矩阵及其运算：从行列结构到正交变换

一张数表为何需要行列语义

矩阵看起来是一张长方形数表，但行和列从来不是纯排版。若四名学生各完成三次测验，可以约定每行对应一名学生、每列对应一次测验；若把约定反过来，同一批数字就具有不同的输入输出结构。计算前必须说明每条轴枚举什么对象，否则形状即使匹配，结果也可能没有合理含义。

本章使用大写字母表示矩阵、粗体小写字母表示列向量。若矩阵 $A$ 有 $m$ 行、$n$ 列，写作 $A\in\mathbb R^{m\times n}$。第 $i$ 行第 $j$ 列元素记为 $a_{ij}$。索引范围始终是 $1\le i\le m$、$1\le j\le n$。

矩阵、形状与相等

一个 $m\times n$ 实矩阵是按 $m$ 行、$n$ 列排列的实数数组

$$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}.$$

两个矩阵相等，当且仅当形状相同，并且每个对应位置的元素相等。

矩阵的第 $j$ 列是 $\mathbb R^m$ 中的向量，第 $i$ 行则记录输出第 $i$ 个坐标如何读取全部输入坐标。方阵的行数与列数相等；对角矩阵在主对角线之外全为零；零矩阵必须连同形状说明，因为 $2\times3$ 零矩阵与 $3\times2$ 零矩阵不是同一对象。

加法数乘与转置

矩阵加法、数乘与转置

同形矩阵按对应元素相加，标量乘法也逐元素进行：

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, \qquad (cA)_{ij}=ca_{ij}.$$

转置交换行列。若 $A\in\mathbb R^{m\times n}$，则 $A^\mathsf T\in\mathbb R^{n\times m}$，并且

$$(A^\mathsf T)_{ij}=a_{ji}.$$

不同形状的矩阵不能相加，因为并非每个位置都有对应元素。转置也不是把图形顺时针旋转九十度；它交换两个索引的角色。由定义逐项可得

从数据语义检查转置

四名学生的三次成绩排列为

$$X= \begin{bmatrix} 80&72&91\\ 66&75&78\\ 92&88&95\\ 70&81&84 \end{bmatrix} \in\mathbb R^{4\times3}.$$

这里每行是一名学生，每列是一次测验。$X^\mathsf T$ 的形状为 $3\times4$，其第一行 $(80,66,92,70)$ 汇总第一次测验的四个结果。转置没有改变任何成绩，只改变了读取数据的轴顺序。

对称部分与反对称部分

转置不仅交换索引，还能把方阵中“沿主对角线成对出现”的信息分开。若 $A=A^\mathsf T$，称 $A$ 为对称矩阵；若 $A^\mathsf T=-A$，称 $A$ 为反对称矩阵。实反对称矩阵的对角元必为零，因为 $a_{ii}=-a_{ii}$。

方阵的对称—反对称分解

每个实方阵 $A$ 都能唯一写成

$$A=S+K,$$

其中 $S$ 对称，$K$ 反对称。具体地，

$$S=\frac{A+A^\mathsf T}{2}, \qquad K=\frac{A-A^\mathsf T}{2}.$$

证明

由转置的运算律，

$$S^\mathsf T =\frac{A^\mathsf T+A}{2}=S, \qquad K^\mathsf T =\frac{A^\mathsf T-A}{2}=-K,$$

并且 $S+K=A$，所以这种分解确实存在。若另有 $A=S_1+K_1$，其中 $S_1$ 对称、$K_1$ 反对称，那么对等式取转置并与原式相加，得到 $2S_1=A+A^\mathsf T$；相减则得到 $2K_1=A-A^\mathsf T$。因此 $S_1=S$、$K_1=K$，分解唯一。

例如

对任意实列向量 $\mathbf x$，标量 $\mathbf x^\mathsf TK\mathbf x$ 取转置后等于它自身，也等于 $-\mathbf x^\mathsf TK\mathbf x$，故只能为零。因此二次表达式 $\mathbf x^\mathsf TA\mathbf x$ 只读取 $A$ 的对称部分。以 $\mathbf x=(1,2)^\mathsf T$ 为例， $\mathbf x^\mathsf TA\mathbf x=26$， $\mathbf x^\mathsf TS\mathbf x=26$，而 $\mathbf x^\mathsf TK\mathbf x=0$。

