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M09 · 第 4 章 · 第二编 傅里叶变换

广义函数、采样与 Poisson 求和

以测试函数上的连续线性泛函定义分布，计算 Dirac delta 与分布导数，并在统一的傅里叶变换约定下推导理想采样、带限重建、混叠和 Poisson 求和公式。

难度 5/5约 105 分钟最近修订 2026-07-14
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预备知识傅里叶变换与卷积极限与连续性积分技巧

本章目标

  1. 把局部可积函数和 Dirac delta 写成测试函数空间上的分布，并区分函数值与分布作用。
  2. 按对偶定义计算分布导数，证明 Heaviside 阶跃的导数是 Dirac delta。
  3. 由冲激列的傅里叶变换说明采样后频谱为何周期复制。
  4. 在带限假设下陈述采样定理与 sinc 重建，并判断临界频率处的条件。
  5. 用频率折叠解释混叠，并在适当衰减条件下使用 Poisson 求和公式。
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从尖峰极限转向对测试函数的作用

单位脉冲常被画成位于原点、面积为一且宽度为零的尖峰。它不是通常意义下的函数：若一个普通函数只在单点非零，它的积分仍为零；若要求原点函数值无穷大，又超出了实值函数的定义。真正稳定的对象不是尖峰的高度，而是它对平滑探针的加权结果。

记

D(R)=Cc∞(R)\mathcal D(\mathbb R)=C_c^\infty(\mathbb R)

为实轴上所有具有紧支集的无穷次可微函数组成的空间。这些函数称为测试函数。紧支集保证积分只发生在有限区间，任意阶光滑性则允许反复分部积分。测试函数序列 φj\varphi_j 在 D\mathcal D 中趋于零，指它们的支集最终都落在同一个紧集内，并且每一阶导数都在该紧集上一致趋于零。

分布

分布 TT 是 D(R)\mathcal D(\mathbb R) 上的连续线性泛函。它把测试函数 φ\varphi 映成数

⟨T,φ⟩,\langle T,\varphi\rangle,

满足线性，并且在上述测试函数收敛意义下连续。尖括号表示分布的作用，不是点乘，也不预设 TT 在每一点有函数值。

每个局部可积函数 ff 都定义一个正则分布

⟨Tf,φ⟩=∫Rf(t)φ(t) dt.\langle T_f,\varphi\rangle =\int_{\mathbb R}f(t)\varphi(t)\,\mathrm dt.

局部可积已经足够，因为 φ\varphi 只在紧集上非零。两个几乎处处相等的函数定义同一个分布，所以分布不会记录单个点上的任意改值。

Dirac delta 只读取一个点

位于 aa 的 Dirac delta 定义为

⟨δa,φ⟩=φ(a).\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a).

它不是把“无穷大”代入积分，而是直接读取测试函数在 aa 的值。若 gg 是光滑函数，则分布乘法 gδag\delta_a 定义良好，并有

⟨gδa,φ⟩=⟨δa,gφ⟩=g(a)φ(a),\langle g\delta_a,\varphi\rangle =\langle\delta_a,g\varphi\rangle =g(a)\varphi(a),

因此 gδa=g(a)δag\delta_a=g(a)\delta_a。分布总能乘以光滑函数，但两个任意分布通常不能相乘；例如 δ02\delta_0^2 在经典分布理论中没有由这些规则唯一确定的意义。

平移后的脉冲可描述瞬时外力、点电荷或理想采样时刻。物理系数必须保留单位：若 F(t)=Jδ0(t)F(t)=J\delta_0(t) 表示冲量，JJ 的单位是牛顿秒，而 δ0(t)\delta_0(t) 对时间积分后无量纲地给出一。把 delta 当作普通无量纲函数会丢失这一单位关系。

导数由分部积分转移到探针

经典光滑函数满足

∫f′(t)φ(t) dt=−∫f(t)φ′(t) dt,\int f'(t)\varphi(t)\,\mathrm dt =-\int f(t)\varphi'(t)\,\mathrm dt,

因为测试函数在远处为零，边界项消失。这个恒等式被取作任意分布的导数定义：

分布导数

分布 TT 的导数 T′T' 由

⟨T′,φ⟩=−⟨T,φ′⟩\langle T',\varphi\rangle =-\langle T,\varphi'\rangle

定义。高阶导数满足

⟨T(m),φ⟩=(−1)m⟨T,φ(m)⟩.\langle T^{(m)},\varphi\rangle =(-1)^m\langle T,\varphi^{(m)}\rangle.

