术语从定义进入关系。

对光滑映射 $F:M\to N$ ，定义 $\mathrm dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N, \qquad \mathrm dF_p([\gamma]_p)=[F\circ\gamma]_{F(p)}.$ 若在 $p$ 与 $F(p)$ 附近分别选坐标 $x$ 、 $y$ ，则 $\mathrm dF_p$ 的矩阵就是坐标表示 $y\circ F\circ x^{-1}$ 在 $x(p)$ 处的 Jacobian。对 $G:N\to P$ 有链式法则 $\mathrm d(G\circ F)_p =\mathrm dG_{F(p)}\circ\mathrm dF_p.$

由 Lagrangian 构造对偶函数，理解弱对偶、强对偶和对偶间隙。

从决策变量、参数、目标函数和约束建立优化模型，讨论可行性与最优解存在性，区分局部和全局最优，并用方向导数与可行方向表述一阶必要条件。

给定参数 $\mathbf p$ 后，满足全部约束的点组成可行域 $\mathcal F(\mathbf p) =\{\mathbf x\in X:g_i(\mathbf x;\mathbf p)\le0,\quad h_j(\mathbf x;\mathbf p)=0\}.$ 若 $\mathcal F(\mathbf p)\ne\varnothing$ ，模型称为可行。点 $\mathbf x^\star\in\mathcal F(\mathbf p)$ 若满足 $f(\mathbf x^\star;\mathbf p) \le f(\mathbf x;\mathbf p) \quad\text{对所有 }\mathbf x\in\mathcal F(\mathbf p),$ 则它是全局最优解，对应的数 $f^\star=f(\mathbf x^\star;\mathbf p)$…

$n$ 阶行列式是列向量的实值函数 $D(\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n)$ ，满足： 1. 对每一列分别线性； 2. 交换任意两列，函数值乘以 $-1$ ； 3. $D(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)=D(I_n)=1$ 。 满足这三条性质的唯一函数记作 $\det(\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n)$ 或 $\det A$ 。

图中的长度为 $k$ 的游走是顶点序列 $v_0,v_1,\ldots,v_k,$ 其中每个相邻对 $v_{i-1}v_i$ 都是边；长度等于经过的边次数。游走允许重复边和重复顶点。若没有边重复，称为迹；若没有顶点重复，称为路。由于一条路的顶点不重复，它的边也不重复。 若 $v_0=v_k$ ，游走是闭游走；边不重复的闭游走是闭迹。长度至少为三、除首尾外顶点互不重复的闭迹称为圈。因而“闭迹”仍可能在首尾之外重复顶点，“圈”则不允许。

若 $\int f^+\,\mathrm d\mu$ 和 $\int f^-\,\mathrm d\mu$ 不同时为无穷，可定义扩展积分 $\int_X f\,\mathrm d\mu =\int_Xf^+\,\mathrm d\mu-\int_Xf^-\,\mathrm d\mu.$ 若 $\int_X|f|\,\mathrm d\mu<\infty,$ 则称 $f$ Lebesgue 可积，记作 $f\in L^1(\mu)$ 。这等价于 $f^+$ 与 $f^-$ 的积分都有限。

设 $X,Y$ 为赋范空间，线性映射 $T:X\to Y$ 若存在 $C\ge0$ 使 $\|Tx\|_Y\le C\|x\|_X \quad\text{对所有 }x\in X,$ 就称为有界线性算子。其算子范数为 $\|T\|=\sup_{\|x\|_X\le1}\|Tx\|_Y =\sup_{x\ne0}\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}.$

设 $p(x),q(x)$ 为实系数多项式，且 $q$ 不是零多项式。有理式 $R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ 的自然实数定义域是 $D=\{x\in\mathbb R:q(x)\ne0\}$ 。只有满足 $p(a)=0$ 且 $q(a)\ne0$ 的 $a$ 才是 $R$ 的零点。

