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M09 · 第 1 章 · 第一编 傅里叶级数

正交函数系与 Fourier 系数

把有限维向量投影推广到函数空间，推导正交系中的展开系数与最佳平方逼近，区分 Bessel 不等式和 Parseval 等式，并建立三角 Fourier 系数的统一内积表达。

难度 4/5约 105 分钟最近修订 2026-07-14
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预备知识正交性积分与累积量数列与级数

本章目标

  1. 在实或复函数空间中正确写出内积、范数、正交与标准正交条件。
  2. 由正交性推导有限正交系的投影系数，并证明投影具有最小平方误差。
  3. 说明 Bessel 不等式何时严格，以及 Parseval 等式为何需要完备性或闭包条件。
  4. 在给定归一化约定下互换实三角系数与复 Fourier 系数。
  5. 根据区间、权函数和边界条件判断一组函数是否适合作为展开系统。
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从向量坐标到函数坐标

在欧氏空间中，向量沿一组互相垂直的单位方向分解，每个坐标由点积直接读出。函数也可以用同样的思想分解，只是“向量的分量”变成一整个函数，“点积”变成区间上的积分。这样做的目的不是把函数形式写得更复杂，而是选择一组彼此不混合的模式，使每个系数可以独立计算。

设 I=[a,b]I=[a,b]，实值平方可积函数的常用内积是

⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x) dx,∥f∥2=⟨f,f⟩.\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm dx, \qquad \lVert f\rVert_2=\sqrt{\langle f,f\rangle}.

若允许复值函数，第二个因子必须取共轭：

⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x)‾ dx.\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}\,\mathrm dx.

本文采用“对第一个变量线性”的约定。改用另一种共轭位置也可以，但系数公式必须随之保持一致。两个只在有限个点上不同的平方可积函数具有相同范数，因而在 L2(I)L^2(I) 中代表同一个等价类；这里的距离描述整体均方差，不是逐点最大误差。

正交系、标准正交系与完备性

函数族 {ϕn}\{\phi_n\} 若满足 ⟨ϕm,ϕn⟩=0\langle\phi_m,\phi_n\rangle=0（m≠nm\ne n），称为正交系；若还满足 ∥ϕn∥2=1\lVert\phi_n\rVert_2=1，称为标准正交系。若只有零函数与全部 ϕn\phi_n 都正交，等价地，其线性张成的闭包等于所研究的函数空间，则称该系统完备。

“正交”只说明已列出的函数互不混合，“完备”才说明没有遗漏与整组都正交的方向。一组有限标准正交函数在无限维 L2L^2 空间中不可能完备；它仍可用于有限维最佳逼近，但不能保证恢复任意函数。

投影系数由正交性唯一确定

先取有限个非零正交函数 ϕ0,…,ϕN\phi_0,\ldots,\phi_N，用

pN=∑n=0Ncnϕnp_N=\sum_{n=0}^{N}c_n\phi_n

逼近 ff。要求残差 r=f−pNr=f-p_N 与每个 ϕk\phi_k 正交，就有

0=⟨r,ϕk⟩=⟨f,ϕk⟩−ck∥ϕk∥22,0=\langle r,\phi_k\rangle =\langle f,\phi_k\rangle-c_k\lVert\phi_k\rVert_2^2,

因此

ck=⟨f,ϕk⟩∥ϕk∥22.c_k=\frac{\langle f,\phi_k\rangle}{\lVert\phi_k\rVert_2^2}.

若 ϕk\phi_k 已标准化，分母就是一。归一化常数不是装饰：区间长度、权函数或基函数尺度改变后，分母也会改变。

投影还具有最优性。对同一子空间中的任意 qq，分解

f−q=(f−pN)+(pN−q)f-q=(f-p_N)+(p_N-q)

的两项正交，由勾股恒等式得到

∥f−q∥22=∥f−pN∥22+∥pN−q∥22≥∥f−pN∥22.\lVert f-q\rVert_2^2 =\lVert f-p_N\rVert_2^2+\lVert p_N-q\rVert_2^2 \ge \lVert f-p_N\rVert_2^2.

