M15 · 第 2 章 · 第一编点集拓扑

紧致性、连通性与分离公理

以开覆盖定义紧致性并证明连续像保持紧致、Hausdorff 空间中的紧集闭；以分离和闭开集刻画连通性，严格区分连通与道路连通，再比较 T1、Hausdorff、正则和正规公理及其反例。

难度 5/5约 138 分钟最近修订 2026-07-14

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预备知识拓扑空间、基与连续映射实数完备性、紧致性与连续性

本章目标

从任意开覆盖中提取有限子覆盖，并构造开覆盖证明给定空间不紧致。
证明紧致性的连续像保持性，以及 Hausdorff 空间中紧子集必闭。
使用分离或非平凡闭开集判断连通性，并证明连续像保持连通。
证明道路连通蕴含连通，并用拓扑学正弦曲线说明逆命题失败。
准确区分 T1、Hausdorff、正则与正规条件，识别各层反例和附加 T1 约定。

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本页目录

局部开集怎样约束全局结构

拓扑公理描述每个点附近有哪些开集，却没有直接说明整个空间是否能由有限信息控制，也没有说明空间能否裂成彼此隔开的两块。紧致性把任意开覆盖压缩为有限子覆盖；连通性排除非平凡分离；分离公理则规定不同点或闭集能被开邻域区分到什么程度。三类性质相互作用：连续映射保持紧致与连通，Hausdorff 条件又保证紧子集自动闭。

紧致性是“每个覆盖都有有限证书”

开覆盖、子覆盖与紧致空间

若开集族 $\mathcal U=\{U_i:i\in I\}$ 满足 $X=\bigcup_{i\in I}U_i$ ，则称它是 $X$ 的开覆盖。若存在有限指标 $i_1,\ldots,i_n$ 仍使

X=U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_n},

则称这些成员构成有限子覆盖。若 $X$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖，就称 $X$ 紧致。子集 $K\subseteq X$ 紧致，是指它配子空间拓扑后紧致；等价地，每个由 $X$ 中开集覆盖 $K$ 的族都有有限成员仍覆盖 $K$ 。

有限集合在任意拓扑下都紧致：对每个点从覆盖中选一个成员即可。无限集合是否紧致不能由“大小”判断。例如离散无限空间由全部单点集覆盖且无有限子覆盖，所以不紧致；无限余有限空间却紧致。

例 1：用上确界证明闭区间紧致

设 $\mathcal U$ 是 $[a,b]$ 的任意开覆盖。定义

S=\{x\in[a,b]:[a,x]\text{ 可被 }\mathcal U\text{ 的有限成员覆盖}\}.

取一个包含 $a$ 的覆盖成员，它在子空间中含 $[a,a+\varepsilon)$ ，故 $S$ 非空； $S\subseteq[a,b]$ ，所以 $c=\sup S$ 存在。若 $c<b$ ，选 $U\in\mathcal U$ 包含 $c$ 。开性给出 $\varepsilon>0$ ，使 $(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\cap[a,b]\subseteq U$ 。由上确界性质，可取 $x\in S$ 且 $c-\varepsilon<x\le c$ 。覆盖 $[a,x]$ 的有限成员再加上 $U$ ，就覆盖到某个大于 $c$ 的点，和 $c$ 是上界矛盾。因此 $c=b$ 。

还需核对端点确实被有限覆盖。取包含 $b$ 的 $V\in\mathcal U$ ，选 $\delta>0$ 使 $(b-\delta,b]\subseteq V$ 。由 $\sup S=b$ ，存在 $x\in S$ 且 $x>b-\delta$ ；覆盖 $[a,x]$ 的有限成员连同 $V$ 覆盖 $[a,b]$ 。所以闭区间紧致。证明同时说明完备性怎样通过上确界转化为有限覆盖结论。

相反， $(0,1)$ 不紧致。开集 $U_n=(1/n,1)$ （ $n\ge2$ ）覆盖 $(0,1)$ ，但任取有限多个，其并等于其中最大者 $(1/N,1)$ ，仍漏掉 $(0,1/N]$ 中的点。一个失败的覆盖就足以否定紧致；证明紧致则必须处理所有开覆盖。