从双射定义有限与可数，严格使用加法、乘法和对角编码处理集合大小，再以封闭性、结合律、单位元和逆元辨认基本代数结构。

若 $\Omega$ 有限，且取样机制保证每个基本结果具有相同概率 $1/|\Omega|$ ，则对任意事件 $A\subseteq\Omega$ ， $\mathbb P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.$ 使用该式前必须核验样本点等可能，并保证分子与分母采用同一种结果单位。

设函数 $f$ 在点 $a$ 的某个穿孔邻域内有定义。若对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，使任意满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$ 都满足 $|f(x)-L|<\varepsilon,$ 则称 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时趋于 $L$ ，记作 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 。

有限简单无向图是有序对 $G=(V,E)$ ，其中 $V$ 是有限顶点集， $E\subseteq\bigl\{\{u,v\}:u,v\in V,\ u\ne v\bigr\}.$ 若 $\{u,v\}\in E$ ，称 $u,v$ 邻接，也称该边与两个端点关联。顶点 $v$ 的邻域和度数分别为 $N_G(v)=\{u\in V:\{u,v\}\in E\}, \qquad d_G(v)=|N_G(v)|.$ 图 $H=(W,F)$ 是 $G$ 的子图，若 $W\subseteq V$ 且 $F\subseteq E$ ，并且 $F$ 中每条边的端点都属于 $W$ 。若 $F$ 恰好包含 $E$ 中所有端点均在 $W$ 内的边，则 $H$ 是由 $W$ 诱导的子图，记作 $G[W]$ 。

设 $X$ 的分布为 $\mathbb P_X$ 。若 $\mathbb E[|X|] =\int_{\mathbb R}|x|\,\mathrm d\mathbb P_X(x) <\infty,$ 则称 $X$ 可积，并定义 $\mathbb E[X] =\int_{\mathbb R}x\,\mathrm d\mathbb P_X(x).$ 离散情形为 绝对连续情形为 $\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x)\,\mathrm dx$ 。

给定线性无关函数 $\psi_0,\ldots,\psi_N$ ，令 $V_N$ 为它们的张成空间。 $f$ 在 $V_N$ 上的正交投影 $p=\sum_jc_j\psi_j$ 由条件 $\langle f-p,\psi_k\rangle=0$ 唯一确定。

对光滑流形 $M$ 和 $p\in M$ ，切空间的线性对偶 $T_p^*M=\operatorname{Hom}(T_pM,\mathbb R)$ 称为余切空间。若 $(x^1,\ldots,x^n)$ 是局部坐标，则坐标函数的微分 $\mathrm dx^i|_p$ 由 $\mathrm dx^i|_p(v)=v(x^i)$ 定义，并与 $\partial/\partial x^j|_p$ 对偶： $\mathrm dx^i(\partial/\partial x^j)=\delta^i_j$ 。 一个交替 $k$ -协变张量是多线性映射 $\omega_p:(T_pM)^k\to\mathbb R$ 且交换任意两个输入会变号。所有这类张量组成 $\Lambda^kT_p^*M$ 。光滑 $k$ -形式是随 $p$ 光滑变化的选择 $\omega_p\in\Lambda^kT_p^*M$…

设 $X$ 是复 Banach 空间， $T\in\mathcal B(X)$ 。若 $T-\lambda I:X\to X$ 双射且逆映射有界，就称 $\lambda$ 属于预解集 $\rho(T)$ ，并记 $R_T(\lambda)=(T-\lambda I)^{-1}.$ 补集 $\sigma(T)=\mathbb C\setminus\rho(T)$ 称为 $T$ 的谱。若 $\ker(T-\lambda I)\ne\{0\}$ ，则 $\lambda$ 属于点谱 $\sigma_p(T)$ ，也就是特征值。若 $T-\lambda I$ 单射、值域稠密但不满，则常称 $\lambda$ 呈现连续谱现象；若值域不稠密，则呈现剩余谱现象。

