常微分方程与动力系统综合复习

动力问题从状态和时间尺度开始

常微分方程描述有限个状态量随单一时间变量的变化。建模时先选状态 $x(t)\in\mathbb R^n$，再把流入、流出、回复、阻尼、增长或相互作用写成变化率。一个可检验的初值模型至少包含

以及状态定义域、参数 $\theta$ 的单位、允许的时间区间和方程成立所依赖的假设。自治系统的 $f$ 不显含 $t$；非自治系统可在必要时加入状态 $s'=1$、$s(t_0)=t_0$ 改写为更高维自治系统，但这种改写不会消除外部输入的物理含义。

动力模型的闭合账本

一份闭合的常微分方程模型应逐项给出：

1. 状态量及其单位，哪些量被当作参数或外部输入；
2. 每个变化率项的来源和量纲；
3. 初值以及状态允许的区域；
4. 保证局部解存在唯一的正则性条件；
5. 所求问题是瞬时值、完整轨线、长期极限、稳定性还是参数阈值；
6. 解析、定性和数值结论各自的有效范围。

单位检查能迅速发现错误。例如人口 $P$ 的单位为“个体”，增长率 $r$ 的单位为 $\mathrm{time}^{-1}$，则 $rP$ 与 $\dot P$ 的单位相同；承载量 $K$ 必须与 $P$ 同单位。若方程把温度、能量和无单位比例直接相加，即使代数能解，模型仍不成立。

方程结构决定首选解法

同一个模型可能有多种表示，首选方法应匹配可见结构。

方程结构	识别形式	首选处理	必查条件
可分离一阶方程	$y'=g(t)h(y)$	分离变量并积分	除以 $h(y)$ 前保留其零点解
一阶线性方程	$y'+p(t)y=q(t)$	积分因子	系数连续区间、初值所在区间
恰当方程	$M(t,y)+N(t,y)y'=0$	求势函数	$M_y=N_t$ 及区域单连通性
常系数高阶线性方程	$L(D)y=g(t)$	特征根与特解	重根、共振、初值个数
线性系统	$x'=Ax+b(t)$	矩阵指数、特征分解	缺陷矩阵与复特征对
一般非线性系统	$x'=f(x)$	相图、线性化、Lyapunov 方法	解域、临界谱与不变集

任何代数变形都要追踪丢失的解。分离变量时除以 $h(y)$ 可能删去平衡解；求对数后绝对值决定解的区间；隐式关系还需检查能否在初值附近由隐函数定理还原为单值解。解析式不是终点，还应代回方程和初值核对。

混合槽：从单位守恒到稳定极限

一只体积保持为 $100\,\mathrm L$ 的充分混合槽，初始含盐量为 $Q(0)=0\,\mathrm g$。浓度 $2\,\mathrm{g/L}$ 的盐水以 $5\,\mathrm{L/min}$ 流入，混合液以同样速率流出。流入盐率为 $10\,\mathrm{g/min}$；槽内浓度为 $Q/100\,\mathrm{g/L}$，流出盐率为 $Q/20\,\mathrm{g/min}$。守恒方程为

$$\frac{dQ}{dt}=10-\frac{Q}{20}, \qquad Q(0)=0.$$

这是常系数一阶线性方程。平衡含盐量由右端为零得到 $Q_*=200\,\mathrm g$，解为

$$Q(t)=200\left(1-e^{-t/20}\right)\,\mathrm g.$$

代入可得 $Q'(t)=10e^{-t/20}$，而 $10-Q(t)/20=10e^{-t/20}$，初值也满足。偏差 $u=Q-Q_*$ 满足 $u'=-u/20$，所以平衡点指数稳定，时间常数是 $20\,\mathrm{min}$。解始终位于 $0\le Q(t)<200$，符合非负性和流入浓度给出的上界。若流入、流出速率不相等，体积将成为另一个状态，继续使用固定体积方程便会破坏守恒。