所以 pNp_N 是该子空间中唯一的最小二乘逼近。结论只控制 L2L^2 误差；某个点的误差、最大误差或导数误差可能表现不同。

例 1：把二次函数投影到一次多项式空间

在 L2[−1,1]L^2[-1,1] 中，用 span⁡{1,x}\operatorname{span}\{1,x\} 逼近 f(x)=x2f(x)=x^2。由于 11 与 xx 正交，系数分别为

c0=⟨x2,1⟩⟨1,1⟩=2/32=13,c1=⟨x2,x⟩⟨x,x⟩=0.c_0=\frac{\langle x^2,1\rangle}{\langle1,1\rangle} =\frac{2/3}{2}=\frac13, \qquad c_1=\frac{\langle x^2,x\rangle}{\langle x,x\rangle}=0.

故最佳一次逼近其实是常数 p(x)=1/3p(x)=1/3。残差能量为

∫−11(x2−13)2dx=25−49+29=845.\int_{-1}^{1}\left(x^2-\frac13\right)^2\mathrm dx =\frac25-\frac49+\frac29=\frac8{45}.

而 ∥f∥22=2/5\lVert f\rVert_2^2=2/5、∥p∥22=2/9\lVert p\rVert_2^2=2/9，恰有 2/5=2/9+8/452/5=2/9+8/45。奇偶性不仅省去积分，也解释了为何最佳线性项为零。

Bessel 不等式与 Parseval 等式的边界

对标准正交系 {en}\{e_n\}，任取有限指标集 FF，投影的平方范数为

∥∑n∈F⟨f,en⟩en∥22=∑n∈F∣⟨f,en⟩∣2.\left\lVert\sum_{n\in F}\langle f,e_n\rangle e_n\right\rVert_2^2 =\sum_{n\in F}|\langle f,e_n\rangle|^2.

投影能量不超过原函数能量，因此令 FF 逐步扩大可得 Bessel 不等式

∑n∣⟨f,en⟩∣2≤∥f∥22.\sum_n|\langle f,e_n\rangle|^2\le\lVert f\rVert_2^2.

它对任何标准正交系都成立，不需要完备。等号成立的准确条件是 ff 属于该系统线性张成的闭包；若系统对整个空间完备，则每个 ff 都满足 Parseval 等式

∑n∣⟨f,en⟩∣2=∥f∥22,\sum_n|\langle f,e_n\rangle|^2=\lVert f\rVert_2^2,

并且部分投影在 L2L^2 中收敛到 ff。因此，“已算出全部系数”不能自动推出“这些系数包含全部能量”，还必须说明展开系统覆盖的空间。

只有正弦函数时 Bessel 不等式可以严格

在 L2[−π,π]L^2[-\pi,\pi] 中，标准化正弦族 {sin⁡(nx)/π}n≥1\{\sin(nx)/\sqrt\pi\}_{n\ge1} 彼此正交，却不能表示非零偶函数。取 f(x)=1f(x)=1，每个正弦系数都为零，系数平方和为零，而 ∥f∥22=2π\lVert f\rVert_2^2=2\pi。差额不是计算误差，而是遗漏了常数与余弦方向。

权函数决定什么叫作正交

某些边值问题自然给出正权函数 w(x)w(x)，此时使用

⟨f,g⟩w=∫abf(x)g(x)‾w(x) dx.\langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}w(x)\,\mathrm dx.

同一对函数在普通内积下可能不正交，在带权内积下却正交。投影系数也应改为

cn=⟨f,ϕn⟩w⟨ϕn,ϕn⟩w.c_n=\frac{\langle f,\phi_n\rangle_w} {\langle\phi_n,\phi_n\rangle_w}.

