多项式、因式分解与有理式

除非另作说明，本章的系数和变量都取实数。记

其中 $n$ 是非负整数，$a_0,\ldots,a_n\in\mathbb R$，并且 $a_n\ne0$。符号 $p(x)$ 将贯穿除法、求根和有理式分析；更换字母不改变结构，但定义域和系数域不能在计算中悄然更换。

系数与次数确定一个多项式

多项式、次数与首项

上式称为实系数多项式的标准形式。最高非零幂指数 $n$ 是次数，记作 $\deg p=n$；$a_nx^n$ 是首项，$a_n$ 是首项系数。非零常数的次数为零。本章不为零多项式规定普通整数次数，以免把“最高非零项”用于一个没有非零项的对象。

两个多项式相等，表示同次幂的系数逐项相等。例如

是在每个实数 $x$ 上成立的多项式恒等式；$x^2+x-2=0$ 则是方程，其实数解集只有 $\{-2,1\}$。恒等式用于替换表达式，方程用于筛选输入。把“因式分解”写成恒等式后，仍需令每个因子为零才能求方程的解。

非零多项式相乘时次数相加、首项系数相乘。若 $p$ 的次数为 $m$、$q$ 的次数为 $n$，则 $pq$ 的首项为 $a_mb_nx^{m+n}$。由于实数中两个非零数的乘积不为零，这一项不会被消掉，所以

加法则可能发生首项抵消，例如 $(x^2+1)+(-x^2+x)=x+1$，因此只能保证 $\deg(p+q)\le\max(\deg p,\deg q)$，并需排除和为零多项式的情形。相加后的实际次数要从最高非零系数重新读取。

除法算法把余项隔离出来

多项式除法算法

给定实系数多项式 $p(x)$ 与非零多项式 $d(x)$，存在唯一的多项式 $q(x),r(x)$，使

$$p(x)=d(x)q(x)+r(x), \qquad r(x)=0\ \text{或}\ \deg r<\deg d.$$

$q$ 称为商，$r$ 称为余式。

长除法每一步用当前余项的首项除以 $d$ 的首项，再减去所得倍数，使最高次项消失。次数严格下降，所以有限步后达到 $\deg r<\deg d$。唯一性也来自次数：若另有 $p=dq_1+r_1=dq_2+r_2$，则

若 $q_1-q_2$ 非零，左边次数至少为 $\deg d$；右边若非零，次数却小于 $\deg d$，矛盾。因此 $q_1=q_2$，继而 $r_1=r_2$。

例 1：除以一次因式并核对余式

令

$$p(x)=2x^3-3x^2+4x-5,$$

求它除以 $x-2$ 的商与余式。综合除法使用系数 $2,-3,4,-5$ 和数 $2$：依次落下 $2$，乘 $2$ 后加到下一列得 $1$，再乘 $2$ 后相加得 $6$，最后乘 $2$ 后相加得 $7$。因此

$$q(x)=2x^2+x+6, \qquad r=7.$$

展开核验：

$$(x-2)(2x^2+x+6)+7 =2x^3-3x^2+4x-5=p(x).$$

再代入 $x=2$，右边的乘积项变为零，所以 $p(2)=7$，与余式一致。

当除式为 $x-a$ 时，余式的次数小于一，只能是常数。把 $x=a$ 代入

便得 $p(a)=r$，这就是余式定理。特别地，$p(a)=0$ 当且仅当余式为零，也当且仅当 $x-a$ 整除 $p(x)$；这条等价关系称为因式定理。

根的重数记录因式重复次数

根与重数

若 $p(a)=0$，实数 $a$ 是 $p$ 的根。若存在正整数 $m$ 和满足 $g(a)\ne0$ 的多项式 $g(x)$，使

$$p(x)=(x-a)^m g(x),$$

则 $a$ 是重数为 $m$ 的根。

在 $a$ 附近，$g(x)$ 保持与 $g(a)$ 相同的符号。因子 $(x-a)^m$ 在 $m$ 为奇数时跨过 $a$ 改变符号，在 $m$ 为偶数时两侧同号。因此奇重根使多项式符号穿过零，偶重根使符号接触零后返回同一侧。这个结论只描述根附近的符号；完整区间仍要结合其他因子判断。

