紧算子与自伴算子

紧性让无限维算子保留有限维痕迹

无限维空间的闭单位球通常不紧：在 $\ell^2$ 中，标准向量 $e_1,e_2,\ldots$ 两两距离为 $\sqrt2$，没有范数收敛子列。紧算子并不改变定义域的这一事实，而是把整个有界集压到值域中一个相对紧的集合。于是任意有界输入序列经过算子后，总能抽出强收敛子列。这种压缩恢复了若干有限维性质，但不会让算子自动可逆，也不会自动给出完整特征向量基。

本章继续使用复内积对第一个变量线性的约定： $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$。实 Hilbert 空间中的共轭全部消失。讨论谱时默认复 Hilbert 空间；实空间可以先复化，或者只讨论实特征值结论。

紧算子与相对紧致像

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为有界线性算子。若 $T$ 把 $X$ 中每个有界集映为 $Y$ 中相对紧致的集合，即其像的闭包紧致，则称 $T$ 为紧算子。等价地，只需检查闭单位球 $B_X=\{x:\|x\|\le1\}$ 的像是否相对紧致。

单位球判据足够，是因为任意有界集包含在某个 $RB_X$ 中，而标量乘法保持相对紧致。有限维值域中的有界集闭包若再取闭就是紧集，因此每个有限秩有界算子都是紧算子。恒等算子在无限维空间上则不紧；否则单位球本身会相对紧致，与 Riesz 引理给出的相互分离序列矛盾。

有界列的子列刻画

紧算子的序列刻画

有界线性算子 $T:X\to Y$ 紧，当且仅当对 $X$ 中每个有界序列 $(x_n)$，像序列 $(Tx_n)$ 都有范数收敛子列。

证明

若 $T$ 紧，有界列包含在某个有界集 $A$ 中，而 $\overline{T(A)}$ 紧。度量空间中的紧致等价于序列紧致，所以 $(Tx_n)$ 有收敛子列。

反过来，假设每个有界列的像都有收敛子列。若 $\overline{T(B_X)}$ 不紧，因为它是度量空间中的闭集，可用“紧致等价于序列紧致”找到其中没有收敛子列的序列 $(y_n)$。每个 $y_n$ 都可由 $T(B_X)$ 中的点 $Tx_n$ 逼近到距离小于 $1/n$。若 $(Tx_n)$ 有收敛子列，则对应的 $(y_n)$ 子列由三角不等式收敛，矛盾。因此单位球像的闭包紧，$T$ 紧。

例 1：ℓ² 上趋零对角算子

设有界标量列 $(a_n)$ 满足 $a_n\to0$，定义

$$D(x_1,x_2,\ldots)=(a_1x_1,a_2x_2,\ldots).$$

令 $D_N$ 只保留前 $N$ 个坐标。$D_N$ 的秩有限，而且

$$\|D-D_N\|=\sup_{n>N}|a_n|\longrightarrow0.$$

下节将证明紧算子的算子范数极限仍紧，因此 $D$ 紧。反之，若存在 $\varepsilon>0$ 和不同指标 $n_k$ 使 $|a_{n_k}|\ge\varepsilon$，则 $De_{n_k}=a_{n_k}e_{n_k}$ 中任意两项距离至少为 $\sqrt2\varepsilon$，没有收敛子列，故 $D$ 不紧。于是这个对角算子紧当且仅当 $a_n\to0$。

有限秩逼近的成立范围

紧算子的算子范数极限

设 $Y$ 为 Banach 空间，$T_n:X\to Y$ 都紧，且 $\|T_n-T\|\to0$，则 $T$ 紧。

证明

取 $X$ 中有界列 $(x_j)$，设 $\|x_j\|\le M$。先从中抽子列，使 $T_1x_j$ 收敛；再从该子列抽子列，使 $T_2x_j$ 收敛；依次进行并取对角子列 $(x_{j_k})$。对任意 $\varepsilon>0$，选 $n$ 使 $2M\|T-T_n\|<\varepsilon/2$。当 $k,l$ 足够大时， $\|T_nx_{j_k}-T_nx_{j_l}\|<\varepsilon/2$，故

$$\|Tx_{j_k}-Tx_{j_l}\| \le2M\|T-T_n\|+ \|T_nx_{j_k}-T_nx_{j_l}\|<\varepsilon.$$

像的对角子列是 Cauchy 列；$Y$ 完备使它收敛。由序列刻画，$T$ 紧。

在 Hilbert 空间之间，每个紧算子都能由有限秩算子按算子范数逼近。确实，紧集 $\overline{T(B_H)}$ 对任意 $\varepsilon>0$ 有有限 $\varepsilon$-网 $y_1,\ldots,y_m$。令 $M=\operatorname{span}\{y_1,\ldots,y_m\}$，再取值域中的正交投影 $P_M$，则 $P_MT$ 有限秩，且