紧致空间的连续像紧致

若 $f:X\to Y$ 连续且 $X$ 紧致，则 $f(X)$ 在 $Y$ 中紧致。

证明

取 $f(X)$ 的任意开覆盖 $\{V_i\}_{i\in I}$ 。连续性使 $\{f^{-1}(V_i)\}_{i\in I}$ 成为 $X$ 的开覆盖。由紧致性选出有限个原像覆盖 $X$ ，对应的有限个 $V_i$ 就覆盖 $f(X)$ 。证明只使用逆像，不要求 $f$ 为单射、满射或开映射。

闭子集 $F$ 在紧空间 $X$ 中也紧：给 $F$ 的开覆盖添加开集 $X\setminus F$ ，得到 $X$ 的覆盖，再从有限子覆盖中删去新增成员。反方向“紧子集必闭”需要分离条件，任意拓扑空间中不成立。

Hausdorff 条件让紧集与极限可辨认

T1、Hausdorff、正则与正规

设 $X$ 为拓扑空间。

$X$ 满足 T1，若对任意不同点 $x,y$ ，分别存在含 $x$ 不含 $y$ 、含 $y$ 不含 $x$ 的开集；等价地，每个单点集闭。
$X$ 是 Hausdorff（T2），若不同点 $x,y$ 有互不相交的开邻域。
$X$ 具有正则分离性质，若点 $x$ 与不含它的闭集 $F$ 可由互不相交的开集分别包住。本文把“正则且 T1”称为 T3 空间。
$X$ 具有正规分离性质，若任意两个不交闭集可由互不相交的开集分别包住。本文把“正规且 T1”称为 T4 空间。

“正则”“正规”在不同教材中是否自带 T1 条件并不统一，所以每次应用都应声明约定。在上述约定下有

\mathrm{T4}\Longrightarrow\mathrm{T3}\Longrightarrow \mathrm{T2}\Longrightarrow\mathrm{T1}.

第一步用单点闭把“点与闭集”化成“两闭集”；第二步用单点闭把另一点当作闭集；第三步由不交邻域直接得到各自排除对方的邻域。逆向蕴含一般都失败。

Hausdorff 空间中的紧子集闭

若 $X$ 是 Hausdorff 空间且 $K\subseteq X$ 紧致，则 $K$ 在 $X$ 中闭。

证明

固定 $x\in X\setminus K$ 。对每个 $k\in K$ ，Hausdorff 性给出不交开集 $U_k\ni k$ 与 $V_k\ni x$ 。族 $\{U_k:k\in K\}$ 覆盖 $K$ ；紧致性给出有限子覆盖 $U_{k_1},\ldots,U_{k_n}$ 。令

V=V_{k_1}\cap\cdots\cap V_{k_n}.

$V$ 是 $x$ 的开邻域，并与覆盖 $K$ 的 $U_{k_1}\cup\cdots\cup U_{k_n}$ 不交，所以 $V\cap K=\varnothing$ 。每个 $K$ 外点都有这样的邻域，故 $X\setminus K$ 开， $K$ 闭。

由此立刻得到实用判据：若 $f:K\to Y$ 是从紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射，则 $f$ 是同胚。因为 $K$ 的闭集仍紧，其像由连续性紧，再由 $Y$ Hausdorff 而闭，所以 $f$ 是闭映射，逆映射连续。

连通性排除闭开的切割

连通、分离与道路连通

若存在非空开集 $U,V\subseteq X$ 满足

X=U\cup V, \qquad U\cap V=\varnothing,

则称 $(U,V)$ 是 $X$ 的一个分离。不存在分离时称 $X$ 连通。等价地， $X$ 唯一既开又闭的子集是 $\varnothing$ 与 $X$ 。

若任意 $x,y\in X$ 都存在连续映射 $\gamma:[0,1]\to X$ 满足 $\gamma(0)=x$ 、 $\gamma(1)=y$ ，则称 $X$ 道路连通， $\gamma$ 称为从 $x$ 到 $y$ 的道路。