分块结构保留原有运算

大矩阵可沿相容的行列边界分成若干块。设

只要块的尺寸相容，就有

分块没有创造新乘法，只是把原来的求和按索引区间分组。块的位置相同不代表形状相同，块相加仍须逐项检查尺寸。

用分块分离两个变量组

令

$$A= \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&-1\\ 3&2&0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf x= \begin{bmatrix} 4\\ -2\\ 5 \end{bmatrix}.$$

把前两个坐标作为 $\mathbf x_1=(4,-2)^\mathsf T$，最后一个坐标作为 $x_2=5$。相应分块为

$$A_{11}= \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, \quad A_{12}= \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}, \quad A_{21}=\begin{bmatrix}3&2\end{bmatrix}, \quad A_{22}=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}.$$

于是上方输出为 $A_{11}\mathbf x_1+A_{12}x_2=(14,-7)^\mathsf T$， 下方输出为 $A_{21}\mathbf x_1+A_{22}x_2=8$。直接逐行计算同样得到 $(14,-7,8)^\mathsf T$。

分块矩阵彼此相乘时，仍然执行“行乘列”，只是其中的元素换成了矩阵块。若

并且每个块乘积都有定义，则

这里的四个加号也要求两侧块同形。作为复算，取

以及

四个结果块依次为

拼回普通矩阵得到 $AB=\begin{bmatrix}1&0&5\\0&3&2\\2&1&12\end{bmatrix}$。这一结果也可用九次行列配对逐项核对；分块的价值在于保留变量组之间的结构，而不是改变答案。

矩阵乘向量是列的线性组合

设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 的列依次为 $\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n$，输入 $\mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)^\mathsf T$。定义

输出属于 $\mathbb R^m$。同一运算从第 $i$ 行看是

“列的线性组合”和“每行读取输入”并非两种算法，而是同一乘法的两种解释。前者说明输出只能由矩阵列合成，后者便于逐坐标复算。

用列和行交叉核对

取

$$A= \begin{bmatrix} 1&2\\ -1&3\\ 2&0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf x=(2,-1)^\mathsf T.$$

按列计算，

$$A\mathbf x =2(1,-1,2)^\mathsf T-(2,3,0)^\mathsf T =(0,-5,4)^\mathsf T.$$

按行计算则得到 $(1\cdot2+2\cdot(-1),-1\cdot2+3\cdot(-1),2\cdot2+0\cdot(-1))^\mathsf T$， 仍为 $(0,-5,4)^\mathsf T$。输出有三个分量，也与 $3\times2$ 矩阵乘二维向量的形状判断一致。

从左右两侧读取同一矩阵

右乘列向量 $A\mathbf x$ 使用 $\mathbf x$ 的分量组合 $A$ 的各列；左乘行向量 $\mathbf y^\mathsf TA$ 则使用 $\mathbf y$ 的分量组合 $A$ 的各行。两种读取方式在标量 $\mathbf y^\mathsf TA\mathbf x$ 中相遇：既可以先算 $A\mathbf x$ 再与 $\mathbf y$ 做内积，也可以先算 $\mathbf y^\mathsf TA$ 再作用于 $\mathbf x$。

沿用上例的 $A=\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\\2&0\end{bmatrix}$ 与 $\mathbf x=(2,-1)^\mathsf T$，再取 $\mathbf y=(1,-2,1)^\mathsf T$。按行组合得到

因此 $(\mathbf y^\mathsf TA)\mathbf x=5\cdot2+(-4)(-1)=14$。另一方面，上例已有 $A\mathbf x=(0,-5,4)^\mathsf T$，故 $\mathbf y^\mathsf T(A\mathbf x)=0+10+4=14$。相等并非巧合，而是有限求和可以重新分组；这也是结合律在行向量、矩阵和列向量之间的具体表现。

矩阵乘法来自映射复合

矩阵乘法

设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$、 $B\in\mathbb R^{n\times p}$。乘积 $AB\in\mathbb R^{m\times p}$ 的元素定义为

