极限与连续性：用邻域刻画逼近

从数列尾部走向函数的穿孔邻域

数列极限用整数阈值 $N$ 控制全部尾项。函数极限面对连续的自变量，整数尾部改为点 $a$ 周围的邻域。设

在定义域内，$q(x)=x+1$。任何满足 $x_n\ne1$ 且 $x_n\to1$ 的数列都会产生 $q(x_n)=x_n+1\to2$。中心点是否有定义、填入什么数，都不影响这些趋近序列的尾部。附近的函数值决定极限，连续性才会进一步要求极限与中心点函数值相接。

数列视角还说明“试了很多点”与“控制所有路径”的差别。有限数值表只抽取有限个输入；极限要求每条合法趋近路径最终得到同一结果。若能构造两列自变量都趋于 $a$，而函数值序列趋于不同数，双侧极限立即被否定。

函数极限的数列判据

设 $f$ 在点 $a$ 的某个穿孔邻域内有定义。则 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 当且仅当：对每个满足 $x_n\in\operatorname{Dom}(f)\setminus\{a\}$ 且 $x_n\to a$ 的数列，都有 $f(x_n)\to L$。

由函数极限推出数列结论时，先按给定误差取得邻域半径，再用 $x_n\to a$ 取得足够大的下标。逆向证明采用反证：若函数极限不成立，就有固定 $\varepsilon_0>0$，使每个半径 $1/n$ 的穿孔邻域中都能选出 $x_n$，满足 $|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0$。这列点趋于 $a$，函数值却不趋于 $L$，与数列条件矛盾。

例如 $f(x)=\sin(1/x)$ 在原点没有极限。取

两列都趋于零，但 $f(x_n)=1$、$f(y_n)=-1$。图像中的持续振荡由两条明确子路径转化为严格的发散证据。

ε-δ 定义把输出精度翻译成输入距离

点 $a$ 的半径为 $\delta$ 的穿孔邻域由 $0<|x-a|<\delta$ 描述。$\varepsilon$ 规定函数值与候选极限的最大误差，$\delta$ 规定输入必须靠近中心点的程度。

有限函数极限

设函数 $f$ 在点 $a$ 的某个穿孔邻域内有定义。若对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使任意满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$ 都满足

$$|f(x)-L|<\varepsilon,$$

则称 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时趋于 $L$，记作 $\lim_{x\to a}f(x)=L$。

量词按“任给 $\varepsilon$—构造 $\delta$—控制邻域内每个 $x$”排列。半径可以依赖误差、函数和极限点，不能依赖随后选出的具体 $x$。穿孔条件排除 $x=a$，因此定义从未使用 $f(a)$。

否定候选极限需要一项固定误差

有限极限定义的否定具有相反的量词结构。要证明 $L$ 不是 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时的极限，需要找到一个固定的 $\varepsilon_0>0$，使每个 $\delta>0$ 对应的穿孔邻域中都存在某个点 $x$，满足

坏点允许随半径改变，误差阈值不能随半径缩小。一个远离 $L$ 的孤立点不会破坏极限，因为更小邻域可能避开它；每个邻域都含坏点才说明统一控制失败。

以 $s(x)=1$（$x>0$）、$s(x)=-1$（$x<0$）为例。对任意候选 $L$，数 $1$ 与 $-1$ 中至少一个到 $L$ 的距离不小于 $1$。选择对应一侧后，每个原点穿孔邻域都含这一侧的点，故可取 $\varepsilon_0=1$ 否定候选。单侧极限不同是同一论证的简洁表示。

线性函数的误差直接与输入距离成比例。证明 $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$ 时，

任给 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon/3$ 即可。二次式多出一个随 $x$ 变化的因子。对 $\lim_{x\to2}x^2=4$，先写

若同时要求 $|x-2|<1$，则 $1\lt x<3$，从而 $|x+2|<5$。选择

就让局部有界条件与目标精度同时成立。ε-δ 证明的设计常从目标误差倒推，正式书写仍按定义的正向量词展开。

有限极限唯一

若函数在同一点的有限极限存在，则该极限值唯一。

证明

假设 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时同时趋于不同实数 $L,M$。令 $d=|L-M|>0$，取误差 $d/3$。两个极限定义分别给出半径 $\delta_L,\delta_M$。在半径 $\delta=\min\{\delta_L,\delta_M\}$ 的共同穿孔邻域内，

$$d=|L-M| \le |L-f(x)|+|f(x)-M| <\frac{2d}{3},$$

矛盾。因此 $L=M$。

极限还给出局部有界与保号性质。若 $f(x)\to L$，取 $\varepsilon=1$，就有充分小的穿孔邻域使 $|f(x)|<|L|+1$；函数在该邻域内有界。若 $L>0$，取 $\varepsilon=L/2$，则附近的函数值满足 $f(x)>L/2>0$。当 $L<0$ 时同理得到尾部为负。这些结论保证乘积估计中的因子不会失控，也说明商法则在分母极限非零时为何安全：分母最终与零保持固定距离。

