孤立奇点、Laurent 级数与留数

目标：把奇点压缩成一个局部系数

Cauchy 定理要求被积函数在围道及其内部全纯。一旦内部出现孤立奇点，闭路积分不再必为零，却也不是完全失控：围道积分只读取每个奇点附近 Laurent 展开中 $(z-a)^{-1}$ 的系数。这个系数叫留数。其余正幂项有原函数，负二次及更低幂沿单圈积分也为零；唯有负一次幂留下 $2\pi i$。

因此本章把问题拆成两层。局部层面先选正确圆环、展开函数、分类奇点并找出留数；全局层面再检查围道方向、内部包含哪些奇点以及远处圆弧是否消失。留数定理不能替代这些条件检查，它只是把检查后的局部数据精确相加。

Laurent 级数属于一个圆环

幂级数用非负幂描述圆盘内的解析函数。若中心 $a$ 本身不能取值，但函数在穿孔邻域全纯，就需要允许负幂：

第一部分称正则部，第二部分称主部。若 $f$ 在圆环

全纯，则它在该圆环有唯一 Laurent 展开，并在每个紧子圆环上一致收敛。取任意满足 $r<\rho<R$ 的正向圆 $|\zeta-a|=\rho$，系数由

给出。圆半径可在同一无奇点圆环内改变而不改变系数。

Laurent 展开与圆环依赖性

Laurent 展开必须连同中心和圆环一起陈述。圆环边界通常由离中心最近的其他奇点决定。同一函数以同一中心、但在不同圆环中可以有不同级数；这不违反唯一性，因为唯一性只在固定圆环内成立。

例 1：同一有理函数的两个 Laurent 展开

以零为中心展开

$$f(z)=\frac1{z(z-1)}.$$

当 $0<|z|<1$ 时，

$$f(z)=-\frac1z\frac1{1-z} =-\sum_{n=0}^{\infty}z^{n-1} =-\frac1z-1-z-z^2-\cdots.$$

当 $|z|>1$ 时，应改用 $1/z$ 为小量：

$$f(z)=\frac1{z^2}\frac1{1-1/z} =\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-2} =\frac1{z^2}+\frac1{z^3}+\cdots.$$

内圆环的负一次项系数是 $-1$，外圆环没有负一次项。两种展开的有效域不同；把第一种代到 $|z|>1$ 或把第二种代到 $|z|<1$ 都是越过收敛边界的误用。

由主部分类孤立奇点

若 $f$ 在 $0<|z-a|<R$ 全纯，称 $a$ 是孤立奇点。其 Laurent 主部给出互斥的三类情形。

孤立奇点的 Laurent 分类

1. 若所有负幂系数都为零，则 $a$ 是可去奇点。令 $f(a)=c_0$ 后函数全纯；等价地，$f$ 在 $a$ 的某个穿孔邻域有界。
2. 若主部恰有有限项，且最负幂为 $c_{-m}(z-a)^{-m}$、 $c_{-m}\ne0$，则 $a$ 是 $m$ 阶极点。等价地， $f(z)=(z-a)^{-m}g(z)$，其中 $g$ 在 $a$ 附近全纯且 $g(a)\ne0$。
3. 若主部有无穷多个非零项，则 $a$ 是本性奇点。

仅凭 $|f(z)|\to\infty$ 可以确认某些极点，却不是最稳健的分类方法；应优先找出因式或 Laurent 主部。非孤立奇点和分支点不属于上述三分法。

例 2：从首项和主部分类

在零点附近，

$$\frac{\sin z}{z^3} =\frac1{z^2}-\frac16+\frac{z^2}{120}-\cdots.$$

最负幂为 $z^{-2}$，所以零是二阶极点；注意负一次项缺失，故其留数为零。再看

$$\frac{1-\cos z}{z^2} =\frac12-\frac{z^2}{24}+\cdots,$$

零点是可去奇点，补值为 $1/2$。最后，

$$e^{1/z}=1+\frac1z+\frac1{2!z^2}+\frac1{3!z^3}+\cdots$$

有无穷主部，故零是本性奇点，其负一次项系数为一。这三个函数都在穿孔邻域全纯，但局部行为由主部结构区分。

留数的定义与计算方法

孤立奇点处的留数

若 $f$ 在 $a$ 的穿孔邻域 Laurent 展开为 $\sum c_n(z-a)^n$，定义

$$\operatorname{Res}(f,a)=c_{-1}.$$

等价地，取足够小的正向圆，

$$\operatorname{Res}(f,a) =\frac1{2\pi i}\oint_{|z-a|=\rho}f(z)\,\mathrm dz.$$

留数可以为零；留数为零不表示奇点可去，例如 $1/z^2$ 在零点有二阶极点但留数为零。

常用计算规则如下。

• 若 $a$ 是简单极点，则 $\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$。

• 若 $f=g/h$，$g,h$ 在 $a$ 全纯，$h(a)=0$、$h'(a)\ne0$，则 $\operatorname{Res}(f,a)=g(a)/h'(a)$。