这里使用了 Hilbert 空间对有限维子空间的正交投影。对一般 Banach 空间，“紧算子一定是有限秩算子的范数极限”并非无条件成立；它与空间的逼近性质有关。不能把 Hilbert 证明中的正交投影悄悄搬到任意 Banach 值域。

例 2：秩一算子及其像

固定 Hilbert 空间中的 $u,v$，定义

$$Tx=\langle x,v\rangle u.$$

其像包含在一维空间 $\operatorname{span}\{u\}$ 中，所以 $T$ 紧。Cauchy–Schwarz 给出 $\|T\|\le\|u\|\|v\|$；当 $v\ne0$ 时取 $x=v/\|v\|$，得到等号。若 $u$ 或 $v$ 为零，算子范数也为零。这个例子会在伴随部分再次出现。

紧算子把弱收敛强化为范数收敛

序列 $x_n$ 弱收敛到 $x$，记作 $x_n\rightharpoonup x$，是指对每个连续线性泛函 $f\in X^*$ 都有 $f(x_n)\to f(x)$。范数收敛必然推出弱收敛，逆命题在无限维中通常失败。例如 $\ell^2$ 的标准向量 $e_n\rightharpoonup0$，因为任意 $y\in\ell^2$ 的坐标 $y_n\to0$；但 $\|e_n\|=1$。

紧算子的弱到强连续性

若 $T:X\to Y$ 紧且 $x_n\rightharpoonup x$，则 $\|Tx_n-Tx\|\to0$。

证明

弱收敛列必有界，这可由一致有界原理应用于嵌入 $X\to X^{**}$ 得到。因此任意子列 $(x_{n_k})$ 的像都有范数收敛子列 $Tx_{n_{k_j}}\to y$。有界线性算子保持弱收敛，所以同一子列又满足 $Tx_{n_{k_j}}\rightharpoonup Tx$；范数极限的弱极限只能是自身，故 $y=Tx$。

若整个 $(Tx_n)$ 不按范数趋于 $Tx$，就存在 $\varepsilon>0$ 和子列使每项与 $Tx$ 的距离至少为 $\varepsilon$。该子列仍能抽出范数收敛到 $Tx$ 的子列，矛盾。因此整个像序列范数收敛。

这条定理常用于变分问题：弱收敛提供有界列的候选极限，紧算子再把观测量或低阶项提升为强收敛。反方向不成立；一个算子对某个特定弱收敛列表现良好，不能据此判断它紧。

伴随来自 Riesz 表示

伴随、自伴与正算子

设 $H,K$ 为 Hilbert 空间，$T:H\to K$ 有界。对每个 $y\in K$，映射 $x\mapsto\langle Tx,y\rangle$ 是 $H$ 上连续线性泛函。Riesz 表示定理给出唯一 $T^*y\in H$，满足

$$\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle \quad(x\in H).$$

由此定义的有界线性算子 $T^*:K\to H$ 称为 $T$ 的伴随。若 $H=K$ 且 $T=T^*$，称 $T$ 自伴。本文把正算子定义为自伴且对每个 $x$ 都有 $\langle Tx,x\rangle\ge0$ 的算子。

由定义和唯一性可得

复共轭出现在标量公式中，是因为第二变量共轭线性。闭子空间的正交投影满足 $P_M=P_M^*=P_M^2$，而且 $\langle P_Mx,x\rangle=\|P_Mx\|^2\ge0$，所以它既自伴又为正。

例 3：秩一算子的伴随与正性

对 $Tx=\langle x,v\rangle u$，有

$$\langle Tx,y\rangle =\langle x,v\rangle\langle u,y\rangle =\left\langle x,\langle y,u\rangle v\right\rangle.$$

故 $T^*y=\langle y,u\rangle v$。当 $u=v$ 时， $Tx=\langle x,u\rangle u$，并且 $\langle Tx,x\rangle=|\langle x,u\rangle|^2\ge0$，所以 $T$ 正。若 $u,v$ 不成比例，通常 $T\ne T^*$；有限秩和紧性并不蕴含自伴性。