保号结论只有局部效力。函数在远离极限点的位置仍可能改变符号或迅速增大；极限没有对整个定义域作出承诺。证明不等式时应明确写出“存在某个邻域”以及所选误差，而不能把邻域结论外推到所有输入。

无穷小及其等价关系

当 $x\to a$ 时，极限为零的函数称为该过程中的无穷小。无穷小描述一个变化过程，不是某个固定的“无限小实数”。若 $\alpha(x)\to0$，则对每个正阈值，$|\alpha(x)|$ 在充分靠近 $a$ 时都低于该阈值。

等价无穷小

若 $\alpha(x)\to0$、$\beta(x)\to0$，并且在某个穿孔邻域内 $\beta(x)\ne0$，且

$$\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1,$$

则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 在 $x\to a$ 时为等价无穷小，记作 $\alpha(x)\sim\beta(x)$。

等价关系记录两者的一阶相对大小。由几何不等式可得

所以 $\sin x\sim x$。再利用 $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$，得到

根式有理化给出另一组关系：

故 $\sqrt{1+x}-1\sim x/2$。

等价无穷小适合替换乘积或商中的因子。若 $\alpha\sim\widetilde\alpha$、$\beta\sim\widetilde\beta$，并且相关分母在穿孔邻域内不为零，则

把极限归结为中间比值。加减法中直接替换可能破坏主项抵消。例如 $\sin x\sim x$，但 $\sin x-x$ 的主要量级比 $x$ 更小；把 $\sin x-x$ 粗略替换成 $x-x$ 只得到零，无法保留下一阶信息。

例 1：用等价无穷小计算三角极限

求

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{x\sin(3x)}.$$

当 $x\to0$ 时， $1-\cos(2x)\sim(2x)^2/2=2x^2$，而 $\sin(3x)\sim3x$。因此

$$\frac{1-\cos(2x)}{x\sin(3x)} \sim\frac{2x^2}{3x^2}=\frac23.$$

取半径小于 $\pi/3$ 后，穿孔邻域内分母不为零。也可用恒等式和 $\sin u/u\to1$ 把各因子逐项写开，得到同一极限 $2/3$。

极限运算与夹逼各有适用条件

设 $f(x)\to A$、$g(x)\to B$，且自变量趋近过程相同。和、常数倍与乘积分别趋于 $A+B$、$cA$ 与 $AB$。商的法则要求 $B\ne0$；此时 $g$ 在充分小的穿孔邻域内与零保持正距离。乘积法则依赖收敛函数局部有界：若 $|f(x)|\le M$，则

极限运算不能替表达式补上不存在的定义。约去因子前仍需保留原定义域，使用商法则时也要核对分母极限。对振荡因子，夹逼往往比拆分极限更合适。因为

而两端都趋于零，所以中间函数趋于零；$\sin(1/x)$ 本身没有极限并不妨碍结论。

例 2：为根式极限给出 ε-δ 证明

证明

$$\lim_{x\to4}\sqrt x=2.$$

函数定义域要求 $x\ge0$。先限制 $|x-4|<1$，则 $3\lt x<5$，且 $\sqrt x+2>2$。于是

$$|\sqrt x-2| =\frac{|x-4|}{\sqrt x+2} <\frac{|x-4|}{2}.$$

任给 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\min\{1,2\varepsilon\}$。若 $0<|x-4|<\delta$，上述估计给出 $|\sqrt x-2|<\delta/2\le\varepsilon$，极限成立。

单侧极限诊断接合处的行为

左极限 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L$ 只考察 $a-\delta\lt x\lt a$，右极限 $\lim_{x\to a^+}f(x)=L$ 只考察 $a\lt x\lt a+\delta$。双侧有限极限存在，当且仅当两个单侧极限都存在且相等。

对分段函数，左右表达式应分别处理。设

左极限为 $3$，右极限为 $b$，中心点函数值也是 $b$。双侧极限存在要求 $b=3$；连续性还要求共同极限等于 $f(1)$，这里同样在 $b=3$ 时成立。

阶跃函数在原点左右分别趋于 $-1$ 和 $1$，双侧极限不存在。改变中心点的单个函数值无法改变任何单侧极限。两侧极限相同而中心点缺值或取值不同，称为可去间断；单侧极限有限但不相等形成跳跃间断；函数值在任意邻域内无界或持续振荡，则需要分别检查无穷间断或振荡间断。