每个分布都有任意阶分布导数，即使原对象有跳跃或尖点。这个结论不等于它处处存在经典导数；分布导数会把跳跃记录成 delta 项。

例 1：Heaviside 阶跃的导数

令

H(t)={0,t<0,1,t>0.H(t)=\begin{cases} 0,&t<0,\\ 1,&t>0. \end{cases}

H(0)H(0) 取何值不影响它定义的正则分布。对任意测试函数 φ\varphi，

⟨H′,φ⟩=−⟨H,φ′⟩=−∫0∞φ′(t) dt=φ(0),\begin{aligned} \langle H',\varphi\rangle &=-\langle H,\varphi'\rangle\\ &=-\int_0^\infty\varphi'(t)\,\mathrm dt\\ &=\varphi(0), \end{aligned}

其中 φ(t)\varphi(t) 在充分大的 tt 处为零。因此

H′=δ0H'=\delta_0

在分布意义下成立。若分段光滑函数在 aa 处有跳跃量 J=f(a+)−f(a−)J=f(a^+)-f(a^-)，它的分布导数等于各光滑段的经典导数再加 JδaJ\delta_a。跳跃的符号由右极限减左极限决定。

delta 本身的导数满足 ⟨δa′,φ⟩=−φ′(a)\langle\delta_a',\varphi\rangle=-\varphi'(a)。这里的负号来自对偶定义，不是把某个尖峰图形直接求斜率。

固定傅里叶变换约定

以下采用

f^(ξ)=∫Rf(t)e−2πiξt dt,f(t)=∫Rf^(ξ)e2πiξt dξ.\widehat f(\xi) =\int_{\mathbb R}f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,\mathrm dt, \qquad f(t)=\int_{\mathbb R}\widehat f(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,\mathrm d\xi.

频率 ξ\xi 以每单位时间的周数计。若改用角频率 ω\omega，指数写成 e−iωte^{-i\omega t}，变换常数和 Nyquist 频率的记号也要同步更换。对 Schwartz 函数，变换和逆变换都可经典计算；对分布，则以对偶方式延拓。由 delta 的读取性质可得

δa^(ξ)=e−2πiaξ,1^=δ0,T′^(ξ)=2πiξT^(ξ).\widehat{\delta_a}(\xi)=e^{-2\pi i a\xi}, \qquad \widehat 1=\delta_0, \qquad \widehat{T'}(\xi)=2\pi i\xi\widehat T(\xi).

这些等式是分布恒等式。常数函数的傅里叶积分并不绝对收敛，不能把第二式当作普通反常积分计算。

冲激列把连续信号变成样本

给定采样周期 T>0T>0，定义周期冲激列

III⁡T(t)=∑n∈Zδ(t−nT).\operatorname{III}_T(t) =\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(t-nT).

在当前变换约定下，它满足

III⁡T^(ξ)=1TIII⁡1/T(ξ)=1T∑k∈Zδ ⁣(ξ−kT).\widehat{\operatorname{III}_T}(\xi) =\frac1T\operatorname{III}_{1/T}(\xi) =\frac1T\sum_{k\in\mathbb Z}\delta\!\left(\xi-\frac{k}{T}\right).

若连续信号 xx 足够规则，使点值 x(nT)x(nT) 有明确意义，则理想采样写成

xs(t)=x(t)III⁡T(t)=∑n∈Zx(nT)δ(t−nT).x_s(t)=x(t)\operatorname{III}_T(t) =\sum_{n\in\mathbb Z}x(nT)\delta(t-nT).