若 $f:X\to Y$ 连续且 $X$ 连通，则 $f(X)$ 连通。否则 $f(X)$ 有分离 $A\cup B$ ，其在 $X$ 中的原像是两个不交非空开集并覆盖 $X$ ，构成矛盾。取 $Y=\mathbb R$ ，便得到中间值性质：连通空间上的连续实函数若取到 $a<b$ ，就取到二者之间每个值。

例 2：实数区间连通

设区间 $I\subseteq\mathbb R$ 不连通，存在分离 $I=A\cup B$ 。取 $a\in A$ 、 $b\in B$ ，不妨 $a<b$ 。令

c=\sup\bigl(A\cap[a,b]\bigr).

因为 $I$ 是区间， $c\in[a,b]\subseteq I$ 。若 $c\in A$ ，则 $A$ 在 $I$ 中开，存在 $\varepsilon>0$ 使 $(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\cap I\subseteq A$ ；除非 $c=b$ ，这给出大于 $c$ 的 $A$ 中点，与上确界矛盾，而 $c=b$ 又与 $b\in B$ 矛盾。若 $c\in B$ ， $B$ 的相对开性给出 $c$ 左侧一段属于 $B$ ；上确界性质却保证任意靠近 $c$ 的左侧都有 $A$ 中点，也矛盾。故分离不存在， $I$ 连通。

若 $X$ 道路连通而有分离 $U,V$ ，取两侧点 $x\in U$ 、 $y\in V$ 。连接它们的道路把连通区间 $[0,1]$ 连续映到 $X$ ，其像应连通，却同时碰到 $U,V$ ，矛盾。因此道路连通必蕴含连通。

逆命题不成立，原因是“不能分成两个开块”并不保证存在一条连续参数曲线穿过所有局部振荡。

例 3：连通但不道路连通的拓扑学正弦曲线

令

G=\{(x,\sin(1/x)):0<x\le1\}, \qquad S=G\cup\bigl(\{0\}\times[-1,1]\bigr).

映射 $x\mapsto(x,\sin(1/x))$ 是从连通区间 $(0,1]$ 到平面的连续映射，所以 $G$ 连通。 $S$ 恰是 $G$ 的闭包，而连通集的闭包仍连通：若闭包有分离，两个相对开块都会与稠密子集 $G$ 相交，从而把 $G$ 分离。故 $S$ 连通。

但 $S$ 不道路连通。若有道路从竖线上的点到 $G$ 中一点，取道路横坐标首次进入某个正坐标连通区间的左端参数 $t_0$ 。当 $t\downarrow t_0$ 时，横坐标 $x(t)>0$ 且趋于零，于是连续函数 $1/x(t)$ 无界。它在每个足够短的参数区间上的像是无界区间，因而依次取到 $\pi/2+2k\pi$ 与 $3\pi/2+2k\pi$ 。相应纵坐标在任意靠近 $t_0$ 处交替取 $1$ 与 $-1$ ，不可能在 $t_0$ 连续。矛盾说明不存在跨越竖线与振荡图像的道路。

一个空间同时检验紧致、连通和分离层级

例 4：无限余有限空间是紧致连通的 T1 非 Hausdorff 空间

设无限集合 $X$ 配余有限拓扑。它满足 T1，因为单点集闭。任意两个非空开集必相交：若 $U,V$ 不交，则 $X=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ 是两个有限集的并，迫使 $X$ 有限。因此它不 Hausdorff，也不可能被两个非空开集分离，所以连通。

再取任意开覆盖，选一个非空成员 $U$ 。其补集 $X\setminus U=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 有限；对每个 $x_j$ 再从覆盖中选一个包含它的成员。连同 $U$ 共有限个开集便覆盖 $X$ ，故 $X$ 紧致。

这个例子也证明“紧子集必闭”不能删去 Hausdorff 条件： $X$ 的任意子集若配子空间余有限拓扑仍可有紧致现象，而空间中不是每个子集都闭。更直接地，不可分空间的任意子集作为有限或无限子空间都紧致，但非空真子集通常不闭。

