p)=0$，于是 $\Gamma^k_{ij}(p)=0$。站在这一点做一阶测量，流形看起来像欧氏空间。但曲率由度量的二阶信息控制，一般不能同时消去。设想把球面地图不断换投影：可以让某一点附近的长度失真降低，却不能找到一张坐标图使整个球面度量都变成 $dx^2+dy^2$。严格障碍不是地图看上去弯，而是球面 $K=1/a^2$，平面 $K=0$；截面曲率是坐标不变量。

常见误区

Christoffel 符号非零就说明曲率非零

极坐标中的欧氏平面有非零 Christoffel 符号，但曲率张量为零。Christoffel 符号记录坐标基的变化，不是张量；曲率由特定导数和二次项组合后才成为张量。

测地线在任意长度上都是全局最短路

测地线首先是局部微分方程的解，并在足够短的区间内局部最短。球面大圆延伸超过半圆后不再给端点间较短路径，对跖点之间还存在多条同长测地线。

标量曲率包含全部曲率信息

标量曲率是 Ricci 曲率的迹，而 Ricci 又是 Riemann 曲率的收缩。高维中不同曲率张量可能具有相同标量曲率；只有在特殊低维或附加对称条件下才能由较少数据恢复更多信息。

长度和能量都与参数无关

长度对正则保向重参数不变，能量通常不变性不足。固定参数区间后，常速参数使能量—长度不等式取等号，这正是变分推导测地线时需要控制参数的原因。

练习

练习 1：从直角坐标推回极坐标度量标记完成

所属知识

坐标变换

难度

3/5

在 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上由 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 推导 $dx^2+dy^2=dr^2+r^2d\theta^2$，并计算螺线 $r=e^t,\theta=t$、$0\le t\le1$ 的长度。

查看提示

分别写出 dx 与 dy，展开平方后检查 $dr d\theta$ 交叉项是否抵消。

查看解答

代入 $dx=\cos\theta\,dr-r\sin\theta\,d\theta$ 与 $dy=\sin\theta\,dr+r\cos\theta\,d\theta$，平方相加后交叉项相消，得到目标度量。曲线上 $\dot r=e^t$、$\dot\theta=1$，故速度平方为 $e^{2t}+e^{2t}=2e^{2t}$。于是

$$L=\int_0^1\sqrt2e^t\,dt=\sqrt2(e-1).$$

可在直角坐标 $\gamma(t)=(e^t\cos t,e^t\sin t)$ 中求导复核同一速度。

练习 2：能量—长度不等式的等号条件标记完成

所属知识

长度与能量

难度

4/5

证明对 $\gamma:[a,b]\to M$ 有 $L(\gamma)^2\le2(b-a)E(\gamma)$，并说明等号为何等价于常速参数。若把同一条非恒定曲线改成忽快忽慢的参数，长度和能量分别如何变化？

查看提示

对函数 1 与速度大小 $|\dot{\gamma}|$ 使用 Cauchy–Schwarz，并检查何时线性相关。

查看解答

Cauchy–Schwarz 给出

$$\left(\int_a^b1\cdot|\dot\gamma|dt\right)^2 \le\left(\int_a^b1dt\right) \left(\int_a^b|\dot\gamma|^2dt\right) =2(b-a)E.$$

等号当且仅当 $|\dot\gamma|$ 几乎处处与常函数 $1$ 成比例，即速度恒定。正则保向重参数只改变遍历速率，换元后长度不变；能量中的速度平方不会完全被积分元抵消，非匀速参数通常使能量改变，并在固定区间与固定轨迹下不小于常速参数的能量。

练习 3：直接核验球面赤道标记完成

所属知识

测地线方程

难度

4/5

对度量 $g=a^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2)$，写出测地线方程并证明赤道的匀速参数满足它。再说明同一赤道用 $\varphi=t^3$ 参数时为什么轨迹仍是大圆，但参数不再是仿射参数。

查看提示

把 $\theta=\pi/2$、$\phi=ct+d$ 代入两条坐标测地线方程，逐项核对。

查看解答

由本章 Christoffel 符号得到

$$\ddot\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\,\dot\varphi^2=0, \qquad \ddot\varphi+2\cot\vartheta\,\dot\vartheta\dot\varphi=0.$$

取 $\vartheta=\pi/2$、$\varphi=ct+d$，有 $\dot\vartheta=\ddot\vartheta=\ddot\varphi=0$ 且 $\cos(\pi/2)=0$，两式成立。改用 $\varphi=t^3$ 后第二式在赤道化为 $\ddot\varphi=6t$，一般不为零，所以不是仿射参数；但点集仍落在同一赤道上。