自伴算子的特征值为实数。若 $Tx=\lambda x$ 且 $x\ne0$，则

不同特征值的特征向量正交：若 $Tx=\lambda x$、$Ty=\mu y$，则 $\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle=\mu\langle x,y\rangle$。这些结论只用自伴性，不需要紧性。

紧自伴算子的非零谱

对复 Banach 空间上的有界算子，谱 $\sigma(T)$ 是使 $T-\lambda I$ 不具有有界逆的标量集合。特征值一定属于谱，但谱点未必是特征值。紧自伴性使所有非零谱点重新变为有限重数特征值。

紧自伴算子的非零谱结构

设 $H$ 为复 Hilbert 空间，$T:H\to H$ 紧且自伴。则：

1. $\sigma(T)\subseteq\mathbb R$；
2. 每个非零谱点 $\lambda$ 都是 $T$ 的特征值；
3. 每个非零特征值的特征空间有限维；
4. 不同非零特征值构成至多可数集合，其唯一可能聚点是 $0$。

证明

先设 $\lambda=a+ib$ 且 $b\ne0$。自伴性给出

$$\|(T-\lambda I)x\|\,\|x\| \ge|\langle (T-\lambda I)x,x\rangle| \ge |b|\|x\|^2.$$

故 $T-\lambda I$ 有下界，值域闭且核为零；其值域的正交补等于 $\ker(T-\overline\lambda I)=\{0\}$，所以值域又稠密，因而等于 $H$。逆算子有界，非实 $\lambda$ 不在谱中。

现在取实数 $\lambda\ne0$。若 $A=T-\lambda I$ 单射却没有下界，就存在 $\|x_n\|=1$ 且 $Ax_n\to0$。紧性给出子列使 $Tx_n$ 收敛，而 $\lambda x_n=Tx_n-Ax_n$ 也随之收敛；其极限 $x$ 满足 $\|x\|=1$ 且 $Ax=0$，与单射矛盾。因此 $A$ 有下界，值域闭。又因 $A=A^*$，有 $\operatorname{Ran}(A)^\perp=\ker A=\{0\}$，值域稠密，从而 $A$ 可逆且逆有界。于是若非零 $\lambda$ 位于谱中，$A$ 必不单射，即 $\lambda$ 是特征值。

若非零特征值 $\lambda$ 的特征空间 $E_\lambda$ 无限维，可在其中选正交规范序列 $(e_n)$。但 $Te_n=\lambda e_n$，像序列任意两项距离为 $\sqrt2|\lambda|$，与紧性矛盾，所以 $E_\lambda$ 有限维。

最后，若有无限多个不同特征值 $\lambda_n$ 满足 $|\lambda_n|\ge\varepsilon>0$，各取单位特征向量 $e_n$。自伴性使它们两两正交，于是

$$\|Te_n-Te_m\|^2=|\lambda_n|^2+|\lambda_m|^2 \ge2\varepsilon^2.$$

有界列 $(e_n)$ 的像没有收敛子列，矛盾。因此离零至少 $\varepsilon$ 的特征值只有有限多个。对 $\varepsilon=1/k$ 汇总可知非零特征值至多可数，且只有零可能成为聚点。

证明到此并未得到“存在一组由特征向量组成的正交规范基”，也没有证明 $H=\ker T\oplus\overline{\operatorname{span}\{E_\lambda:\lambda\ne0\}}$。这些是下一章紧自伴谱定理的核心，需要额外的极值与不变子空间论证，不能从“谱点都是特征值”直接跳过去。

例 4：零可以是谱点却不是特征值

在 $\ell^2$ 上定义 $De_n=n^{-1}e_n$。例 1 说明 $D$ 紧；系数为实数说明 $D=D^*$，而且 $\langle Dx,x\rangle=\sum_n|x_n|^2/n\ge0$。每个 $1/n$ 是一重特征值，它们只在零处聚集。

$D$ 是单射，所以零不是特征值；但它不满射。例如 $y=(1/n)_{n\ge1}\in\ell^2$，若 $Dx=y$，就必须有 $x_n=1$，而 $(1,1,\ldots)\notin\ell^2$。因此 $D$ 不可逆，$0\in\sigma(D)$。这精确展示了定理为何只断言“非零谱点是特征值”。