分离层级的其他逆命题也有标准反例。令 $K=\{1/n:n\in\mathbb N\}$ ，在 $\mathbb R$ 上取由普通开区间与 $(a,b)\setminus K$ 共同生成的 K 拓扑。它比标准拓扑细，故仍 Hausdorff； $K$ 在该拓扑中闭，但点 $0$ 与 $K$ 不能由不交开集分离： $0$ 的任意基本邻域包含某个 $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ ，而包含足够小 $1/n$ 的开邻域必须含普通区间，二者必在非 $K$ 点处相交。因此它不是正则空间。另一方面，下限拓扑直线（基为 $[a,b)$ ）本身是正则的，但它与自身的积，即 Sorgenfrey 平面，不正规。这些反例说明分离公理之间的箭头需要证明，不能靠“开集很多”直觉倒置。

度量空间则都是正规 Hausdorff 空间。对不交闭集 $A,B$ ，距离函数 $d(x,A)$ 与 $d(x,B)$ 连续，开集

U=\{x:d(x,A)<d(x,B)\}, \qquad V=\{x:d(x,B)<d(x,A)\}

分别包含 $A,B$ 且互不相交。这里闭性保证 $x\in A$ 时 $d(x,B)>0$ 。因此欧氏空间中的许多分离步骤看似自动，是因为距离已经提供了额外结构。

练习

练习 1：构造无有限子覆盖

所属知识: 紧致性
难度: 2/5

证明 $(0,1]$ 在实数标准拓扑中不紧致。

查看提示

让覆盖成员逐步逼近缺失端点零；有限选择只会留下一个正的最小左端点。

查看解答

令 $U_n=(1/n,2)$ ， $n\ge2$ 。对任意 $x\in(0,1]$ ，取 $n>1/x$ ，则 $x>1/n$ ，所以 $(U_n)$ 覆盖 $(0,1]$ 。任取有限多个成员，设最大下标为 $N$ ，它们的并为 $(1/N,2)$ ，仍漏掉 $1/(N+1)\in(0,1]$ 。故无有限子覆盖，空间不紧致。

练习 2：紧空间的闭子集紧

所属知识: 紧致性
难度: 3/5

设 $X$ 紧致， $F\subseteq X$ 闭。证明 $F$ 紧致。

查看提示

给闭子集的开覆盖补上其开补集，把它扩张为空间的开覆盖。

查看解答

设 $\{U_i\}$ 是 $F$ 的开覆盖。加入开集 $X\setminus F$ 后得到 $X$ 的开覆盖。由 $X$ 紧致，可选有限子覆盖。若其中含 $X\setminus F$ ，删去它；剩余有限个 $U_i$ 仍覆盖 $F$ 。因此 $F$ 紧致。闭性只用于保证新增的补集是开集。

练习 3：紧到 Hausdorff 的连续双射

所属知识: 紧致与分离
难度: 4/5

设 $K$ 紧致， $Y$ Hausdorff，连续双射 $f:K\to Y$ 。证明 $f$ 是同胚。

查看提示

证明定义域闭集的像先紧致、再闭，从而原映射是闭映射。

查看解答

任取闭集 $F\subseteq K$ 。由紧空间的闭子集紧， $F$ 紧；连续像 $f(F)$ 紧；因 $Y$ Hausdorff， $f(F)$ 闭。因此 $f$ 是闭映射。对任意闭集 $F\subseteq K$ ，有 $(f^{-1})^{-1}(F)=f(F)$ 闭，故逆映射 $f^{-1}:Y\to K$ 连续。于是 $f$ 与其逆都连续，是同胚。

练习 4：用闭开集刻画连通

所属知识: 连通性
难度: 3/5

证明空间 $X$ 连通当且仅当它没有除 $\varnothing,X$ 外的既开又闭子集。

查看提示

分离中的每一块都是另一块的补集；反过来把非平凡闭开集与其补集配对。

查看解答

若 $X=U\cup V$ 是分离，则 $U,V$ 非空且开，并有 $V=X\setminus U$ ，故 $U$ 也闭，是非平凡闭开集。反过来，若 $A$ 非空、不是全集且既开又闭，则 $X\setminus A$ 非空且开， $A$ 与其补集不交并覆盖 $X$ ，构成分离。因此两种表述等价。