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$$

等价地，$AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列。

$B$ 先把 $p$ 维输入变成 $n$ 维中间量，$A$ 再把中间量变成 $m$ 维输出，所以

内维 $n$ 对应被求和的中间坐标，外侧的 $m,p$ 成为结果形状。这个复合解释同时说明乘法顺序：在 $AB\mathbf x$ 中，右侧的 $B$ 先作用。

矩阵乘法对加法的分配律

只要形状相容，就有

$$A(B+C)=AB+AC, \qquad (A+B)C=AC+BC,$$

并且对标量 $c$， $c(AB)=(cA)B=A(cB)$。

证明

以第一式为例，第 $(i,j)$ 个元素为

$$\sum_k a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) =\sum_k a_{ik}b_{kj}+\sum_k a_{ik}c_{kj},$$

这正是 $(AB+AC)_{ij}$。第二式同理；标量可以移入有限和中的任意因子，所以三种数乘写法也相等。

分配律允许把共同变换提取出来，也允许拆开输入贡献。例如 $A(2\mathbf u-3\mathbf v)=2A\mathbf u-3A\mathbf v$，说明矩阵作用与向量的线性组合相容。

矩阵乘法的结合律

只要各乘积形状相容，就有

$$(AB)C=A(BC).$$

证明

设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$、 $B\in\mathbb R^{n\times p}$、 $C\in\mathbb R^{p\times q}$。比较第 $(i,j)$ 个元素：

$$\begin{aligned} ((AB)C)_{ij} &=\sum_{\ell=1}^{p}(AB)_{i\ell}c_{\ell j}\\ &=\sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}\\ &=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\sum_{\ell=1}^{p}b_{k\ell}c_{\ell j}\\ &=(A(BC))_{ij}. \end{aligned}$$

有限求和可以交换次序，因此所有对应元素相等。

结合律允许选择计算次序，却不允许交换矩阵次序。结合改变括号，交换则改变复合顺序。

缩放与剪切的顺序不同

令

$$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

直接计算得

$$AB=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad BA=\begin{bmatrix}2&2\\0&1\end{bmatrix}.$$

对 $\mathbf e_2=(0,1)^\mathsf T$， $AB\mathbf e_2=(1,1)^\mathsf T$， $BA\mathbf e_2=(2,1)^\mathsf T$。先横向缩放再剪切，与先剪切再横向缩放产生不同结果，所以矩阵乘法一般不交换。

转置会反转乘法顺序：

按元素展开可见，两边的第 $(i,j)$ 个元素都等于 $\sum_k b_{ki}a_{jk}$。反转顺序也符合复合关系：交换输入输出索引时，原先的最后一步先被读取。

括号不改结果，却会改变计算量

结合律保证两种加括号方式给出相同数学结果，但中间矩阵的形状可能相差悬殊。设 $A\in\mathbb R^{1000\times2}$、 $B\in\mathbb R^{2\times1000}$、 $\mathbf x\in\mathbb R^{1000}$。若先计算 $AB$，要形成一个 $1000\times1000$ 矩阵：仅这一步就需要 $1000\cdot1000\cdot2=2\,000\,000$ 次标量乘法，再乘 $\mathbf x$ 还需 $1\,000\,000$ 次。

若按 $A(B\mathbf x)$ 计算，$B\mathbf x$ 只产生二维向量，需要 $2\cdot1000=2\,000$ 次标量乘法；随后乘 $A$ 再需要 $1000\cdot2=2\,000$ 次，总计 $4\,000$ 次。两条路径由结合律保证等价，但后者既少存储一个巨大中间量，也把此处的乘法次数从约三百万降到四千。实际计算中，先检查中间形状往往比盲目从左到右更重要。

矩阵幂记录重复复合

方阵的输出与输入处于同一坐标空间，因此可以重复作用。规定 $A^0=I$，并令 $A^{k+1}=A^kA$。结合律保证 $A^rA^s=A^{r+s}$；这里的幂表示重复矩阵乘法，绝不是把每个元素分别乘方。

例如

从状态 $\mathbf s_0=(1,0)^\mathsf T$ 出发，连续三次作用得到

每一步的第一分量都是上一步两个分量之和，第二分量复制上一步第一分量。矩阵幂由此把一条重复更新规则压缩成 $\mathbf s_k=A^k\mathbf s_0$。

