赋范空间、Banach 空间与有界算子

从有限坐标走向无限维极限

有限维线性代数主要研究代数运算；只要坐标有限，许多极限问题会被欧氏空间的良好性质自动解决。泛函分析面对的对象却常是一整条函数或无限序列。此时“向量有多大”“近似是否收敛”“极限是否仍留在空间里”都必须写进结构。范数回答大小，完备性保证 Cauchy 近似不会逃离空间，有界线性算子则是在这些空间之间稳定传递误差的线性映射。

范数、Cauchy 列与 Banach 空间

设 $X$ 是实或复向量空间。映射 $\|\cdot\|:X\to[0,\infty)$ 若对任意 $x,y\in X$ 和标量 $\alpha$ 满足

$$\|x\|=0\Longleftrightarrow x=0, \qquad \|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|, \qquad \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|,$$

就称为范数，$(X,\|\cdot\|)$ 称为赋范空间。由 $d(x,y)=\|x-y\|$ 得到距离。序列 $(x_n)$ 若对每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $N$，使 $m,n\ge N$ 时 $\|x_m-x_n\|<\varepsilon$，就称为 Cauchy 列。若 $X$ 中每个 Cauchy 列都在 $X$ 中收敛，则称 $X$ 为 Banach 空间。

完备性不是“序列有界”或“空间闭合”的口头说法，而是相对于指定范数的性质。同一向量空间换范数后，Cauchy 列可能改变，完备性也可能改变。三角不等式还给出反三角不等式

所以范数函数自身连续：若 $x_n\to x$，则 $\|x_n\|\to\|x\|$。

例 1：多项式在上确界范数下不完备

令 $P[0,1]$ 为 $[0,1]$ 上实多项式组成的空间，取 $\|p\|_\infty=\max_{0\le t\le1}|p(t)|$。函数 $e^t$ 的幂级数部分和

$$p_n(t)=\sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}$$

满足对 $m>n$

$$\|p_m-p_n\|_\infty \le\sum_{k=n+1}^{m}\frac1{k!} \le\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac1{k!}\longrightarrow0.$$

因此 $(p_n)$ 是 $P[0,1]$ 中的 Cauchy 列，并且一致收敛到 $e^t$。若它在 $P[0,1]$ 中收敛到某个多项式 $p$，极限唯一性迫使 $p(t)=e^t$；但 $e^t$ 不是多项式，矛盾。故该空间不完备。把它完备化会得到 $C([0,1])$，而不是另一个有限次数多项式空间。

典型空间与元素身份

对 $1\le p<\infty$，定义

而 $\ell^\infty$ 由全部有界序列组成，范数为 $\|x\|_\infty=\sup_k|x_k|$。Minkowski 不等式保证 $\ell^p$ 的三角不等式；这些空间全部完备。连续函数空间 $C([a,b])$ 配上上确界范数也是 Banach 空间：若 $(f_n)$ 在上确界范数下 Cauchy，则逐点极限 $f$ 存在，而且 Cauchy 条件直接给出 $f_n\to f$ 一致；一致极限保持连续，所以 $f$ 仍在空间内。

Lebesgue 空间 $L^p(\Omega)$ 的“元素”不是单个函数，而是几乎处处相等函数的等价类。只有取等价类后，$\|f\|_p=0$ 才能推出该元素为零；若保留逐点函数，非零但只在零测集上取值的函数会破坏正定性。对适当测度空间，$L^p$ 在 $1\le p\le\infty$ 时是 Banach 空间。这里不能把 $\ell^p$ 的求和证明机械改成积分；完备性依赖测度论中的几乎处处收敛和可积控制。

例 2：证明 ℓ∞ 完备

设 $(x^{(n)})$ 是 $\ell^\infty$ 中的 Cauchy 列，其中 $x^{(n)}=(x_k^{(n)})_{k\ge1}$。给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $m,n\ge N$ 时

$$\sup_k|x_k^{(m)}-x_k^{(n)}|<\varepsilon.$$

固定 $k$ 后，标量列 $(x_k^{(n)})_n$ 是 Cauchy 列，故存在极限 $x_k$。令 $m\to\infty$，上式给出 $|x_k-x_k^{(n)}|\le\varepsilon$，且对所有 $k$ 同时成立，于是 $\|x-x^{(n)}\|_\infty\le\varepsilon$。还需确认 $x$ 有界：固定 $n=N$，有