这个例子同时给出三种答案：解析式给任意时刻的含盐量，相线给单调方向，特征指数给趋近平衡的速度。三者相互核对，却回答不同问题。

局部唯一不等于解能永远延拓

若 $f(t,x)$ 在初值附近连续，则通常可得到局部存在；若还对 $x$ 局部 Lipschitz，则局部解唯一。唯一性保证相平面中的两条解轨线不会在同一时刻同一点相交，也允许把平衡轨线当作其他轨线不能穿越的边界。定理只在某个局部矩形内工作，不能自动给出 $t\to\infty$ 的解。

最大解区间的端点可能来自三个原因：状态趋于无穷、轨线触及向量场未定义的边界，或时间到达系数奇点。例子

的右端处处光滑，局部解唯一；分离变量却得到

其包含 $0$ 的最大区间是 $(-\infty,1)$。当 $t\uparrow1$ 时解爆破，不能越过无穷大继续为同一经典解。局部适定性与全局存在性必须分开证明。常用的全局延拓依据包括先验有界估计、正向不变的紧集和至多线性增长条件。

高阶方程转换为状态空间

$n$ 阶标量方程需要 $n$ 个初始条件。令 $x_1=y,x_2=y',\ldots,x_n=y^{(n-1)}$，可改写成 $n$ 维一阶系统。这个转换保留了解，却把特征根、相图、数值积分和稳定性分析放进统一的状态空间语言。

阻尼振子：解析解、相图和能量判据相互核对

取质量 $m=1\,\mathrm{kg}$、阻尼系数 $c=2\,\mathrm{N\,s/m}$、弹簧刚度 $k=5\,\mathrm{N/m}$，无外力位移满足

$$x''+2x'+5x=0, \qquad x(0)=1\,\mathrm m, \qquad x'(0)=0\,\mathrm{m/s}.$$

特征方程 $\lambda^2+2\lambda+5=0$ 的根为 $-1\pm2i$，所以

$$x(t)=e^{-t}\left(\cos2t+\frac12\sin2t\right)\,\mathrm m.$$

令 $v=x'$，状态系统为

$$\begin{pmatrix}x\\v\end{pmatrix}' = \begin{pmatrix}0&1\\-5&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\v\end{pmatrix}.$$

特征值实部为负，相图是向原点旋入的稳定螺旋。能量

$$E(x,v)=\frac12v^2+\frac52x^2$$

沿轨线满足 $\dot E=-2v^2\le0$。解析解显示振幅按 $e^{-t}$ 衰减；谱分类说明局部与全局的线性相图；能量计算说明衰减来自阻尼耗散。若改成外部周期驱动，方程变为非自治系统，长期响应可能趋向非零周期轨道，此时“趋向原点”不再是正确问题。

线性系统 $x'=Ax$ 的解为 $e^{tA}x_0$。可对角化时，特征向量分解把每个模态分别乘以 $e^{\lambda t}$；重根且特征向量不足时，Jordan 链产生 $t^ke^{\lambda t}$ 因子。多项式因子会改变瞬态形状，但当所有特征值实部严格为负时仍被指数衰减压过。

非线性长期行为依赖不变区域与局部判据

对自治系统，先求 $f(x)=0$ 得平衡点，再研究零流线、方向场和不变区域。Jacobian 特征值可分类双曲平衡点；出现零实部特征值时，需回到非线性高阶项或 Lyapunov 函数。稳定、吸引和渐近稳定不能混用，局部吸引域也不能凭一张局部相图扩展到全空间。

恒定捕捞模型：平衡阈值与模型失效边界

设种群数量 $P$ 的单位为“个体”，内禀增长率 $r>0$ 的单位为 $\mathrm{time}^{-1}$，承载量 $K>0$ 的单位为“个体”，恒定捕捞率 $H\ge0$ 的单位为“个体/时间”。模型为

$$\dot P=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)-H.$$

增长项是开口向下的抛物线，其最大值在 $P=K/2$ 处，等于 $rK/4$。平衡方程的根为

$$P_{\pm}=\frac K2\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right).$$