练习 4：常截面曲率的两次取迹标记完成

所属知识

Ricci 与标量曲率

难度

5/5

设 $n$ 维 Riemann 流形在一点的每个二维平面都有同一截面曲率 $K$。证明该点 $\operatorname{Ric}=(n-1)Kg$，并求标量曲率。将结论用于半径 $a$ 的二维球面。

查看提示

在单位正交基中，对固定单位向量 X，把与 X 正交的 $n-1$ 个方向的截面曲率相加。

查看解答

取单位向量 $X=e_1$ 并补成正交基。Ricci 的迹定义给出

$$\operatorname{Ric}(X,X) =\sum_{i=1}^n g(R(e_i,X)X,e_i) =\sum_{i=2}^nK=(n-1)K.$$

再由极化得到 $\operatorname{Ric}=(n-1)Kg$。对正交基再次取迹， $S=n(n-1)K$。二维半径 $a$ 球面有 $K=1/a^2$，故 $\operatorname{Ric}=a^{-2}g$、$S=2/a^2$，与例 4 一致。

练习 5：双曲上半平面的竖直测地线标记完成

所属知识

非欧度量

难度

5/5

在上半平面 $H=\{(x,y):y>0\}$ 上取

$$g=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}.$$

验证非零 Christoffel 符号为 $\Gamma^x_{xy}=\Gamma^x_{yx}=-1/y$、 $\Gamma^y_{xx}=1/y$、$\Gamma^y_{yy}=-1/y$，并证明 $\gamma(t)=(c,e^t)$ 是单位速测地线。

查看提示

先由 $gxx=gyy=y^{-2}$ 计算 Christoffel 符号，再把 x=c、$y=e^t$ 代入。

查看解答

逆矩阵为 $g^{ij}=y^2\delta^{ij}$，且只有对 $y$ 的导数非零。代入 Levi-Civita 公式逐项得到题中四个符号。测地线方程为

$$\ddot x-\frac{2}{y}\dot x\dot y=0, \qquad \ddot y+\frac1y\dot x^2-\frac1y\dot y^2=0.$$

对 $x=c$、$y=e^t$，第一式恒为零；第二式为 $e^t-e^{2t}/e^t=0$。速度平方是 $y^{-2}\dot y^2=e^{-2t}e^{2t}=1$，故它还是单位速参数。该模型具有常负截面曲率，但这不是由竖直线的形状单独证明的。

练习 6：区分坐标量与几何量标记完成

所属知识

不变量

难度

4/5

将下列对象分为“几何对象或不变量”与“给定坐标下的分量”： $g$、$g_{ij}$、$L(\gamma)$、$\Gamma^k_{ij}$、$R$、$R^\ell{}_{ijk}$、$K(\sigma)$、$S$。解释为什么在一点使所有 $\Gamma^k_{ij}$ 为零，不能推出该点所有曲率分量为零。

查看提示

问每一项能否在一个点通过换坐标强制为零；再问其定义是否依赖坐标基。

查看解答

$g$、曲线长度 $L(\gamma)$、曲率张量 $R$、截面曲率 $K(\sigma)$ 与标量曲率 $S$ 都由坐标无关定义给出； $g_{ij}$、$\Gamma^k_{ij}$、$R^\ell{}_{ijk}$ 是选定坐标基后的数字函数。前后两组并非“重要”和“不重要”的区别：张量分量虽变换，仍编码同一张量；Christoffel 符号含有非张量的二阶坐标变换项。正规坐标只消去度量的一阶导数和联络系数，曲率包含无法一般同时消去的二阶信息，所以曲率分量可能非零。

知识关系与可信资源

• 流形、坐标图与切空间 提供度量和联络作用的底层对象，并解释坐标分量的变换。
• 微分形式、外微分与 Stokes 定理 把度量诱导体积形式、积分和曲率形式放入坐标无关语言。
• 拓扑与微分几何综合复习 将用球面上的局部坐标、面积形式、测地线与曲率检验局部—全局推理。

课程 · 2008

Differential Geometry

Paul Seidel

用于核对 M15 Riemann 度量、测地线、曲率计算与几何解释的假设和符号。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.950 Differential Geometry 的官方课程材料系统讨论曲线、曲面、度量、测地线与曲率，可用于核对本章的符号假设和模型计算。本文明确固定曲率张量约定；若与其他材料对读，应先检查 $R$ 的整体符号，再比较截面曲率分子。

后续学习

下一章将把这些局部计算放回完整流形：为什么球面不能由一张坐标图覆盖，面积形式为何是全局对象，Stokes 定理如何检测“局部可写、全局不可拼”的障碍，以及曲率为什么不能靠换坐标消去。更进一步可研究指数映射、完备性与 Hopf–Rinow 定理、Jacobi 场和共轭点，再进入 Gauss–Bonnet 定理与 Ricci 几何。学习这些结果时，应继续区分已直接复算的模型、依赖附加条件的全局定理与仅用于发现问题的几何直觉。