在 Sturm–Liouville 问题中，权函数来自微分算子和本征值项，而不是为了方便计算临时选择。边界条件、自伴性和权函数共同决定本征函数的正交关系。若不先写清内积，单说“两函数正交”是不完整的。

三角系中的 Fourier 系数

在 [−π,π][-\pi,\pi] 上，复指数函数

en(x)=12πeinx,n∈Z,e_n(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\qquad n\in\mathbb Z,

构成标准正交系。相应坐标是 ⟨f,en⟩\langle f,e_n\rangle。更常见的 Fourier 系数约定把归一化放进系数：

f^n=12π∫−ππf(x)e−inx dx,f∼∑n∈Zf^neinx.\widehat f_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,\mathrm dx, \qquad f\sim\sum_{n\in\mathbb Z}\widehat f_ne^{inx}.

两种写法只差 2π\sqrt{2\pi} 的尺度。对复形式的这个约定，Parseval 等式写成

12π∫−ππ∣f(x)∣2 dx=∑n∈Z∣f^n∣2.\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,\mathrm dx =\sum_{n\in\mathbb Z}|\widehat f_n|^2.

若 ff 为实值，则 f^−n=f^n‾\widehat f_{-n}=\overline{\widehat f_n}。与实三角形式相比，f^0=a0/2\widehat f_0=a_0/2，且对 n>0n>0 有

f^n=an−ibn2,f^−n=an+ibn2.\widehat f_n=\frac{a_n-ib_n}{2}, \qquad \widehat f_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}.
例 2：计算平方函数的 Fourier 系数

令 f(x)=x2f(x)=x^2 定义在 [−π,π][-\pi,\pi] 并作周期延拓。它是偶函数，所以 bn=0b_n=0。常数系数为

a0=1π∫−ππx2 dx=2π23.a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,\mathrm dx=\frac{2\pi^2}{3}.

对 n≥1n\ge1，两次分部积分得到

an=2π∫0πx2cos⁡(nx) dx=4(−1)nn2.a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,\mathrm dx =\frac{4(-1)^n}{n^2}.

于是

x2∼π23+4∑n=1∞(−1)nn2cos⁡(nx).x^2\sim\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

在复约定下，f^0=π2/3\widehat f_0=\pi^2/3，而 n≠0n\ne0 时 f^n=2(−1)n/n2\widehat f_n=2(-1)^n/n^2。系数按 1/n21/n^2 衰减，与周期延拓连续但端点导数发生跳变相符。这里的系数计算与级数在哪些点收敛是两个步骤，后者需另用收敛定理判断。

常见误区

互相正交就一定构成基

正交族可能遗漏整个非零子空间。只有其线性张成在目标空间中稠密时，才能把任意函数按均方意义恢复。使用 Parseval 等式前必须说明完备性，或把结论限制在已张成子空间内。

投影使每一点的误差最小

正交投影最小化的是积分平方误差。它可以牺牲某些点的精度来改善整体误差；若任务要求控制最大误差、端点值或单调性，应选择相应范数和逼近方法。

更换归一化只改书写，不会影响公式

基函数、内积区间和系数前因子必须配套。把标准正交基的系数直接代入未归一化三角级数，通常会多出或少掉 π\pi、2π2\pi 等尺度因子。

练习

练习

在 L2[−1,1]L^2[-1,1] 中求 f(x)=x3f(x)=x^3 到 span⁡{1,x}\operatorname{span}\{1,x\} 的正交投影，并写出残差与该子空间正交的检验。

查看解答

奇偶性给出常数系数为零。线性系数为 ⟨x3,x⟩/⟨x,x⟩=(2/5)/(2/3)=3/5\langle x^3,x\rangle/\langle x,x\rangle=(2/5)/(2/3)=3/5，故投影为 p(x)=3x/5p(x)=3x/5。残差 r=x3−3x/5r=x^3-3x/5 为奇函数，所以 ⟨r,1⟩=0\langle r,1\rangle=0；同时 ⟨r,x⟩=2/5−(3/5)(2/3)=0\langle r,x\rangle=2/5-(3/5)(2/3)=0。