从域的特征进入域上多项式的带余除法、最大公因式与不可约性，以不可约多项式生成极大理想并构造扩域，再由素域上的向量空间维数解释有限域元素个数。

域 $F$ 是满足 $0\ne1$ 的交换环，并且每个 $a\ne0$ 都有逆元 $a^{-1}$ 。从整数到 $F$ 有自然含幺环同态 $\iota:\mathbb Z\to F, \qquad n\longmapsto n\cdot1_F.$ 若 $\iota$ 单射，定义 $\operatorname{char}F=0$ ；否则其核为某个 $(m)$ ，其中最小正整数 $m$ 称为 $F$ 的特征。

扩张 $L/K$ 的 $K$ -自同构是域同构 $\sigma:L\to L$ ，满足对每个 $a\in K$ 都有 $\sigma(a)=a$ 。所有 $K$ -自同构在复合下组成群 $\operatorname{Gal}(L/K)=\operatorname{Aut}_K(L).$

固定点 $F$ 称为焦点，固定直线 $\ell$ 称为准线，正数 $e$ 称为离心率。距离比点集在 $0<e<1$ 时是椭圆，在 $e=1$ 时是抛物线，在 $e>1$ 时是双曲线；这里排除退化情形。

在等式或不等式可行域内寻找最优解，并区分可行方向和活跃约束。

从拉格朗日函数构造可计算的对偶下界，区分弱对偶与强对偶，并在明确约束资格后用原始可行性、对偶可行性、驻点和互补松弛完整核对 KKT 条件。

通过张成集和线性无关选择最小坐标系统，理解维数为何不依赖具体基。

正常 $k$ -着色是映射 $c:V\to\{1,\ldots,k\}$ ，满足每条边 $uv\in E$ 都有 $c(u)\ne c(v)$ 。图可用的最少颜色数称为染色数 $\chi(G)$ 。完全子图中的顶点两两邻接，必须使用不同颜色；最大团大小 $\omega(G)$ 因而给出下界 $\omega(G)\le\chi(G).$

通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。

子群 $N\le G$ 若满足下列等价条件之一，就称 $N$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $N\trianglelefteq G$ ： $gN=Ng\quad\text{对每个 }g\in G,$ 或 $gNg^{-1}=N\quad\text{对每个 }g\in G.$

若正交规范族的线性张成的闭包等于 $H$ ，则称它是正交规范基。此时对每个 $x\in H$ ，有限部分和按范数收敛到 $x$ ，并有 $x=\sum_{j\in J}\langle x,e_j\rangle e_j, \qquad \|x\|^2=\sum_{j\in J}|\langle x,e_j\rangle|^2.$ 第二个等式称为 Parseval 等式。

把有限维向量投影推广到函数空间，推导正交系中的展开系数与最佳平方逼近，区分 Bessel 不等式和 Parseval 等式，并建立三角 Fourier 系数的统一内积表达。

实方阵 $Q$ 若满足 $Q^\mathsf TQ=I,$ 则称为正交矩阵。此时 $Q^{-1}=Q^\mathsf T$ 。

把向量分解到子空间及其正交补上，并推导投影矩阵与最小距离性质。

函数族 $\{\phi_n\}$ 若满足 $\langle\phi_m,\phi_n\rangle=0$ （ $m\ne n$ ），称为正交系；若还满足 $\lVert\phi_n\rVert_2=1$ ，称为标准正交系。若只有零函数与全部 $\phi_n$ 都正交，等价地，其线性张成的闭包等于所研究的函数空间，则称该系统完备。

用零内积表达方向独立性，并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。

围绕假设与结论的逻辑形状，组织直接证明、逆否证明、反证法和构造性存在证明，并识别循环论证与量词漏洞。

对目标 $P\Rightarrow Q$ ，直接证明假设 $P$ 成立，在保持全部适用条件的前提下推导 $Q$ 。证明结束前应明确指出推导所得表达式如何满足 $Q$ 的定义。