乘积在这里成立，是因为普通光滑函数可以乘分布。对只有 L2L^2 等价类而没有指定连续代表的信号，不能直接谈任意点值；带限假设会给出连续代表，或需另外声明采样值的定义。

时域相乘对应频域卷积，因此

xs^(ξ)=1T∑k∈Zx^ ⁣(ξ−kT).\widehat{x_s}(\xi) =\frac1T\sum_{k\in\mathbb Z} \widehat x\!\left(\xi-\frac{k}{T}\right).

采样没有把频谱压缩成一个区间，而是以采样频率

fs=1Tf_s=\frac1T

为间隔复制整个频谱。重建是否可能，取决于这些副本会不会重叠。

带限假设决定能否无失真重建

假设 x∈L2(R)x\in L^2(\mathbb R)，其傅里叶变换在 [−B,B][-B,B] 外几乎处处为零。若

fs>2B,f_s>2B,

相邻频谱副本之间留有间隙，可用保留中央副本的理想低通滤波器恢复 x^\widehat x。时域中的重建公式为

x(t)=∑n∈Zx(nT)sinc⁡ ⁣(t−nTT),sinc⁡(u)=sin⁡(πu)πu,x(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}x(nT) \operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-nT}{T}\right), \qquad \operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u},

并约定 sinc⁡(0)=1\operatorname{sinc}(0)=1。级数至少在 L2L^2 意义下解释；若希望逐点或一致收敛，需要增加平滑性、衰减或可积性条件。

fs=2Bf_s=2B 是临界情况。两个闭频带副本在端点接触，是否仍可恢复取决于端点谱值和采用的函数空间。工程表述常把 fs≥2Bf_s\ge 2B 写成 Nyquist 条件，严格推导中使用 fs>2Bf_s>2B 更安全。非带限信号即使高频很弱，也不满足精确重建定理；抗混叠滤波只能把带外能量压低，不能把它变成数学上的严格带限。

例 2：一个临界带限信号的样本与重建

考虑

x(t)=sinc⁡(t)=sin⁡(πt)πt.x(t)=\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.

在当前约定下，x^\widehat x 是区间 [−1/2,1/2][-1/2,1/2] 上的矩形频谱，故带宽 B=1/2B=1/2。取 T=1T=1 时 fs=1=2Bf_s=1=2B，样本为

x(0)=1,x(n)=0(n∈Z∖{0}).x(0)=1, \qquad x(n)=0\quad(n\in\mathbb Z\setminus\{0\}).

代入 sinc 插值式，只有 n=0n=0 项保留，得到

∑n∈Zx(n)sinc⁡(t−n)=sinc⁡(t)=x(t).\sum_{n\in\mathbb Z}x(n)\operatorname{sinc}(t-n) =\operatorname{sinc}(t)=x(t).

这个例子在临界率上成功，是因为所选信号及矩形谱的端点约定相容。它不能证明所有带宽为 1/21/2 的信号在临界率下都没有边界问题。若取略小的采样率，频谱副本在正测度区间内重叠，单凭样本无法唯一分离。

混叠是样本序列的不可区分性

两个复指数若频率相差采样频率的整数倍，则在样本时刻完全相同：

e2πi(ξ+kfs)nT=e2πiξnTe2πikn=e2πiξnT.e^{2\pi i(\xi+kf_s)nT} =e^{2\pi i\xi nT}e^{2\pi ikn} =e^{2\pi i\xi nT}.

因此采样只能辨认模 fsf_s 的离散频率。对实余弦还要合并正负频率，超过 fs/2f_s/2 的分量会折叠回 Nyquist 区间。频谱重叠之后，即使知道采样周期和全部无限样本，也无法判断观测来自哪一个连续频率；增加插值精度不能恢复已经丢失的身份信息。

例 3：7 Hz 信号折叠成 3 Hz

以 fs=10 Hzf_s=10\ \mathrm{Hz} 采样两个信号

x1(t)=cos⁡(2π⋅7t),x2(t)=cos⁡(2π⋅3t).x_1(t)=\cos(2\pi\cdot7t), \qquad x_2(t)=\cos(2\pi\cdot3t).