练习 5：道路连通的连续像

所属知识: 道路连通
难度: 3/5

设 $X$ 道路连通， $f:X\to Y$ 连续。证明 $f(X)$ 道路连通，并据此再次推出它连通。

查看提示

先在定义域连接两个像点的原像，再与给定连续映射复合。

查看解答

任取 $y_0,y_1\in f(X)$ ，选 $x_0,x_1\in X$ 使 $f(x_i)=y_i$ 。由道路连通性，存在连续 $\gamma:[0,1]\to X$ 连接 $x_0,x_1$ 。复合 $f\circ\gamma$ 连续，端点为 $y_0,y_1$ ，且像落在 $f(X)$ ，所以 $f(X)$ 道路连通。道路连通空间连通，故 $f(X)$ 连通；这比一般的“连通连续像连通”在有道路时给出更强结论。

练习 6：K 拓扑为何不正则

所属知识: 分离公理
难度: 5/5

令 $K=\{1/n:n\in\mathbb N\}$ ， $\mathbb R_K$ 的基由普通开区间和 $(a,b)\setminus K$ 组成。证明 $\mathbb R_K$ 是 Hausdorff，但点 $0$ 与闭集 $K$ 不能被不交开集分离。

查看提示

先证 K 闭；再观察含 1/n 的基本邻域不能删去 K，而 0 的删 K 邻域仍含任意靠近 1/n 的非 K 点。

查看解答

标准开区间都在基中，所以新拓扑比标准拓扑细；标准实数空间能用不交区间分离不同点，故 $\mathbb R_K$ 仍 Hausdorff。集合 $\mathbb R\setminus K$ 是所有 $(a,b)\setminus K$ 的并，因而开，所以 $K$ 闭。

设开集 $U\ni0$ 、 $V\supseteq K$ 。 $U$ 含某个基本邻域，可缩小为 $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ 。取 $n$ 足够大使 $1/n<\varepsilon/2$ 。因为 $1/n\in V$ ，而删去 $K$ 的基元素不可能包含 $1/n$ ，所以存在普通区间 $(a,b)$ 满足 $1/n\in(a,b)\subseteq V$ 。该区间含有不同于任何 $1/m$ 且仍落在 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ 的实数 $z$ ，于是 $z\in U\cap V$ 。任意这样的 $U,V$ 都相交，故点与闭集不能分离，空间不具正则分离性质。

概念连接与后续学习

拓扑空间、基与连续映射提供开集、闭集、子空间和连续像语言，是本章所有定义与保持定理的直接前提。
实数完备性、紧致性与连续性给出上确界和度量空间中的序列紧致背景；本章把结论改写成不依赖距离的开覆盖形式。
极限与连续实函数的中间值和极值结论分别由连通像、紧致像统一解释。
流形、坐标图与切空间将把 Hausdorff、局部欧氏和可数性条件组合成流形的拓扑底座。
证明策略上确界法、反证法和反例构造分别用于有限子覆盖、连通保持和分离层级边界。

课程 · 2004

Introduction to Topology

James Munkres

用于核对 M15 点集拓扑部分的定义、保持性质、分离条件、反例与练习。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.901 Introduction to Topology 的课程材料系统覆盖连通性、紧致性与分离公理，可用于核对开覆盖证明、保持性质和标准反例。使用外部定理时要保留条件：紧子集闭需要 Hausdorff；道路连通严格强于连通；正则、正规是否包含 T1 取决于教材约定。

本章用有限子覆盖把全局控制编码为紧致性，用不存在分离刻画连通性，并以道路说明一种更强的可达性。T1、Hausdorff、正则和正规逐级增强可分辨能力，但余有限空间、K 拓扑和 Sorgenfrey 平面表明逆箭头不能随意添加。下一章将以 Hausdorff、第二可数和局部欧氏为前提，把拓扑空间组织成流形，并用坐标图把局部连续结构提升为可微结构。