参数思考实验：改变对角权重

考虑 $D_a e_n=a_ne_n$，其中 $(a_n)$ 为有界实数列。改变权重会依次改变三种性质：有界性等价于 $\sup_n|a_n|<\infty$；自伴性来自权重为实数；紧性等价于 $a_n\to0$。若 $a_n=(-1)^n$，算子有界自伴却不紧，谱只含 $\{-1,1\}$，两个特征空间都无限维。若 $a_n=(-1)^n/n$，它紧且自伴，非零特征值为 $(-1)^n/n$，每个有限重数并向零聚集。若权重为复数且不全为实数，算子仍可能紧，却不再自伴，特征向量正交与谱实性都不能由本章的自伴论证获得。

常见误区

紧算子把有界列直接变成收敛列

紧性只保证存在像的收敛子列，原像序列和完整像序列都未必收敛。只有输入已经弱收敛时，唯一弱极限才迫使整个像序列强收敛。

每个 Banach 空间上的紧算子都可由有限秩算子逼近

Hilbert 空间中可用有限维正交投影完成逼近；一般 Banach 空间需要额外的逼近性质，不能省略空间假设。

紧自伴意味着零也是特征值

零必属于无限维紧算子的谱，但可以不是特征值。对角算子 $De_n=e_n/n$ 单射却不可逆，就是零属于连续谱现象的基本例子。

非零谱离散已经等于完整谱定理

非零谱点是有限重数特征值，只说明候选特征值的形状。还要证明特征向量张成正确的闭子空间并给出算子展开，才能得到完整谱定理。

练习

练习 1：对角算子的紧性判据标记完成

所属知识

紧算子

难度

4/5

设 $D:\ell^2\to\ell^2$ 满足 $De_n=a_ne_n$，其中 $(a_n)$ 有界。证明 $D$ 紧当且仅当 $a_n\to0$。

查看提示

一个方向用有限截断的算子范数逼近；另一个方向在权重不趋零时选标准向量子列。

查看解答

若 $a_n\to0$，令 $D_N$ 只保留前 $N$ 个对角元。它有限秩且 $\|D-D_N\|=\sup_{n>N}|a_n|\to0$，所以 $D$ 是紧算子的范数极限，因而紧。

若 $a_n$ 不趋于零，则存在 $\varepsilon>0$ 和不同指标 $n_k$ 使 $|a_{n_k}|\ge\varepsilon$。标准向量列有界，而对 $k\ne l$，

$$\|De_{n_k}-De_{n_l}\|^2 =|a_{n_k}|^2+|a_{n_l}|^2\ge2\varepsilon^2.$$

像没有 Cauchy 子列，违反紧算子的序列刻画。

练习 2：秩一算子的伴随标记完成

所属知识

伴随算子

难度

3/5

固定 $u,v\in H$，令 $Tx=\langle x,v\rangle u$。求 $T^*$，并证明 $T$ 自伴当且仅当 $u,v$ 线性相关且相应比例为实数；包括零向量情形时可改述为 $u\otimes v=v\otimes u$。

查看提示

把内积 ⟨⟨x,v⟩u,y⟩ 改写成 ⟨x,某个向量⟩，注意第二变量共轭线性。

查看解答

由计算 $\langle Tx,y\rangle=\langle x,\langle y,u\rangle v\rangle$，有 $T^*y=\langle y,u\rangle v$。若 $u=0$ 或 $v=0$，两边都是零算子。设二者非零且 $T=T^*$。值域分别为 $\operatorname{span}\{u\}$ 与 $\operatorname{span}\{v\}$，故 $u=cv$。此时

$$Tx=c\langle x,v\rangle v, \qquad T^*x=\overline c\langle x,v\rangle v,$$

所以必须且只需 $c\in\mathbb R$。这也验证了比例的实性不能省略。

练习 3：正交投影的算子性质标记完成

所属知识

自伴与正算子

难度

3/5

设 $M$ 是 Hilbert 空间的闭子空间。证明正交投影 $P_M$ 满足 $P_M^*=P_M$ 且为正算子，并求其谱在 $M\ne\{0\},H$ 时的可能取值。