• 若 $a$ 是 $m$ 阶极点，则

  $$\operatorname{Res}(f,a) =\frac1{(m-1)!}\left[ \frac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm dz^{m-1}} \big((z-a)^mf(z)\big) \right]_{z=a}.$$

• 若局部级数容易获得，可直接相乘并只追踪总次数为 $-1$ 的项，通常比完全展开更省算力。

例 3：一个二阶极点和一个简单极点

令

$$f(z)=\frac{z}{(z-1)^2(z+2)}.$$

在 $z=1$ 是二阶极点。令 $g(z)=z/(z+2)$，则

$$\operatorname{Res}(f,1)=g'(1) =\left.\frac{2}{(z+2)^2}\right|_{z=1}=\frac29.$$

在 $z=-2$ 是简单极点，故

$$\operatorname{Res}(f,-2) =\left.\frac{z}{(z-1)^2}\right|_{z=-2} =-\frac29.$$

两个有限奇点的留数和为零，与 $f(z)=O(z^{-2})$ 在远处没有负一次渐近项相容。这个和只能作为核验；每个局部留数仍应由对应极点公式计算。

留数定理与围道方向

设 $f$ 在区域 $\Omega$ 内除有限个孤立奇点 $a_1,\ldots,a_N$ 外全纯，正向简单闭曲线 $\gamma$ 及其内部包含在 $\Omega$，且奇点不在曲线上。挖去每个奇点周围的小圆，剩余多连通区域上可用 Cauchy 定理；内边界相对该区域取顺时针方向。整理方向后得到

留数定理

$$\oint_\gamma f(z)\,\mathrm dz =2\pi i\sum_{k=1}^{N}\operatorname{Res}(f,a_k).$$

若外围道顺时针，右端整体变号。对一般闭路，公式为

$$\oint_\gamma f(z)\,\mathrm dz =2\pi i\sum_k \operatorname{Ind}(\gamma,a_k) \operatorname{Res}(f,a_k),$$

其中 $\operatorname{Ind}(\gamma,a_k)$ 是绕数。奇点落在曲线上时，通常围道积分本身不按普通定义存在；除非题目明确引入主值或凹口围道，否则不能给它“算半个留数”。

例如对上一例的 $f$，若正向围道只围住 $1$，积分为 $4\pi i/9$；若同时围住 $1$ 和 $-2$，积分为零；若只围住 $1$ 但方向顺时针，积分为 $-4\pi i/9$。积分值随奇点集合和绕数改变，而不取决于围道在无奇点区域中的具体形状。

对数导数记录零点与极点的重数

留数还可以计数。设亚纯函数 $f$ 在正向简单闭曲线 $\gamma$ 上既无零点也无极点。若 $a$ 是 $m$ 阶零点，则局部可写成

所以

在 $a$ 的留数为 $m$。若 $a$ 是 $m$ 阶极点，同样分解会给出留数 $-m$。因此留数定理得到辩值原理

其中 $N$、$P$ 分别是围道内按重数计算的零点数和极点数。左端也表示复数 $f(z)$ 沿像曲线绕原点的总圈数：每绕一圈，连续选择的辐角净变化 $2\pi$。这一几何解释不能替代局部因式分解，因为像曲线可能自交；真正保证整数计数的是对数导数留数。

例如 $f(z)=(z-1)^3/(z+2)^2$，若围道同时包含 $1$ 与 $-2$，则积分 $\oint f'/f\,\mathrm dz=2\pi i(3-2)=2\pi i$。若只包含 $-2$，结果为 $-4\pi i$。零点或极点落在曲线上时，$f'/f$ 在积分路径上无定义，计数公式不能直接使用。