采样时刻 tn=n/10t_n=n/10 上，

x1(tn)=cos⁡(1.4πn)=cos⁡(2πn−0.6πn)=cos⁡(0.6πn)=x2(tn).x_1(t_n)=\cos(1.4\pi n) =\cos(2\pi n-0.6\pi n) =\cos(0.6\pi n)=x_2(t_n).

7 Hz 与 −3-3 Hz 相差一个采样频率，而实余弦无法区分正负频率，所以样本序列显示为 3 Hz。这里 7 Hz>fs/2=5 Hz7\ \mathrm{Hz}>f_s/2=5\ \mathrm{Hz}，违反无混叠带宽条件。采样前加入截止频率低于 5 Hz 的低通滤波器，才能在数据形成之前抑制该分量。

有限时长观测还会产生谱泄漏：乘以有限窗口等价于频域卷积，使单一频率扩散到邻近频点。泄漏、混叠和有限项傅里叶截断是三种不同效应。延长窗口可改善频率分辨率，却不会自动消除由采样率过低产生的混叠。

Poisson 求和连接格点和对偶格点

在当前变换约定下，若 ff 是 Schwartz 函数，则 Poisson 求和公式为

∑n∈Zf(nT)=1T∑k∈Zf^ ⁣(kT).\sum_{n\in\mathbb Z}f(nT) =\frac1T\sum_{k\in\mathbb Z} \widehat f\!\left(\frac{k}{T}\right).

它可由 fIII⁡Tf\operatorname{III}_T 的频域表示推导，也可把周期化函数

PTf(t)=∑n∈Zf(t+nT)P_Tf(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}f(t+nT)

展开成傅里叶级数后在 t=0t=0 取值。左侧在时间格点求和，右侧在频率格点求和，两个格点间距互为倒数。

Schwartz 条件不是唯一可用条件，却是避免交换求和、积分和取值时出错的可靠充分条件。仅知道 f∈L1f\in L^1 通常不足以保证两边逐项绝对收敛或点值有意义。遇到条件收敛时，需要采用对称求和、分布解释或更精细的定理，不能直接套用公式。

例 4：高斯函数的自对偶求和

令 f(t)=e−πt2f(t)=e^{-\pi t^2}。高斯积分给出

f^(ξ)=e−πξ2,\widehat f(\xi)=e^{-\pi\xi^2},

所以在 T=1T=1 时 Poisson 求和公式成为

∑n∈Ze−πn2=∑k∈Ze−πk2.\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-\pi n^2} =\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2}.

此时两侧逐项相同，直接展示高斯函数在所选傅里叶约定下的自对偶性。更一般地，对 f(t)=e−πat2f(t)=e^{-\pi a t^2}、a>0a>0，有

f^(ξ)=a−1/2e−πξ2/a,\widehat f(\xi)=a^{-1/2}e^{-\pi\xi^2/a},

从而

∑n∈Ze−πan2=a−1/2∑k∈Ze−πk2/a.\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-\pi a n^2} =a^{-1/2}\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2/a}.

参数 aa 大时左侧收敛很快，右侧对应 1/a1/a 的对偶尺度。这一恒等式依赖高斯的快速衰减，不能据此断言任意函数都可交换格点求和与傅里叶变换。

练习：检验作用、带宽与格点条件

练习 1：两个跳跃的分布导数
所属知识
分布导数
难度
3/5

令 f(t)=0f(t)=0（t<0t<0），f(t)=tf(t)=t（0<t<10<t<1），f(t)=0f(t)=0（t>1t>1）。求 f′f' 的分布表达式。

查看提示
先在三个光滑区间写经典导数，再用右极限减左极限计算每个跳跃量。
查看解答

在 (0,1)(0,1) 内经典导数为 11，其他区间为 00，对应指示函数 1(0,1)\mathbf1_{(0,1)}。t=0t=0 处左右极限都为 00，没有 delta 项；t=1t=1 处跳跃量为 0−1=−10-1=-1。因此

f′=1(0,1)−δ1.f'=\mathbf1_{(0,1)}-\delta_1.