$$|x_k|\le |x_k-x_k^{(N)}|+|x_k^{(N)}| \le\varepsilon+\|x^{(N)}\|_\infty,$$

故 $x\in\ell^\infty$，并且 $x^{(n)}\to x$。证明的关键是 Cauchy 估计对全部坐标一致，逐坐标收敛本身并不足够。

等价范数的有限维边界

两个范数 $\|\cdot\|_a,\|\cdot\|_b$ 若存在常数 $c,C>0$ 使

就称为等价范数。它们产生相同的收敛列、Cauchy 列、开集和连续映射，因此其中一个完备当且仅当另一个完备。

有限维空间上的范数等价

有限维实或复向量空间上的任意两个范数都等价。

证明

选一组基，把空间识别为标量域上的 $\mathbb K^d$，以欧氏范数记为 $|\cdot|_2$。对任意范数 $N$，若 $x=\sum_jx_je_j$，三角不等式与 Cauchy–Schwarz 不等式给出

$$N(x)\le\sum_j|x_j|N(e_j) \le C|x|_2,$$

故 $N$ 关于欧氏范数连续。在欧氏单位球面 $S=\{x:|x|_2=1\}$ 上，连续函数 $N$ 取得最小值 $m$。正定性使每点的值为正，而紧致性使最小值实际取得，因此 $m>0$。对 $x\ne0$，把 $x/|x|_2$ 代入得 $N(x)\ge m|x|_2$。于是 $N$ 与欧氏范数等价，两个任意范数再经欧氏范数比较即可。证明中球面的紧致性正是有限维入口。

无限维时结论失败。在 $\ell^1$ 上总有 $\|x\|_\infty\le\|x\|_1$，但不存在统一 $C$ 使 $\|x\|_1\le C\|x\|_\infty$。取前 $n$ 项均为 $1$、其余为零的序列 $u^{(n)}$，则 $\|u^{(n)}\|_1=n$ 而 $\|u^{(n)}\|_\infty=1$。注意 $\|\cdot\|_\infty$ 在 $\ell^1$ 上仍是范数；失败的是双向常数比较，不能据此把有限维直觉推广到无限维。

闭子空间、商空间与完备性

Banach 空间中的完备子空间判据

设 $X$ 是 Banach 空间，线性子空间 $M\subseteq X$ 配限制范数。则 $M$ 完备当且仅当 $M$ 在 $X$ 中闭。

证明

若 $M$ 闭而 $(m_n)$ 在 $M$ 中 Cauchy，它也在 $X$ 中 Cauchy。$X$ 完备给出 $m_n\to x\in X$，闭性再给出 $x\in M$，故 $M$ 完备。反过来，若 $M$ 完备且 $m_n\in M$ 在 $X$ 中收敛到 $x$，则 $(m_n)$ 在 $M$ 中 Cauchy，于是存在 $m\in M$ 使其在限制范数下收敛到 $m$。$X$ 中极限唯一，所以 $x=m\in M$；故 $M$ 包含自身所有极限点，是闭集。

若 $M$ 是 $X$ 的闭线性子空间，可在商向量空间 $X/M$ 上定义

这表示陪集到子空间的距离。闭性保证范数非退化：若下确界为零，就有 $M$ 中序列趋近 $x$，从而 $x\in M$、陪集为零。若 $X$ Banach 且 $M$ 闭，则 $X/M$ 也是 Banach。没有闭性时公式只给半范数。例如 $c_{00}$ 是 $\ell^2$ 中有限支撑序列的子空间，它稠密但不闭；任意 $x\in\ell^2$ 都可由截断序列逼近，所以每个陪集到 $c_{00}$ 的距离都是零，商上的“范数”完全失去区分能力。

有界线性算子就是连续线性算子

有界线性算子与算子范数

设 $X,Y$ 为赋范空间，线性映射 $T:X\to Y$ 若存在 $C\ge0$ 使

$$\|Tx\|_Y\le C\|x\|_X \quad\text{对所有 }x\in X,$$

就称为有界线性算子。其算子范数为

$$\|T\|=\sup_{\|x\|_X\le1}\|Tx\|_Y =\sup_{x\ne0}\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}.$$

这里“有界”不是说 $T(X)$ 是有界集；除零算子外，线性算子的整个像不会有界。它表示单位球的像有界，等价地表示误差至多被固定倍数放大。

线性算子的有界性与连续性等价

对线性映射 $T:X\to Y$，下列条件等价：$T$ 有界；$T$ 在零点连续；$T$ 在某一点连续；$T$ 处处连续；$\|T\|<\infty$。

证明

有界时 $\|Tx-Ty\|=\|T(x-y)\|\le\|T\|\,\|x-y\|$，故 $T$ 处处 Lipschitz 连续。处处连续显然推出在某点连续。若 $T$ 在 $x_0$ 连续，则由 $T(x_0+h)-T(x_0)=Th$ 得 $T$ 在零点连续。反过来，零点连续意味着存在 $\delta>0$，使 $\|x\|<\delta$ 时 $\|Tx\|<1$。对任意非零 $x$，令 $u=\delta x/(2\|x\|)$，则 $\|u\|=\delta/2$，所以 $\|Tu\|<1$；由齐次性