自变量无界与函数值无界是两类陈述

$x\to\infty$ 描述自变量超过任意给定阈值。若 $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$，定义为：对每个 $\varepsilon>0$，存在实数 $M$，当 $x>M$ 时都有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。这里用输入阈值 $M$ 代替点附近的半径。

$f(x)\to\infty$ 则描述函数值超过任意高度。写作 $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ 时，含义是：对每个 $K>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-a|<\delta$ 时都有 $f(x)>K$。符号 $\infty$ 不是实数极限值，不能代入有限极限的代数式。

例如

可先除以 $x$，再用 $1/x\to0$。而

按定义证明如下：任给 $K>0$，取 $\delta=1/\sqrt K$；若 $0<|x|<\delta$，则 $1/x^2>K$。对 $1/x$ 而言，右侧趋于 $+\infty$，左侧趋于 $-\infty$，双侧不能写成同一个无穷极限。

把很大的函数值写成已经等于无穷

无穷极限量化任意高度阈值，表达函数值持续无界增长。某个输入处的函数值仍是实数；计算器显示的大数或溢出提示不能替代无界性证明。

连续性把附近规律接回函数值

一点处的连续性

函数 $f$ 在点 $a$ 连续，是指 $f(a)$ 有定义、 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在，并且

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

连续性的 ε-δ 形式把目标值直接写成 $f(a)$：任给 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x-a|<\delta$ 时有 $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$。此处允许 $x=a$，该点的误差等于零。

多项式在整个实数轴连续；有理函数在分母非零处连续；根式、三角函数、指数与对数在各自定义域内连续。连续函数的和与积仍连续，分母在点处非零时商也连续。复合函数 $g\circ f$ 在 $a$ 连续，需要 $f$ 在 $a$ 连续，并且 $g$ 在 $f(a)$ 连续。定义域条件仍须逐层检查。

“在区间上连续”要求区间内每一点满足相应条件。闭区间端点只能从区间内部接近，因此通常规定在左端点右连续、右端点左连续。局部连续性决定单点附近是否出现断裂；闭区间上的整体定理还依赖端点也被纳入控制。介值定理若只知道开区间内部连续，却没有端点值或端点处的单侧连续，就不能直接套用标准形式。

连续性还允许把极限送入函数运算。若 $u(x)\to b$，且 $g$ 在 $b$ 连续，那么

根式代入需要 $b$ 位于相应定义域，对数代入要求 $b>0$。写出连续性所在的点与函数定义域，能够避免把形式代入用在边界外。

连续函数保留定义域内数列的极限：若 $x_n\in\operatorname{Dom}(f)$ 且 $x_n\to a$，则 $f(x_n)\to f(a)$。这把上一章的离散收敛与当前的局部函数行为接起来。反过来，若所有取值于定义域且趋于 $a$ 的数列都满足 $f(x_n)\to f(a)$，数列判据说明 $f$ 在 $a$ 连续。

例 3：补上可去间断的唯一取值

对

$$q(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad x\ne1,$$

约分只在原定义域内给出 $q(x)=x+1$。因此 $\lim_{x\to1}q(x)=2$。若要把 $q$ 扩展成在 $1$ 连续的函数，连续性等式强制规定 $q(1)=2$。填入其他数只改变中心点，不改变穿孔邻域中的极限。

介值定理把端点信息延伸到整个区间

介值定理

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且实数 $N$ 位于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，则至少存在一个 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=N$。

介值定理与闭区间上的极值定理共享同一组关键条件。若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则它在该区间有界，并且存在点 $x_{\min},x_{\max}\in[a,b]$，分别取得最小值和最大值。闭区间保证趋近端点的数列仍把极限留在区间内，连续性保证函数值不会在极限处跳走。

缺少闭区间时，极值可能只有上确界而没有取得。例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续，函数值任意接近 $1$，却没有输入使函数值等于 $1$。缺少连续性时，即使定义域是闭区间，也可能删去本应取得极值的函数值。定理条件承担具体作用，使用“连续函数在区间上有界”时必须同时核对区间是否闭且有界。

当 $f(a)f(b)<0$ 时，取 $N=0$，定理保证开区间内至少有一个零点。结论只保证存在；唯一性还需要严格单调等条件。连续性与闭区间条件也不能省略：在区间内跳过某个函数值的跳跃函数会破坏结论。

介值定理还描述连续像的整体形状。若闭区间上某两点的函数值分别为 $u\lt v$，那么 $u$ 与 $v$ 之间的每个实数都被函数取到。因此连续函数把区间映成区间，不会在值域内部留下缺口。这个结论不要求函数单调；同一个中间值可能对应多个输入。求根时，端点异号只提供一个容易检查的特例。

例 4：介值定理与二分区间共同定位零点

令

$$p(x)=x^3+x-1.$$

多项式在 $[0,1]$ 连续，且 $p(0)=-1$、$p(1)=1$，所以存在 $c\in(0,1)$ 使 $p(c)=0$。计算中点：

$$p\left(\frac12\right)=-\frac38<0, \qquad p\left(\frac34\right)=\frac{11}{64}>0.$$