检验其总变化：取一个在 [0,1][0,1] 邻域恒等于 11 的紧支集测试函数，区间积分给出 11，delta 项给出 −1-1，净变化为零，与函数从零出发又回到零相符。

练习 2：delta 导数读取什么
所属知识
Dirac delta
难度
2/5

设 φ∈D(R)\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)，并且它在 t=2t=2 的某个邻域内等于 e−t2e^{-t^2}。计算 ⟨δ2′,φ⟩\langle\delta_2',\varphi\rangle。

查看提示
直接使用 ⟨δa′,φ⟩=−φ′(a)\langle\delta_a',\varphi\rangle=-\varphi'(a)。
查看解答

φ′(t)=−2te−t2\varphi'(t)=-2te^{-t^2}，故

⟨δ2′,φ⟩=−φ′(2)=4e−4.\langle\delta_2',\varphi\rangle =-\varphi'(2)=4e^{-4}.

若漏掉分布导数定义中的负号，会得到相反结果。

练习 3：为双频信号选择采样率
所属知识
采样定理
难度
3/5

信号 x(t)=2cos⁡(2π⋅40t)+sin⁡(2π⋅90t)x(t)=2\cos(2\pi\cdot40t)+\sin(2\pi\cdot90t) 严格只含所示频率。判断 120 Hz120\ \mathrm{Hz} 采样是否足够，并给出满足严格无重叠条件的采样率范围。

查看提示
带宽由最高绝对频率决定；严格无重叠采用大于两倍带宽。
查看解答

最高频率为 B=90 HzB=90\ \mathrm{Hz}。120 Hz<2B=180 Hz120\ \mathrm{Hz}<2B=180\ \mathrm{Hz}，90 Hz 分量会折叠到 Nyquist 区间，故不足。严格无重叠要求

fs>180 Hz.f_s>180\ \mathrm{Hz}.

若系统只能取整数采样率，最小可选 181 Hz181\ \mathrm{Hz}；实际系统还要为滤波器过渡带留余量。

练习 4：缩放高斯的格点恒等式
所属知识
Poisson 求和
难度
4/5

利用 Poisson 求和公式，把 ∑n∈Ze−4πn2\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-4\pi n^2} 改写成在尺度 1/41/4 上衰减的对偶级数。

查看提示
使用 a=4a=4 的高斯变换公式，再代入 T=1T=1。
查看解答

取 a=4a=4，则

f^(ξ)=12e−πξ2/4.\widehat f(\xi)=\frac12e^{-\pi\xi^2/4}.

在 T=1T=1 的 Poisson 公式中代入，得到

∑n∈Ze−4πn2=12∑k∈Ze−πk2/4.\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-4\pi n^2} =\frac12\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2/4}.

两边都绝对收敛；系数 1/21/2 来自傅里叶变换的尺度因子，不能省略。

资料与后续联系

  • 傅里叶变换 提供卷积、平移、调制和频域支集的计算规则。
  • 傅里叶级数 周期化函数的离散频谱是 Poisson 求和的另一种入口。
  • 波的傅里叶分析 把采样率、频谱副本和波数分解用于实际波形。
  • 偏微分方程 点源和瞬时源常以 delta 分布进入基本解与 Green 函数。
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分布把跳跃、点源和冲激列纳入线性分析；采样定理则把能否重建归结为频谱支集是否重叠。下一章把正交展开用于三类典型偏微分方程：热扩散使高频模态衰减，波动使模态振荡，Laplace 方程由边界数据决定区域内部。