单位矩阵与逆矩阵

单位矩阵与逆矩阵

$n$ 阶单位矩阵 $I_n$ 的主对角线元素为一，其余元素为零。它满足

$$I_mA=A,\qquad AI_n=A$$

对每个 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 成立。

对方阵 $A\in\mathbb R^{n\times n}$，若存在方阵 $B$ 使 $AB=BA=I_n$，则称 $A$ 可逆，$B$ 是 $A$ 的逆，记为 $A^{-1}$。

只有同阶方阵才可能拥有通常意义下的双侧逆。逆的定义要求两个方向都恢复单位作用；只检验一个乘积会遗漏形状或单侧恢复问题。

逆矩阵唯一

若方阵 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一。

证明

假设 $B$ 与 $C$ 都是 $A$ 的逆。利用单位矩阵和结合律，

$$B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C.$$

所以任意两个候选逆相等。

用双侧乘法核验候选逆

设

$$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}.$$

逐项相乘得到

$$AB= \begin{bmatrix} 2-1&-2+2\\ 1-1&-1+2 \end{bmatrix} =I_2,$$

同时

$$BA= \begin{bmatrix} 2-1&1-1\\ -2+2&-1+2 \end{bmatrix} =I_2.$$

因此 $B=A^{-1}$。这个例子只核验候选，不提供一般求逆算法；后续线性方程组章节会用系统方法判断可解性并求解。

若 $A$ 与 $B$ 都可逆，则

因为 $(AB)(B^{-1}A^{-1})=AIA^{-1}=I$， 反向乘积也同样为 $I$。复合的撤销顺序必须与执行顺序相反。

并非每个方阵都可逆，而且无需先学一般判别公式也能识别某些失败。考虑

直接计算得 $A\mathbf v=\mathbf0$，但 $\mathbf v\ne\mathbf0$。若 $A^{-1}$ 存在，在等式两侧左乘它便会得到 $\mathbf v=A^{-1}\mathbf0=\mathbf0$，矛盾。因此 $A$ 不可逆。这里两列相同，使不同输入 $(1,0)^\mathsf T$ 与 $(0,1)^\mathsf T$ 产生同一输出；一旦输入信息发生碰撞，单凭输出便不可能唯一撤销变换。

正交矩阵保持欧氏几何

正交矩阵

实方阵 $Q$ 若满足

$$Q^\mathsf TQ=I,$$

则称为正交矩阵。此时 $Q^{-1}=Q^\mathsf T$。

$Q^\mathsf TQ=I$ 表示 $Q$ 的各列两两正交且长度为一。正交矩阵包括平面旋转和关于过原点直线的反射；一般缩放和剪切不是正交矩阵。

正交矩阵保持内积与长度

若 $Q$ 为正交矩阵，则对任意同维向量 $\mathbf x,\mathbf y$，

$$\langle Q\mathbf x,Q\mathbf y\rangle =\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle.$$

因此 $Q$ 保持长度、距离、正交性和非零向量之间的夹角。

证明

使用标准欧氏内积和转置乘法，

$$\langle Q\mathbf x,Q\mathbf y\rangle =(Q\mathbf x)^\mathsf T(Q\mathbf y) =\mathbf x^\mathsf TQ^\mathsf TQ\mathbf y =\mathbf x^\mathsf T\mathbf y.$$

令 $\mathbf y=\mathbf x$ 得长度平方保持；距离由 $\lVert Q\mathbf x-Q\mathbf y\rVert_2 =\lVert Q(\mathbf x-\mathbf y)\rVert_2$ 保持；夹角公式的分子和分母也都不变。

核对九十度旋转

取

$$Q=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}.$$

有

$$Q^\mathsf TQ =\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} =I_2.$$

对 $\mathbf x=(3,4)^\mathsf T$， $Q\mathbf x=(-4,3)^\mathsf T$。两者长度都为 $5$。 对 $\mathbf y=(1,0)^\mathsf T$， $\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle=3$，而 $Q\mathbf y=(0,1)^\mathsf T$， $\langle Q\mathbf x,Q\mathbf y\rangle=3$，与定理一致。

平面旋转提供一整族正交矩阵：

它的两列长度都为一，内积为零，所以 $R_\theta^\mathsf TR_\theta=I_2$。对角矩阵 $F=\operatorname{diag}(1,-1)$ 则把第二坐标反号，表示关于第一坐标轴的反射，同样满足 $F^\mathsf TF=I_2$。二者都保持长度，但一个连续转动方向，另一个翻转方向；“保持长度”并不等于“什么都没有改变”。