当 $0<H<rK/4$ 时有两个正平衡点。因为

$$f'(P)=r\left(1-\frac{2P}{K}\right),$$

$P_-$ 不稳定，$P_+$ 渐近稳定。初值高于阈值 $P_-$ 时趋向 $P_+$；低于 $P_-$ 时导数为负，模型预测种群继续下降。当 $H=rK/4$ 时两个平衡点在 $K/2$ 合并，发生鞍结分岔；当 $H>rK/4$ 时没有正平衡点。

连续模型允许 $P$ 穿过零进入负值，但负种群没有物理意义。轨线到达零时应停止模型，或另设灭绝边界和状态约束。分岔计算给出维持正平衡的临界捕捞率，并没有自动构成完整的捕捞政策。

这个案例展示了综合路线：量纲确定参数组合 $rK$ 与 $H$ 可比较；代数给出平衡分支；导数给稳定性；相线给吸引域分界；判别式给分岔阈值；状态约束指出方程的物理终止条件。

数值轨线必须接受结构检查

大多数非线性系统没有初等解析解。给定步长 $h$，显式 Euler 法为

它的一步局部截断误差为 $O(h^2)$，在常规光滑与稳定条件下固定时间区间的全局误差为 $O(h)$。高阶 Runge–Kutta 方法能提高固定区间精度，却不能替代模型定义域、刚性和长期不变量分析。

测试方程 $y'=\lambda y$ 给出 Euler 放大因子 $1+h\lambda$。当 $\operatorname{Re}\lambda<0$ 时，连续解衰减；数值解只有在

时也衰减。对负实数 $\lambda$，条件化为 $0<h<-2/\lambda$。步长过大会把稳定平衡点算成振幅增长的假轨线。可靠的数值核对至少包括：减半步长比较、与已知解析特例比较、检查非负性或守恒/耗散量、监测是否接近奇点，并把误差要求限定在明确时间区间。

一条可重复使用的综合路线

处理新的动力问题时，可依次完成以下九步：

1. 定义状态、参数、单位、初值和有效域；
2. 从守恒或变化率假设建立方程，并核对每一项量纲；
3. 判断阶数、线性、自治性和是否可分离、恰当或常系数；
4. 在初值附近检查连续性与局部 Lipschitz 条件；
5. 能解析求解时保留特殊解、定义域和最大区间，随后代回核对；
6. 求平衡点、不变集与零流线，用谱或相线分类非临界平衡点；
7. 对临界谱使用高阶项或 Lyapunov 方法，对参数族追踪平衡分支；
8. 需要数值解时选择方法、步长和停止条件，并进行步长与结构检查；
9. 把结论写成“在什么假设和区域内，哪个量以何种方式变化”。

解析、定性与数值三层应彼此约束。解析解提供精确基准但适用方程有限；定性分析能回答长期趋势却未必给出到达时间；数值方法适用面广，但离散稳定性和有限精度可能制造伪行为。

练习：完成四条闭合推理链

练习标记完成

所属知识

一阶线性方程

难度

2/5

求解 $y'+2y=4$、$y(0)=1$，并判断平衡点及其收敛速度。

查看提示

平衡值是 2，对偏差 $u=y-2$ 求解。

查看解答

令 $u=y-2$，则 $u'+2u=0$ 且 $u(0)=-1$。因此

$$y(t)=2-e^{-2t}.$$

平衡点为 $y_*=2$，任意偏差满足 $|u(t)|=e^{-2t}|u(0)|$，故它全局指数稳定，衰减率为 $2$。代回得到 $y'+2y=2e^{-2t}+4-2e^{-2t}=4$。