用方向向量与法向量统一直线方程，从焦点—准线距离比推导抛物线、椭圆和双曲线的标准式，并用参数方程描述曲线上的点。

直线的方向向量平行于直线，法向量垂直于直线。对一般式 $Ax+By+C=0$ ， $\boldsymbol n=(A,B)$ 是法向量， $\boldsymbol v=(-B,A)$ 是一个方向向量。

在明确底数、定义域和值域的前提下建立实指数函数与对数函数，推导对数恒等式、换底公式，并用复合函数处理方程和尺度变换。

从重复抽样覆盖率出发，用枢轴量反演正态均值、方差和总体比例的单双侧区间，比较 Wald 与 Wilson 方法，并说明样本量设计及数据后选方法为何会破坏名义保证。

解释大量独立微小贡献的标准化和为何趋近正态分布，并明确所需条件。

以罗尔定理和拉格朗日中值定理连接局部导数与区间变化，进而分析单调性、极值、凹凸与渐近线，并用带余项的泰勒公式控制多项式近似误差。

设 $f_n:E\to\mathbb R$ ， $f:E\to\mathbb R$ 。 若对每个 $x\in E$ 和每个 $\varepsilon>0$ ，都存在可依赖于 $x$ 的 $N=N(x,\varepsilon)$ ，使 $n\ge N$ 时 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,$ 则称 $f_n$ 在 $E$ 上逐点收敛到 $f$ 。 若对每个 $\varepsilon>0$ ，存在只依赖 $\varepsilon$ 的 $N$ ，使 $n\ge N$ 时对所有 $x\in E$ 同时有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,$ 则称 $f_n$ 在 $E$ 上一致收敛到 $f$ ，记作 $f_n\rightrightarrows f$ 。

交换整环 $R$ 若每个理想都能由一个元素生成，即每个理想都形如 $(d)=dR$ ，就称为主理想整环，简称 PID。整数环 $\mathbb Z$ 与域 $K$ 上的一元多项式环 $K[x]$ 都是 PID。

设 $R$ 为环。子集 $S\subseteq R$ 若在同样的加法、乘法下构成环，并含有母环的 $1$ ，则称为子环。 加法子群 $I\le(R,+)$ 若对所有 $r\in R$ 、 $a\in I$ 都有 $ra\in I$ 且 $ar\in I$ ，则称 $I$ 为双边理想，记作 $I\triangleleft R$ 。交换环中两侧条件相同。若存在 $a\in R$ 使 $I=(a)=\{ra:r\in R\}$ ，则 $I$ 是由 $a$ 生成的主理想。

设 $L/K$ 是域扩张， $H\le\operatorname{Aut}_K(L)$ 。定义 $L^H=\{a\in L:\sigma(a)=a\text{ 对所有 }\sigma\in H\}.$ $L^H$ 是含 $K$ 的子域，称为 $H$ 的固定域。

按参数历史梯度尺度调节有效学习率，比较 AdaGrad、RMSProp 和 Adam 的假设。

选定对数底 $b>1$ 。概率为 $p(x)>0$ 的结果 $x$ 的自信息为 $\imath_b(x)=-\log_b p(x).$ 离散随机变量 $X$ 的熵是自信息的期望： $H_b(X) =-\sum_{x:p(x)>0}p(x)\log_b p(x).$ 约定 $\lim_{t\downarrow0}t\log_b t=0$ ，因此熵公式中把 $0\log_b0$ 记为零。

自治系统写成 $\mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x),$ 右端不显含时间。满足 $\mathbf f(\mathbf x_*)=\mathbf0$ 的点称为平衡点。给定初值 $\mathbf x(0)=\mathbf x_0$ 后，解 $\mathbf x(t)$ 在状态空间描出一条带时间方向的轨道。二维状态空间称为相平面，许多不同初值的轨道连同方向信息组成相图。

以二进制串、有限图和依赖工作流为可复算主线，统一双射、容斥、递推、连通分量、匹配、着色、可达偏序与下闭集，并严格区分无向连通等价关系和有向无环图可达偏序。

通过排列、组合和计数原理计算有限等可能样本空间中的事件概率。