例 2：由余式定理发现二重根

考察

$$p(x)=x^3-3x+2.$$

计算 $p(1)=1-3+2=0$，所以 $x-1$ 是因式。综合除法得到商 $x^2+x-2$，再分解为

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2).$$

于是

$$p(x)=(x-1)^2(x+2).$$

展开右边得到 $x^3-3x+2$，恒等式核验通过。根 $-2$ 的重数为一，根 $1$ 的重数为二。对 $x<-2$，乘积为负；对 $-2<x<1$，乘积为正；对 $x>1$，乘积仍为正。因此符号在 $-2$ 处改变，在 $1$ 处不改变，与奇、偶重数规则一致。

实系数多项式的非实根成共轭对

复数与共轭

复数写成 $z=a+bi$，其中 $a,b\in\mathbb R$，虚数单位 $i$ 满足 $i^2=-1$。$z$ 的共轭复数是 $\overline z=a-bi$；当 $b\ne0$ 时，$z$ 与 $\overline z$ 是一对不同的非实复数。

若 $p(x)$ 的系数全为实数，则共轭运算与加法、乘法相容，因而

一旦 $p(z)=0$，右边等于零，于是 $p(\overline z)=0$。所以实系数多项式的非实根成共轭对出现，并且两者重数相同。例如 $x^2+1$ 在实数域没有根，在复数域有根 $i,-i$，并分解为 $(x-i)(x+i)$。实系数是该配对结论的必要前提；一般复系数多项式不必同时拥有共轭根。

常见因式分解方法包括提取公因式、使用平方差或完全平方恒等式、分组，以及先用余式定理寻找根再做除法。任何候选分解都能用两种方式核验：展开后逐项比较系数，或确认次数、首项系数与全部因式相乘的结果一致。只试若干数值不能证明两个高次多项式恒等；系数比较或完整展开才覆盖所有实数输入。

有理式的原始定义域不能约掉

有理式、零点与排除点

设 $p(x),q(x)$ 为实系数多项式，且 $q$ 不是零多项式。有理式

$$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$

的自然实数定义域是 $D=\{x\in\mathbb R:q(x)\ne0\}$。只有满足 $p(a)=0$ 且 $q(a)\ne0$ 的 $a$ 才是 $R$ 的零点。

若分子、分母含共同因子 $(x-a)^k$，约分后的公式可能在 $a$ 处有值，但原有理式仍排除 $a$。约分后分母在 $a$ 处非零时，这个缺失点称为可去空点；把约分后的值补上会得到一个新函数，而不是改变原函数的定义域。若约尽共同因子后分母仍含 $(x-a)^m$，$m\ge1$，而分子在 $a$ 处非零，则函数值的绝对值在靠近 $a$ 时无界，$a$ 是极点。

例 3：同一因式产生空点而不是零点

分析

$$R(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-2}.$$

先在原式上确定定义域：

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$

所以 $D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$。因式分解并约去共同因子后，

$$R(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} =\frac{x-1}{x-2}, \qquad x\in D.$$

点 $x=1$ 使分子为零且属于 $D$，因此是零点。点 $x=-1$ 已被原分母排除；约简公式在那里取值 $2/3$，所以原图像在 $(-1,2/3)$ 有可去空点。点 $x=2$ 在约简后仍使分母为零，且分子不为零，所以是极点。

约简式 $(x-1)/(x-2)$ 给出各区间的符号，但原定义域仍在 $x=-1$ 处断开：在 $(-\infty,-1)$ 与 $(-1,1)$ 上都为正，在 $(1,2)$ 上为负，在 $(2,\infty)$ 上为正。约分恒等式只在原定义域 $D$ 上成立；若把右边按自己的自然定义域解释，它在 $-1$ 处有值，便与原函数不相等。

分解与约分中的边界错误

实系数多项式总能分成实线性因式

$x^2+1$ 没有实根，因此不能在实数范围内分成两个一次因式。扩展到复数后才有 $(x-i)(x+i)$。陈述“完全分解”前必须说明系数域；本章默认实数域。

约分后被排除的输入重新合法

式子 $(x^2-1)/(x-1)$ 在 $x=1$ 处无定义。它在 $x\ne1$ 时等于 $x+1$，但后者的自然定义域包含 $1$。两个公式在共同定义域上取值相同，不代表它们作为带定义域的函数完全相同。