查看提示

使用 $x=P_M x+(I-P_M)x$ 的正交分解分别计算内积。

查看解答

将 $x=m+m^\perp$、$y=n+n^\perp$ 正交分解，则

$$\langle P_Mx,y\rangle=\langle m,n\rangle =\langle x,P_My\rangle,$$

故 $P_M^*=P_M$。同时 $\langle P_Mx,x\rangle=\langle m,m+m^\perp\rangle=\|m\|^2\ge0$。 $P_M^2=P_M$ 说明谱只能落在多项式 $z(z-1)$ 的零点 $\{0,1\}$。若 $M$ 与 $M^\perp$ 都非零，二者分别提供特征值一和零，故谱恰为 $\{0,1\}$；端点情形 $M=\{0\}$ 或 $M=H$ 分别只剩零或一。

练习 4：弱收敛经紧算子变强收敛标记完成

所属知识

弱收敛

难度

4/5

设 $T:\ell^2\to H$ 紧。证明 $\|Te_n\|\to0$。再说明若只知道 $T$ 有界，结论为何可能失败。

查看提示

先证明 $e_n$ 弱收敛到零，再直接调用紧算子的弱到强定理。

查看解答

对任意 $y=(y_n)\in\ell^2$， $\langle e_n,y\rangle=\overline{y_n}\to0$，所以 $e_n\rightharpoonup0$。紧算子的弱到强连续性给出 $\|Te_n-T0\|=\|Te_n\|\to0$。若 $T=I_{\ell^2}$，它有界但不紧，并且 $\|Te_n\|=1$ 对所有 $n$ 成立，所以有界性不足。

练习 5：非零特征空间必须有限维标记完成

所属知识

紧自伴谱

难度

4/5

设 $T$ 是 Hilbert 空间上的紧算子，不要求自伴。证明任意非零特征值 $\lambda$ 的几何重数有限，即 $\ker(T-\lambda I)$ 有限维。

查看提示

若特征空间无限维，在其中选正交规范序列并观察其像之间的距离。

查看解答

若 $E=\ker(T-\lambda I)$ 无限维，可在 $E$ 中递归选择正交规范序列 $(e_n)$。它有界，而 $Te_n=\lambda e_n$。对 $m\ne n$，

$$\|Te_n-Te_m\|=|\lambda|\|e_n-e_m\| =\sqrt2|\lambda|>0.$$

因此像序列没有 Cauchy 子列，更没有收敛子列，与 $T$ 紧矛盾。这个论证只需要紧性；自伴性用于不同特征值之间的正交等更强结论。

练习 6：谱点零不必是特征值标记完成

所属知识

紧算子谱

难度

4/5

在 $\ell^2$ 上令 $De_n=e_n/n$。证明 $D$ 紧、自伴、单射但不满射，并据此判断零是谱点还是特征值。

查看提示

检查对角权重 1/n；构造一个在 ℓ$^{2}$ 中却没有原像的序列。

查看解答

有限截断 $D_N$ 满足 $\|D-D_N\|=1/(N+1)\to0$，故 $D$ 紧。对角元全为实数，所以 $D=D^*$。若 $Dx=0$，则每个 $x_n/n=0$，故 $x=0$，所以单射。

取 $y=(1/n)\in\ell^2$。若存在 $x\in\ell^2$ 使 $Dx=y$，则每个 $x_n=1$，但常数列不在 $\ell^2$，故 $D$ 不满射。于是 $D$ 不可逆， $0\in\sigma(D)$；同时核为零，所以零不是特征值。

关系、资源与后续学习

• Hilbert 空间、正交投影与对偶 提供 Riesz 表示和正交投影，是定义伴随与构造有限秩逼近的基础。
• 拓扑空间、连续映射与商空间 提供紧致与相对紧致的语言；在赋范空间中可转化为序列判据。
• 线性映射、核、像与矩阵 中的有限维伴随和特征值计算在这里被推广到无限维有界算子。
• 特征值、特征向量与对角化 给出有限维谱直觉，但无限维还会出现非特征值谱点。
• 谱、预解式与谱定理 将证明紧自伴算子的正交特征向量展开，并精确处理核与零谱点。

课程 · 2021

Introduction to Functional Analysis

Casey Rodriguez

用于核对 M16 的完备性假设、基本定理、投影与对偶、紧算子谱性质和紧自伴谱定理。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.102 Introduction to Functional Analysis 的紧算子、伴随和谱理论材料可用于核对本章结论。复习时应把三层命题分开：紧性给像序列的收敛子列；自伴性给谱实性与不同特征值的正交性；紧和自伴共同使非零谱离散。下一章才会把这些局部信息组织为完整谱展开。