零点因此位于 $(1/2,3/4)$。若 $y>x$，则

$$p(y)-p(x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0,$$

故 $p$ 严格递增，零点唯一。二分法每次保留端点异号的半区间；初始长度为 $b-a$ 时，经过 $n$ 次二分，保留区间长度为 $(b-a)/2^n$。存在性、唯一性与数值误差由三段不同论证承担。

练习：核对量词、定义域和定理条件

练习标记完成

使用 ε-δ 定义证明 $\lim_{x\to3}(2x+1)=7$。

查看解答

任给 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon/2$。若 $0<|x-3|<\delta$，则

$$|(2x+1)-7|=2|x-3|<2\delta=\varepsilon.$$

所以极限成立。

练习标记完成

求

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x},$$

并保留原表达式的定义域条件。

查看解答

原式要求 $x\ge-4$ 且 $x\ne0$。在穿孔邻域内有理化：

$$\frac{\sqrt{4+x}-2}{x} =\frac1{\sqrt{4+x}+2}.$$

右侧在 $x\to0$ 时趋于 $1/(2+2)=1/4$，故原极限为 $1/4$。约分没有把 $x=0$ 加回原定义域。

练习标记完成

利用已建立的等价无穷小计算

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}.$$

查看解答

当 $x\to0$ 时，

$$1-\cos(3x)\sim\frac{(3x)^2}{2}=\frac92x^2.$$

所以比值趋于 $9/2$。也可写成 $2\sin^2(3x/2)/x^2$，再用 $\sin u/u\to1$ 逐项核对。

练习标记完成

设

$$h(x)= \begin{cases} 2-x,&x<1,\\ x^2,&x\ge1. \end{cases}$$

求 $x\to1$ 的左右极限，并判断 $h$ 在 $1$ 是否连续。

查看解答

左极限为 $2-1=1$，右极限为 $1^2=1$，所以双侧极限存在且等于 $1$。由于 $h(1)=1$，共同极限等于函数值，故 $h$ 在 $1$ 连续。

练习标记完成

按无穷极限的阈值定义证明 $\lim_{x\to0}4/x^2=+\infty$。

查看解答

任给 $K>0$，取 $\delta=2/\sqrt K$。若 $0<|x|<\delta$，则 $x^2<4/K$，于是 $4/x^2>K$。这对原点两侧都成立，所以双侧无穷极限为 $+\infty$。

练习标记完成

设

$$g(x)= \begin{cases} x^2+1,&x<2,\\ bx-1,&x\ge2. \end{cases}$$

求使 $g$ 在 $2$ 连续的参数 $b$。

查看解答

左极限为 $2^2+1=5$。右极限与中心点函数值都等于 $2b-1$。连续性要求 $2b-1=5$，所以 $b=3$。代回后左右极限与 $g(2)$ 都为 $5$，三个条件同时满足。

练习标记完成

证明方程 $x^3+2x-2=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个根，并用一次二分把根缩小到长度 $1/2$ 的区间。

查看解答

令 $F(x)=x^3+2x-2$。多项式在 $[0,1]$ 上连续，且 $F(0)=-2<0$、$F(1)=1>0$，介值定理保证 $(0,1)$ 内有根。中点满足

$$F\left(\frac12\right) =\frac18+1-2=-\frac78<0.$$

因此端点仍异号的半区间是 $(1/2,1)$，长度为 $1/2$。题目只要求存在与一次定位；若要证明根唯一，还需补充严格单调性论证。

后续微积分沿用同一误差语言

数列与级数 提供了 ε-N 收敛、子列和 Cauchy 条件；函数极限把离散下标替换为实数邻域。进入 导数与微分 后，差商极限描述局部线性变化；进入 积分与累积 后，黎曼和在网格宽度趋零时收敛到定积分。三类对象的技术细节不同，共同原则都是给定输出误差后统一控制无限尾部。

书籍 · 2016

Calculus Volume 1

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对基础微积分定义、定理条件、分步例题与练习。

打开官方来源

OpenStax《Calculus Volume 1》第 2 章覆盖极限定律、精确定义、单侧与无穷极限、连续性和介值定理，适合逐条核对本章的条件与例题步骤。

课程 · 2010

MIT 18.01SC Single Variable Calculus

David Jerison

课程材料连接严格定义、计算技巧与应用，可作为完整学习序列。

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MIT OpenCourseWare 18.01SC 提供单变量微积分讲义、视频、例题及带解习题。课程材料适合扩充计算练习；书写答案时仍应区分数值猜测、极限运算、ε-δ 证明和连续性定理各自提供的证据。