正交矩阵对复合封闭

若同阶方阵 $Q_1,Q_2$ 都正交，则 $Q_1Q_2$ 也正交。

证明

利用乘积转置会反序以及结合律，

$$(Q_1Q_2)^\mathsf T(Q_1Q_2) =Q_2^\mathsf TQ_1^\mathsf TQ_1Q_2 =Q_2^\mathsf TIQ_2 =I.$$

因此有限次旋转与反射的复合仍保持内积、长度、距离和夹角。乘积顺序仍不能随意交换，因为不同顺序可能对应不同的几何动作。

形状正确之后还要检查语义

面对矩阵表达式，可依次做三层检查。

第一层是形状：每个乘积的内维是否相等，输出形状是否符合问题。第二层是索引语义：一行代表样本、时刻还是输出坐标，一列代表特征、状态还是输入方向。第三层是单位：若一行把不同物理量线性组合，系数必须承担相应单位，使每一项能够相加。

例如 $X\in\mathbb R^{s\times f}$ 表示 $s$ 个样本、$f$ 个特征，权重 $\mathbf w\in\mathbb R^f$，则 $X\mathbf w\in\mathbb R^s$ 为每个样本产生一个输出。若误把样本放在列上，同一任务要改用转置或重新定义存储约定。形状匹配只是必要条件，不能替代对象与单位说明。

MIT OpenCourseWare 18.06SC 从方程组和列向量进入矩阵乘法、逆矩阵、转置与正交结构，并提供逐主题习题和解答。本章引用该课程支持这些线性代数对象的教学顺序，不把应用中的同形数表自动视为语义相同。

常见误区

矩阵乘法就是逐元素相乘

逐元素乘积要求两矩阵同形，结果仍同形；矩阵乘法要求左矩阵列数等于右矩阵行数，并沿中间索引求和。两种运算的定义、形状与用途均不同。

乘积为零就至少有一个零矩阵

实数满足零乘积性质，但矩阵一般不满足。例如

$$A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$$

都不是零矩阵，却有 $AB=0$。$B$ 的每个输出都是 $(1,1)^\mathsf T$ 的倍数，而 $A(1,1)^\mathsf T=\mathbf0$，所以复合后信息全部消失。这个现象的关键不在元素大小，而在前一步的输出方向恰好落入后一步会压成零的方向。类似地，从 $AC=BC$ 不能贸然约去 $C$；只有已知 $C$ 可逆时，才能在等式右侧同乘 $C^{-1}$ 得到 $A=B$。矩阵消去必须由逆矩阵提供依据。

维度对上就一定可以解释

形状相容只说明代数乘法有定义。若输入坐标顺序、单位或样本轴约定错误，结果仍可能没有建模意义。

逆矩阵就是逐元素取倒数

逆矩阵必须通过矩阵乘法恢复单位矩阵。逐元素倒数既不处理非对角耦合，也可能在零元素处无定义。

保持长度的矩阵一定是单位矩阵

旋转和关于过原点直线的反射都保持长度，却通常不是单位矩阵。正确结构是正交矩阵。

练习：矩阵运算、逆与正交性

练习标记完成

所属知识

形状、加法与转置

难度

2/5

设 $A\in\mathbb R^{2\times3}$、 $B\in\mathbb R^{2\times3}$、 $C\in\mathbb R^{3\times2}$。 判断 $A+B$、$A+C$、$A^\mathsf T+C$ 是否有定义，并写出有定义结果的形状。

查看提示

先写每个矩阵的行数和列数，再判断对应位置是否齐全。

查看解答

$A+B$ 有定义，形状为 $2\times3$。 $A+C$ 无定义，因为形状不同。 $A^\mathsf T$ 的形状为 $3\times2$，所以 $A^\mathsf T+C$ 有定义，形状为 $3\times2$。

练习标记完成

所属知识

矩阵乘法与复合顺序

难度

2/5

令

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}, \quad \mathbf x=(1,-1)^\mathsf T.$$