$$\|Tx\|=\frac{2\|x\|}{\delta}\|Tu\| \le\frac2\delta\|x\|.$$

故 $T$ 有界。有界常数的最小上界正是算子范数，因此有界与算子范数有限等价。

例 3：积分算子的范数

定义 $T:C([0,1])\to C([0,1])$，

$$(Tf)(x)=\int_0^x f(t)\,dt,$$

两端都取上确界范数。对每个 $x\in[0,1]$，

$$|(Tf)(x)|\le x\|f\|_\infty\le\|f\|_\infty,$$

故 $\|T\|\le1$。取常函数 $f\equiv1$，有 $\|f\|_\infty=1$ 且 $\|Tf\|_\infty=\max_{0\le x\le1}x=1$，所以 $\|T\|=1$。只给上界还没有算出算子范数；必须再构造达到或任意逼近该上界的单位向量。

误区与思考实验

常见错误是把所有有限维事实都视为“范数的显然性质”。有限维中线性映射自动连续、闭有界集紧、任意范数等价；无限维中三者都可能失败。另一个误区是说“子空间继承 Banach 性”：它只继承范数，只有闭子空间才继承完备性。商空间也必须除以闭子空间，才能得到真正的范数。

可以比较同一函数空间的两种观察尺度。在 $C([0,1])$ 上，上确界范数控制每一点，因而 Cauchy 列的一致极限仍连续；积分范数 $\|f\|_1=\int_0^1|f|$ 允许尖峰变得越来越窄，即使积分误差趋零，逐点形状也可能剧烈变化。把“距离很小”改写后，允许的近似过程也随之改变。这说明选择范数不是装饰，而是在声明问题认为什么叫稳定。

练习

练习 1：验证一种有限维范数标记完成

所属知识

范数公理

难度

2/5

在 $\mathbb R^3$ 上定义 $N(x)=|x_1|+2|x_2|+3|x_3|$。证明 $N$ 是范数，并给出它与 $\|x\|_\infty$ 的双向比较常数。

查看提示

正定性和齐次性直接计算；三角不等式逐坐标使用实数三角不等式。

查看解答

$N(x)\ge0$，且 $N(x)=0$ 当且仅当三个坐标全为零；同时 $N(\alpha x)=|\alpha|N(x)$。逐坐标使用 $|x_j+y_j|\le|x_j|+|y_j|$ 后乘相应权重并求和，得到三角不等式。又有

$$N(x)\le(1+2+3)\|x\|_\infty=6\|x\|_\infty.$$

若绝对值最大的坐标是第 $j$ 个，其权重至少为 $1$，故 $N(x)\ge\|x\|_\infty$。因此 $\|x\|_\infty\le N(x)\le6\|x\|_\infty$。

练习 2：趋零序列空间标记完成

所属知识

闭子空间

难度

3/5

令 $c_0=\{x\in\ell^\infty:x_k\to0\}$。证明 $c_0$ 是 $\ell^\infty$ 的闭线性子空间，从而是 Banach 空间。

查看提示

把 c0 看作 ℓ$\infty$ 的线性子空间；对上确界范数极限，先让近似序列的尾部小，再控制两序列的统一误差。

查看解答

线性封闭由极限的线性运算得到。设 $x^{(n)}\in c_0$ 且 $\|x^{(n)}-x\|_\infty\to0$。给定 $\varepsilon>0$，先取 $n$ 使 $\|x^{(n)}-x\|_\infty<\varepsilon/2$；再因 $x^{(n)}\in c_0$，取 $K$ 使 $k\ge K$ 时 $|x_k^{(n)}|<\varepsilon/2$。于是

$$|x_k|\le|x_k-x_k^{(n)}|+|x_k^{(n)}|<\varepsilon,$$

故 $x_k\to0$，即 $x\in c_0$。所以 $c_0$ 闭；由 $\ell^\infty$ 完备和闭子空间判据，$c_0$ 完备。

练习 3：无限维中的非等价范数标记完成

所属知识

等价范数

难度

3/5

在 $c_{00}$ 上比较 $\|x\|_1$ 与 $\|x\|_2$。证明它们不等价。

查看提示

使用前 n 项取同一非零值、其余为零的有限支撑序列，让两个范数的比值随 n 增长。

查看解答

总有 $\|x\|_2\le\|x\|_1$。若两范数等价，还应存在 $C>0$ 使 $\|x\|_1\le C\|x\|_2$。令 $u^{(n)}=(1,\ldots,1,0,\ldots)$，其中前 $n$ 项为一，则

$$\|u^{(n)}\|_1=n, \qquad \|u^{(n)}\|_2=\sqrt n.$$

假设中的不等式要求 $\sqrt n\le C$ 对所有 $n$ 成立，不可能。因此不存在双向统一常数，两范数不等价。

练习 4：泛函的核与一维商标记完成

所属知识

商空间

难度

4/5

设 $X$ 为 Banach 空间，$f:X\to\mathbb K$ 是非零有界线性泛函。证明 $\ker f$ 闭，并说明 $X/\ker f$ 与标量域线性同构。