用半圆围道计算实积分

留数法求实积分需要额外一步：证明补上的圆弧贡献趋于零。设 $a>0$、$b>0$，考虑

在上半平面取由 $[-R,R]$ 与正向半圆弧组成的围道。因为 $z=x+iy$ 时 $|e^{iaz}|=e^{-ay}\le1$，指数因子在上半平面不增长。唯一内部极点为 $z=ib$，其留数是

当 $R>2b$，圆弧上 $|z^2+b^2|\ge R^2-b^2$，故圆弧积分的模不超过

留数定理于是给出

取实部与虚部，得到完整的实积分结论

后一式也可由奇函数性独立核验。若 $a<0$，应改闭合下半平面以保持指数衰减，同时注意围道为顺时针；最终余弦公式依赖 $|a|$。选择半平面是由衰减决定的，不是固定模板。

例 4：无指数因子的实有理积分

计算

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dx}{x^4+1}.$$

在上半平面用半圆闭合。被积函数在圆弧上的模为 $O(R^{-4})$，乘弧长后为 $O(R^{-3})$，故圆弧贡献消失。上半平面的两个简单极点是

$$z_1=e^{i\pi/4},\qquad z_2=e^{3i\pi/4}.$$

因分母导数为 $4z^3$，各留数为 $1/(4z_k^3)$。利用 $z_k^4=-1$ 可写 $1/z_k^3=-z_k$，于是留数和为

$$-\frac{z_1+z_2}{4} =-\frac{i\sqrt2}{4}.$$

因此

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dx}{x^4+1} =2\pi i\left(-\frac{i\sqrt2}{4}\right) =\frac{\pi}{\sqrt2}.$$

结果为正，与原被积函数处处为正相符；这个符号检查能发现根的选择或围道方向错误。

参数思考实验：围道跨过极点时发生什么

令

圆周逆时针。当 $0<R<1$ 时只围住零点，留数为 $-1$，所以 $J(R)=-2\pi i$；当 $R>1$ 时又包含 $z=1$，其留数为 $e$，所以 $J(R)=2\pi i(e-1)$。在各自的半径区间内，连续改变 $R$ 不会改变积分；到 $R=1$ 时极点落在围道上，普通围道积分失去定义。

这说明“围道变形不改变积分”有明确边界：变形扫过的区域不能穿越奇点。跨越一个简单极点时，跳变量正是 $2\pi i$ 乘其留数；若反向跨越或改变绕数，符号相应改变。

常见误区

1. 忽略 Laurent 圆环。 同一代数式在内外圆环的几何级数展开不同；先写 $|z-a|$ 与其他奇点距离的关系。
2. 把留数当作最高阶主部系数。 留数始终是负一次项系数，不论极点阶数多高。
3. 留数为零就判可去。 $1/z^2$ 的留数为零却有二阶极点；分类要看整个主部。
4. 只列围道内分母零点而不检查消去。 分子可能抵消零点，必须先约去可去因子或比较零点阶数。
5. 默认所有大圆弧都消失。 必须结合分母增长、指数衰减和弧长给出上界；若估计不趋零，应换围道或方法。
6. 忘记方向与曲线上奇点。 顺时针使结果变号，曲线上极点则阻止直接应用通常的留数定理。

实际计算可在最后做三项交叉核验：先看积分量纲或数量级是否合理，再检查共轭对称性是否迫使答案为实数或纯虚数，最后比较大圆上的渐近阶与全部有限留数之和。这些核验能发现符号和漏项，却不能替代对每个极点的局部计算。

综合练习

练习 1：在两个圆环展开标记完成

所属知识

Laurent 级数

难度

4/5

以零为中心，分别在 $0<|z|<2$ 与 $|z|>2$ 展开

$$\frac1{z(z-2)}.$$

查看提示

把 1/(z-2) 分别按 z/2 或 2/z 展成几何级数。

查看解答

当 $0<|z|<2$ 时，

$$\frac1{z(z-2)} =-\frac1{2z}\frac1{1-z/2} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{2^{n+1}}.$$

当 $|z|>2$ 时，

$$\frac1{z(z-2)} =\frac1{z^2}\frac1{1-2/z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{z^{n+2}}.$$

内圆环的负一次项系数为 $-1/2$，外圆环没有负一次项。两式不能跨越 $|z|=2$ 混用。

练习 2：分类并求留数标记完成

所属知识

孤立奇点

难度

4/5

分类 $z=0$ 处的奇点并求留数：

$$f(z)=\frac{e^z-1-z}{z^4}.$$

查看提示

先展开 $e^z-1-z$ 到首个非零项，再与 z 的幂比较。

查看解答

由

$$e^z-1-z=\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6} +\frac{z^4}{24}+\cdots,$$