分别计算 $A(B\mathbf x)$ 与 $(AB)\mathbf x$，并比较 $AB$ 与 $BA$。

查看提示

先算右侧矩阵对向量的作用，再与乘积矩阵交叉核对。

查看解答

$B\mathbf x=(1,2)^\mathsf T$，所以 $A(B\mathbf x)=(5,2)^\mathsf T$。另一方面

$$AB=\begin{bmatrix}7&2\\3&1\end{bmatrix},$$

故 $(AB)\mathbf x=(5,2)^\mathsf T$。而

$$BA=\begin{bmatrix}1&2\\3&7\end{bmatrix}\ne AB.$$

结合律得到核验，非交换性也被具体展示。

练习标记完成

所属知识

分块矩阵

难度

3/5

设

$$A= \begin{bmatrix} 2&0&1\\ 0&2&-1\\ 1&1&3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf x=(1,2,-1)^\mathsf T.$$

按前两维与最后一维分块计算 $A\mathbf x$，再逐行复算。

查看提示

把前两个坐标视为一个向量块，分别计算上下两个输出块。

查看解答

取 $A_{11}=2I_2$、 $A_{12}=(1,-1)^\mathsf T$、 $A_{21}=(1,1)$、 $A_{22}=(3)$， $\mathbf x_1=(1,2)^\mathsf T$、$x_2=-1$。 上块为 $2\mathbf x_1+A_{12}x_2=(1,5)^\mathsf T$， 下块为 $A_{21}\mathbf x_1+3x_2=1+2-3=0$。 所以 $A\mathbf x=(1,5,0)^\mathsf T$，逐行计算得到同一结果。

练习标记完成

所属知识

逆矩阵与撤销顺序

难度

3/5

设

$$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

写出 $A^{-1}$、$B^{-1}$，并求 $(AB)^{-1}$。用一次乘法核验结果。

查看提示

先验证候选逆的两个乘法方向，再使用复合逆公式。

查看解答

直接核验可得

$$A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

因此

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} =\begin{bmatrix}1/2&-1/2\\0&1\end{bmatrix}.$$

又 $AB=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$， 两者相乘得到 $I_2$，核验成立。

练习标记完成

所属知识

正交矩阵与几何不变量

难度

3/5

判断

$$Q=\frac15 \begin{bmatrix} 3&-4\\ 4&3 \end{bmatrix}$$

是否为正交矩阵，并计算 $\mathbf x=(5,0)^\mathsf T$ 的像及其长度。

查看提示

计算转置乘原矩阵；若得到单位矩阵，再比较变换前后的长度。

查看解答

矩阵两列的长度均为一，内积为 $(3\cdot(-4)+4\cdot3)/25=0$，所以 $Q^\mathsf TQ=I_2$，$Q$ 正交。并且

$$Q\mathbf x=(3,4)^\mathsf T.$$

输入和输出长度都为 $5$，与正交矩阵保持长度的定理一致。

与后续知识的关系

• 线性方程组 把多个约束统一写成矩阵方程，并用初等行变换分析解。
• 线性变换 解释矩阵为何是选定基后的映射记录。
• 行列式 给出方阵可逆性与有向体积缩放的标量判据。
• 特征值与特征向量 寻找方阵作用下方向保持不变的向量。

已核实资源

课程 · 2011

MIT 18.06SC Linear Algebra

Gilbert Strang

提供线性代数核心概念的完整课程顺序、例题、习题和考试材料。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.06SC 从列向量、方程组和映射复合组织矩阵语言，并系统进入逆矩阵、转置、正交性与后续分解，可用于继续练习本章每类运算。

书籍 · 2019

Interactive Linear Algebra

Dan Margalit, Joseph Rabinoff

章节含几何解释、交互图、例题、练习提示和部分解答，可用于交叉核对本册六章的代数与几何主线。

打开官方来源

Georgia Tech 的 Interactive Linear Algebra 从矩阵方程、线性变换和矩阵代数解释乘法次序、逆矩阵与正交结构，适合交叉核对本章的代数和几何叙述。

下一章

下一章把约束写成 $A\mathbf x=\mathbf b$，并通过保持解集不变的行操作判断无解、唯一解与无穷多解。进入该章前，应能熟练检查矩阵与向量形状，并用列的线性组合解释 $A\mathbf x$。