分子为零就一定是有理式的零点

零点要求有理式有定义。若分子和分母同时在 $a$ 处为零，$a$ 首先是原定义域的排除点；约分后只能判断它是空点还是仍为极点，不能把它纳入零点集合。

除法、重数与有理式练习

练习标记完成

将 $p(x)=x^3+2x^2-x+3$ 除以 $x+1$，写出商和余式，并用代入检验余式。

查看解答

综合除法使用 $a=-1$。系数 $1,2,-1,3$ 依次得到 $1,1,-2,5$，所以商为 $x^2+x-2$，余式为 $5$。确有

$$p(x)=(x+1)(x^2+x-2)+5,$$

并且 $p(-1)=-1+2+1+3=5$，与余式定理一致。

练习标记完成

因式分解 $x^3-4x^2+x+6$，写出全部实根，并展开核验。

查看解答

代入 $x=-1$ 得零，所以 $x+1$ 是因式。除法得到 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。因此

$$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3),$$

实根为 $-1,2,3$，重数均为一。展开 $(x+1)(x^2-5x+6)$ 得 $x^3-4x^2+x+6$，核验通过。

练习标记完成

设 $p(x)=(x+2)^3(x-1)^2$。写出根及重数，并判断三个开区间上的符号。

查看解答

根 $-2$ 的重数为三，根 $1$ 的重数为二。在 $x<-2$ 时，$(x+2)^3<0$ 而 $(x-1)^2>0$，故 $p(x)<0$；在 $-2<x<1$ 与 $x>1$ 时两因子都非负且不为零，故 $p(x)>0$。符号在奇重根 $-2$ 处改变，在偶重根 $1$ 处不改变。

练习标记完成

分析

$$R(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$$

的定义域、零点、可去空点和极点。

查看解答

分母为 $(x-2)(x+1)$，所以定义域是 $\mathbb R\setminus\{-1,2\}$。原式在定义域上约为

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}.$$

零点为 $-2$。点 $2$ 是可去空点，约简公式给出的对应纵坐标为 $4/3$。点 $-1$ 在约分后仍使分母为零，是极点。

练习标记完成

在实数域求方程

$$\frac{x^2-1}{x-1}=4,$$

并解释为什么 $x=1$ 不能加入解集。

查看解答

原分母要求 $x\ne1$。在该定义域上，左边约为 $x+1$，所以 $x+1=4$ 给出 $x=3$。代回原式得 $(9-1)/(3-1)=4$。$x=1$ 虽使约简后的 $x+1$ 有定义，却使原分母为零，故 $S=\{3\}$。

多项式在函数章节中的位置

• 方程、不等式与绝对值 提供解集、符号表与增根核验；本章把这些规则应用到 $p(x)$ 及多项式之商。
• 函数、复合与图像 把根解释为图像与横轴的交点，并把奇偶重数与穿越或相切的局部形状对应起来。
• 复数与复平面 扩充系数域与根的范围，使 $x^2+1$ 等实数域中没有线性因式的多项式获得复根。

函数视角还会把多项式次数与远端走势联系起来，把分母零点与图像断裂联系起来。这里的代数核验先确定真实存在的点和定义域排除的点，图像语言随后描述其余对象；作图不能补回原式禁止的输入。

多项式与有理式的开放教材资源

书籍 · 2021

Precalculus 2e

Jay Abramson

用于核对 M01 的定义域、函数变换、方程求解、圆锥曲线与分步练习。

打开官方来源

OpenStax 在这里表示开放教材项目；其《Precalculus 2e》的多项式与有理函数章节覆盖除法算法、余式定理、零点重数和有理函数图像特征。复核时应先保留原分母给出的排除点，再对约简后的分子、分母分别判断零点与极点。

书籍 · 2021

Algebra and Trigonometry 2e

Jay Abramson

用于逐项复核 M01 的代数规则、图像性质、参数问题与完整例题。

打开官方来源

OpenStax《Algebra and Trigonometry 2e》把综合除法、因式定理和有理式运算放在同一代数序列中，并提供带解练习。使用综合除法时，可用展开恒等式和 $p(a)$ 两条独立检查同时核对商与余式。

后续函数章节会把公式视为带定义域的对应规则。此时“多项式恒等式处处成立”和“有理式约分只在原定义域成立”的差别会直接决定两幅图像是否真正相同，也决定零点、空点和极点能否被正确标记。