练习标记完成

所属知识

最大解区间

难度

3/5

求初值问题 $y'=1+y^2$、$y(0)=0$ 的解及包含 $0$ 的最大存在区间，并说明局部唯一性为何不能排除有限时间爆破。

查看提示

分离变量会得到反正切函数；最大区间由正切函数的相邻奇点决定。

查看解答

分离变量得

$$\arctan y=t+C.$$

初值给 $C=0$，所以 $y(t)=\tan t$，包含零的最大区间为

$$\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right).$$

右端 $1+y^2$ 在全空间光滑，因而每个有限初值附近都有唯一局部解；但当 $t\to\pm\pi/2$ 时 $|y(t)|\to\infty$，局部定理没有提供阻止状态无界的先验估计。

练习标记完成

所属知识

参数阈值与稳定性

难度

3/5

在恒定捕捞模型中取 $r=0.5\,\mathrm{year}^{-1}$、 $K=1000$ 个体、$H=100\,\mathrm{individuals/year}$。求两个正平衡点的近似值并分类稳定性；再给出临界捕捞率。

查看提示

先计算 $rK/4$，再代入平衡根公式。

查看解答

有

$$\frac{4H}{rK}=\frac{400}{500}=0.8,$$

所以

$$P_{\pm}=500(1\pm\sqrt{0.2}) \approx276.4,\ 723.6.$$

较小根处 $f'(P)>0$，故不稳定；较大根处 $f'(P)<0$，故渐近稳定。临界捕捞率为

$$H_c=\frac{rK}{4}=125\,\mathrm{individuals/year}.$$

当前 $H=100<H_c$，因此正平衡点仍存在，但低于约 $276.4$ 的初值不会被高平衡点吸引。

练习标记完成

所属知识

数值稳定性

难度

3/5

用显式 Euler 法离散 $y'=-8y$。分别判断 $h=0.1$ 与 $h=0.3$ 时离散解是否趋于零，并解释与连续系统稳定性的关系。

查看提示

对 $y'=-8y$，Euler 放大因子是 $1-8h$。

查看解答

更新式为

$$y_{n+1}=(1-8h)y_n.$$

$h=0.1$ 时放大因子为 $0.2$，绝对值小于一，离散解衰减到零； $h=0.3$ 时放大因子为 $-1.4$，绝对值大于一，离散解交替变号并增长。连续解 $y(t)=y_0e^{-8t}$ 对任意初值都衰减，第二种增长完全由步长越过 $0<h<1/4$ 的 Euler 稳定区间造成。

前后联系与资料

• 初值问题、存在唯一性与方向场 给出局部适定性、唯一轨线和最大解区间的起点。
• 可分离、线性与恰当方程 提供一阶方程的结构识别、积分步骤和特殊解检查。
• 高阶线性方程与常系数方法 把特征根、叠加、共振和受迫响应纳入解析层。
• 线性系统、矩阵指数与相平面 把标量高阶方程转换为状态空间并按谱结构分类轨线。
• 稳定性、Lyapunov 方法与分岔 处理长期保持、收敛、吸引域以及参数越过临界值后的相图变化。

课程 · 2011

MIT 18.03SC Differential Equations

Arthur Mattuck, Haynes Miller

为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。

打开官方来源

MIT 18.03SC Differential Equations 覆盖一阶模型、二阶方程、线性系统和相平面，可作为本章解析方法与定性路线的连续课程参考。

书籍 · 2016

Calculus Volume 2

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对数列与级数的收敛条件、积分技巧、反常积分和幂级数例题。

打开官方来源

OpenStax《Calculus Volume 2》提供微分方程建模、方向场、一阶方程及练习材料，适合复核混合问题、增长模型和初值代入步骤。

完成一个动力系统问题，不等于只得到一条公式。完整结论要同时交代解是否唯一、能延拓多久、状态是否留在物理区域、平衡点是否稳定、参数改变会不会重组相图，以及数值轨线是否保持连续模型的关键结构。沿本章路线记录这些条件，解析式、相图和计算结果就能组成相互可核对的同一答案。