查看提示

先用连续性证明核闭；再由第一同构思想考察映射 $x+\ker f\mapsto f(x)$。

查看解答

因为 $f$ 连续且 $\{0\}$ 在 $\mathbb K$ 中闭， $\ker f=f^{-1}(\{0\})$ 闭。定义 $\Phi:X/\ker f\to\mathbb K$ 为 $\Phi(x+\ker f)=f(x)$。若两个代表元相差核中元素，它们的 $f$ 值相同，所以定义良好。映射线性，核只有零陪集，故单射；因 $f$ 非零，取 $x_0$ 使 $f(x_0)\ne0$，对任意标量 $a$，向量 $a x_0/f(x_0)$ 映到 $a$，故满射。于是商空间是一维的，并与 $\mathbb K$ 线性同构。

练习 5：一个矩阵算子的范数标记完成

所属知识

有界算子

难度

3/5

令 $A=(a_{ij})$ 定义 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，$Tx=Ax$，两端均取无穷范数。证明

$$\|T\|=\max_{1\le i\le m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|.$$

查看提示

在定义域和值域都使用无穷范数；先估计每一行，再选符号使某一行达到行绝对值和。

查看解答

对 $\|x\|_\infty\le1$，每个坐标满足

$$|(Ax)_i|\le\sum_j|a_{ij}|\,|x_j| \le\sum_j|a_{ij}|,$$

故算子范数不超过最大行绝对值和。取达到最大值的行 $i_0$，令 $x_j=1$ 当 $a_{i_0j}\ge0$，令 $x_j=-1$ 当 $a_{i_0j}<0$。则 $\|x\|_\infty=1$ 且 $(Ax)_{i_0}=\sum_j|a_{i_0j}|$，所以上界达到，等式成立。

练习 6：微分算子为何不有界标记完成

所属知识

有界算子

难度

4/5

把 $C^1([0,1])$ 仅配上函数的上确界范数，考虑 $D:C^1([0,1])\to C([0,1])$，$Df=f'$。证明 $D$ 不是有界算子，并说明这不与有限维线性映射自动连续矛盾。

查看提示

选振幅很小但振荡频率很高的光滑函数，使函数上确界趋零而导数上确界保持不变。

查看解答

令 $f_n(x)=\sin(nx)/n$。则 $\|f_n\|_\infty\le1/n$，而 $Df_n(x)=\cos(nx)$，所以 $\|Df_n\|_\infty=1$。若存在 $C$ 使 $\|Df\|_\infty\le C\|f\|_\infty$，代入 $f_n$ 得 $1\le C/n$ 对所有 $n$ 成立，矛盾。因此 $D$ 不有界。空间 $C^1([0,1])$ 是无限维的；“线性映射自动连续”只对有限维定义域成立，所以没有矛盾。

概念连接与后续学习

• 向量空间 提供线性组合、子空间、商空间和线性映射的代数骨架；范数在其上增加极限结构。
• 实数完备性、紧致性与连续性 提供 Cauchy 完备和闭集语言，也显示闭有界推出紧致只在有限维中可靠。
• Lp 空间与乘积测度 说明函数等价类、积分范数与 $L^p$ 完备性的测度论背景。
• Hahn–Banach、开映射与一致有界原理 将用 Banach 完备性推出连续泛函延拓和算子族的全局控制。
• Hilbert 空间、正交投影与对偶 将把范数进一步限制为由内积诱导，从而获得正交、投影和 Riesz 表示。

课程 · 2021

Introduction to Functional Analysis

Casey Rodriguez

用于核对 M16 的完备性假设、基本定理、投影与对偶、紧算子谱性质和紧自伴谱定理。

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MIT OpenCourseWare 18.102 Introduction to Functional Analysis 的课程材料覆盖赋范空间、Banach 空间、有界线性算子与基本定理，可用于核对定义、假设和标准证明。阅读时应记录每个空间采用的范数，并确认元素究竟是点值函数、序列还是几乎处处等价类；省略这些信息会让完备性与连续性陈述失去确定含义。

本章用范数把误差数量化，用完备性保证极限留在空间内。有限维中任意范数等价，证明依赖单位球面的紧致性；无限维中该结论失效。Banach 空间的闭子空间仍完备，闭子空间的商也完备，而有界线性算子正好等同于连续线性算子。下一章将看到：一旦定义域和值域具备这些完备性，逐点成立或纯代数形式的条件可以经 Baire 范畴方法升级为统一的定量结论。