练习

设 e1,e2e_1,e_2 是标准正交函数，且 ⟨f,e1⟩=2\langle f,e_1\rangle=2、⟨f,e2⟩=−1\langle f,e_2\rangle=-1、∥f∥2=3\lVert f\rVert_2=3。求投影能量与残差能量，并判断 ff 是否一定属于 span⁡{e1,e2}\operatorname{span}\{e_1,e_2\}。

查看解答

投影能量为 ∣2∣2+∣−1∣2=5|2|^2+|-1|^2=5。由勾股关系，残差能量为 32−5=43^2-5=4。残差非零，所以 ff 不属于该二维子空间；这里 Bessel 不等式严格成立。

练习

在 [−π,π][-\pi,\pi] 上按复系数约定，求常数函数 f(x)=3f(x)=3 的全部 f^n\widehat f_n，并直接核对 Parseval 等式。

查看解答

f^0=(2π)−1∫−ππ3 dx=3\widehat f_0=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}3\,\mathrm dx=3。当 n≠0n\ne0 时，完整周期上的指数积分为零，所以 f^n=0\widehat f_n=0。等式左侧为 (2π)−1∫−ππ9 dx=9(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}9\,\mathrm dx=9，右侧为 ∣3∣2=9|3|^2=9。

练习

设 ϕ0(x)=1\phi_0(x)=1、ϕ1(x)=x\phi_1(x)=x，内积改为 ⟨f,g⟩w=∫01f(x)g(x)x dx\langle f,g\rangle_w=\int_0^1 f(x)g(x)x\,\mathrm dx。判断两函数是否正交；若不正交，从 ϕ1\phi_1 中减去它在 ϕ0\phi_0 方向的投影，得到一个与 ϕ0\phi_0 正交的函数。

查看解答

⟨1,x⟩w=∫01x2 dx=1/3\langle1,x\rangle_w=\int_0^1x^2\,\mathrm dx=1/3，所以不正交。又有 ⟨1,1⟩w=∫01x dx=1/2\langle1,1\rangle_w=\int_0^1x\,\mathrm dx=1/2，投影系数为 2/32/3。因此 ψ1(x)=x−2/3\psi_1(x)=x-2/3，并且 ⟨ψ1,1⟩w=1/3−(2/3)(1/2)=0\langle\psi_1,1\rangle_w=1/3-(2/3)(1/2)=0。

知识关系

  • 正交性 提供系数分离和勾股恒等式。
  • 正交投影 把展开解释为给定子空间中的最小平方误差近似。
  • 傅里叶级数 选择三角函数作为完备正交系统，并进一步讨论点态与均方收敛。
  • Sturm–Liouville 理论 由边值算子生成带权正交本征函数。
  • 傅里叶变换 把离散频率坐标推广到连续频率变量。

参考资源

课程 · 2024

Topics in Fourier Analysis

Daniel Stroock

用于核对正交展开、Fourier 变换、反演条件和分布理论的对象边界。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 的 Fourier Analysis 专题课程系统讨论 Fourier 级数、L1/L2L^1/L^2 变换与温和分布；其中正交展开和均方理论可用于核对本章的完备性、Bessel 不等式与 Parseval 等式边界。

课程 · 2011

MIT 18.03SC Differential Equations

Arthur Mattuck, Haynes Miller

为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 的微分方程课程把正交函数、Fourier 级数与边值问题放在同一条推导线上，可用于继续核对模态系数和微分方程应用。

书籍 · 2016

Calculus Volume 2

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对数列与级数的收敛条件、积分技巧、反常积分和幂级数例题。

打开官方来源

OpenStax Calculus Volume 2 可用于复习积分技巧、无穷级数和函数展开所需的基础计算。本文涉及的完备性与 L2L^2 结论应以本章给出的内积空间条件为准。

后续学习

下一章将在 傅里叶级数 中讨论三角部分和的点态收敛、均方收敛与 Gibbs 现象。再往后，傅里叶变换 会把周期函数的离散系数替换为非周期函数的连续频谱，并把卷积转化为乘法。