可得

$$f(z)=\frac1{2z^2}+\frac1{6z}+\frac1{24}+\cdots.$$

最负幂是 $z^{-2}$，所以零是二阶极点；负一次项系数为 $1/6$，故 $\operatorname{Res}(f,0)=1/6$。

练习 3：方向与内部极点标记完成

所属知识

留数定理

难度

3/5

曲线 $|z|=2$ 取顺时针方向，计算

$$\oint_{|z|=2}\frac{z+1}{z(z-3)}\,\mathrm dz.$$

查看提示

先分解出位于圆内的极点，再把顺时针记作负方向。

查看解答

圆内只有简单极点 $z=0$，其留数为

$$\lim_{z\to0}\frac{z+1}{z-3}=-\frac13.$$

正向积分会是 $2\pi i(-1/3)$；题目为顺时针，故再乘 $-1$，结果为

$$\frac{2\pi i}{3}.$$

极点 $3$ 位于圆外，不计入留数和。

练习 4：二阶极点的实积分标记完成

所属知识

实积分

难度

5/5

用留数法计算

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dx}{(x^2+4)^2}.$$

查看提示

对 $1/(z^{2}+4)^{2}$ 在上半平面的 z=2i 使用二阶极点导数公式。

查看解答

上半平面只有二阶极点 $z=2i$。写

$$f(z)=\frac1{(z-2i)^2(z+2i)^2}.$$

二阶极点公式给出

$$\operatorname{Res}(f,2i) =\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}(z+2i)^{-2}\right|_{z=2i} =\left.-2(z+2i)^{-3}\right|_{z=2i} =\frac1{16i}.$$

半圆弧贡献为 $O(R^{-3})$，故

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dx}{(x^2+4)^2} =2\pi i\cdot\frac1{16i}=\frac\pi8.$$

也可用已知公式 $\int_{-\infty}^{\infty}(x^2+a^2)^{-2}\,\mathrm dx =\pi/(2a^3)$ 在 $a=2$ 处核验。

练习 5：两个上半平面极点的求和标记完成

所属知识

实积分

难度

5/5

计算

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4+1}\,\mathrm dx.$$

查看提示

$x^{2}/(x^{4}+1)$ 与例 4 共用极点；在简单极点处留数为 $z^{2}/(4z^{3})=1/(4z)$。

查看解答

半圆弧上被积函数为 $O(R^{-2})$，乘弧长后趋零。上半平面极点仍为 $z_1=e^{i\pi/4}$、$z_2=e^{3i\pi/4}$。简单极点留数为

$$\frac{z_k^2}{4z_k^3}=\frac1{4z_k}.$$

因此留数和

$$\frac14\left(e^{-i\pi/4}+e^{-3i\pi/4}\right) =-\frac{i\sqrt2}{4}.$$

乘以 $2\pi i$ 得

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4+1}\,\mathrm dx =\frac\pi{\sqrt2}.$$

它与例 4 的结果相同，也可由代换 $x\mapsto1/x$ 在正半轴上直接核验。

知识关系、资源与后续学习

• 幂级数与局部表示 提供几何级数、Taylor 展开和零点阶数；Laurent 级数是在圆环中加入负幂后的扩展。
• Cauchy 定理与积分公式 提供曲线方向、变形和核函数积分，是留数定理的全局基础。
• 保角映射与解析延拓 研究局部表示跨区域接续时遇到的极点、分支点和单值性障碍。
• 复分析方法综合复习 将依据奇点位置、围道形状和无穷远衰减在 Cauchy 公式、级数与留数之间选择方法。

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Complex Variables with Applications

Jeremy Orloff

用于核对 M13 的定义、积分方向、奇点分类、留数计算、映射条件和例题。

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MIT OpenCourseWare 18.04 的 Laurent 级数、留数与围道积分材料可用于复核局部展开和实积分例题。复核时应把每个级数的圆环、每个极点的阶数、围道方向以及圆弧上界逐项写明；只抄最后的留数和无法验证方法是否适用。

本章建立了从局部到全局的计算链：Laurent 主部分类孤立奇点，负一次项给出留数，留数定理再按绕数汇总所有内部贡献。对实积分，最后还必须证明补充围道的贡献消失。下一章将把局部解析结构用于保角映射与解析延拓，并区分孤立奇点与由多值性造成的分支障碍。