特征结构与线性代数综合复习：从对角化到二次型

本章在全册中的位置

本册从向量的线性组合开始，经矩阵运算、方程组、行列式、核与像，最终来到线性算子自身的内部结构。前几章回答“方程是否有解”“映射丢失哪些方向”“换一组坐标后矩阵怎样变化”；本章进一步寻找一组坐标，使算子的反复作用尽可能简单。特征向量提供保持直线不变的方向，对角化把这些方向组织成一组基，实对称谱定理则保证正交基存在，并把二次型化为平方项之和。

应会计算矩阵乘法、零空间和行列式，理解线性映射与换基。求特征向量需要解齐次方程 $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0$；若自由变量和主元列尚不熟悉，可先复习

线性方程组 与 高斯消元。

本章主要讨论实方阵，并在需要时明确转入复数域。特征值只对同一空间上的线性算子定义，矩形矩阵没有通常意义下的特征方程。实矩阵可能具有复特征值，例如非平凡平面旋转没有实不变直线；此时应扩展到复向量空间，而不是声称矩阵“没有特征值”。

最后一章同时承担综合复习。每次计算都应保留四类核验：矩阵尺寸是否相容；特征对是否满足残差 $A\mathbf v-\lambda\mathbf v=\mathbf0$；独立特征向量是否足以成基；结论是否依赖对称、可对角化或正定等额外条件。

不变方向的直觉

把一张带网格的纸经过剪切，大多数箭头会转向，但沿横轴的箭头可能仍留在横轴上；把平面沿两个坐标方向分别缩放，每条坐标轴都是不变方向。目标是寻找变换前后位于同一直线的非零向量，向量的位置或长度可以改变。

比例可以为正、负或零。正特征值保持方向并缩放，负特征值翻转方向，零特征值把非零特征向量压到零。若比例绝对值大于一，反复作用会在该方向放大；小于一则衰减。

定义与特征空间

特征值、特征向量与特征空间

设 $A\in\mathbb R^{n\times n}$。若存在非零向量 $\mathbf v$ 和标量 $\lambda$ 使

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v,$$

则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf v$ 是对应特征向量。所有满足该等式的向量连同零向量构成特征空间

$$E_\lambda=\ker(A-\lambda I).$$

定义排除零向量作为特征向量，因为零向量对任意 $\lambda$ 都满足等式，无法提供方向信息；特征空间为了保持子空间结构必须包含零向量。若 $\mathbf v$ 是特征向量，则任何非零倍数 $c\mathbf v$ 也是同一特征值的特征向量，所以真正重要的是由它张成的方向或更高维特征子空间。

从方向条件到特征多项式

把定义移项得到

要存在非零解，矩阵 $A-\lambda I$ 必须不可逆。由行列式判据，必要且充分条件为

$p_A$ 称为特征多项式。它是 $n$ 次多项式，因此在复数域计重数恰有 $n$ 个根。求根只给出候选特征值；对每个根仍须求 $A-\lambda I$ 的零空间，才能得到特征向量。

有些教材采用 $\det(\lambda I-A)$。两种约定相差常数因子 $(-1)^n$，根完全相同；同一计算中不要来回切换符号约定。对二阶矩阵，使用 $\det(\lambda I-A)$ 时有

因此两个复特征值按代数重数计算时，其和等于迹，积等于行列式。这是复算特征根的快速检查，不是求特征向量的替代。若 $C=P^{-1}AP$，则 $\det(C-\lambda I)=\det(P^{-1}(A-\lambda I)P)=\det(A-\lambda I)$，所以相似矩阵具有同一特征多项式；这与上一章“同一算子的不同坐标记录”一致。

示例一：计算二阶矩阵的特征对

计算二阶矩阵的特征对

设

$$A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}.$$

特征方程为

$$\det(A-\lambda I) =(4-\lambda)(3-\lambda)-2 =\lambda^2-7\lambda+10 =(\lambda-5)(\lambda-2)=0.$$

对 $\lambda=5$，方程 $(A-5I)\mathbf v=0$ 给出 $-x+y=0$，可取 $\mathbf v_1=(1,1)^\mathsf T$。对 $\lambda=2$，有 $2x+y=0$，可取 $\mathbf v_2=(1,-2)^\mathsf T$。直接相乘可核对 $A\mathbf v_1=5\mathbf v_1$、 $A\mathbf v_2=2\mathbf v_2$。

代数重数与几何重数

代数重数与几何重数

特征值 $\lambda$ 作为特征多项式根出现的次数称为代数重数，记作 $m_a(\lambda)$；特征空间维数称为几何重数，记作

$$m_g(\lambda)=\dim E_\lambda =\dim\ker(A-\lambda I).$$

重数界与不同特征值的独立性

对每个特征值都有

$$1\le m_g(\lambda)\le m_a(\lambda).$$

属于互异特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ 的特征向量 $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k$ 线性无关。

证明

几何重数至少为一来自特征值定义。设 $m_g(\lambda)=r$，取 $E_\lambda$ 的一组基并扩充为整个空间的基。在这组基下，矩阵前 $r$ 列分别是 $\lambda\mathbf e_1,\ldots,\lambda\mathbf e_r$，因而具有分块形状

$$\begin{bmatrix} \lambda I_r&*\\ 0&B \end{bmatrix}.$$

其特征多项式含因子 $(t-\lambda)^r$，故 $r\le m_a(\lambda)$。

再证不同特征值的独立性。对向量个数归纳。若

$$c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k=\mathbf0,$$

对等式作用 $A-\lambda_kI$，最后一项消失，得到

$$\sum_{i=1}^{k-1}c_i(\lambda_i-\lambda_k)\mathbf v_i=\mathbf0.$$

归纳假设给出 $c_i(\lambda_i-\lambda_k)=0$。因特征值互异，前 $k-1$ 个系数全为零，原式再推出 $c_k=0$。

因此，一个 $n\times n$ 矩阵若拥有 $n$ 个互异特征值，就自动拥有 $n$ 个线性无关特征向量。但特征值重复时，是否有足够特征向量还需检查几何重数。

重复特征值并不等于缺陷。例如 $\operatorname{diag}(2,2,3)$ 中，特征值 $2$ 的代数重数和几何重数都是 $2$，对应平面由前两支标准基张成；矩阵仍有三支独立特征向量。只有当某个特征值贡献的几何重数小于完成特征基所需的数量时，对角化才失败。

对角化

对角化判据

对 $A\in\mathbb F^{n\times n}$，以下条件等价：

1. 存在可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵 $D$，使 $A=PDP^{-1}$；
2. 空间存在一组由 $A$ 的特征向量组成的基；
3. 所有不同特征值的特征空间维数之和为 $n$；
4. 对每个特征值，几何重数等于代数重数，并且特征多项式在标量域 $\mathbb F$ 上完全分裂。

证明

若存在特征向量基 $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$，把它们作为列组成 $P$，并令 $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$，则

$$AP=[A\mathbf v_1\ \cdots\ A\mathbf v_n] =[\lambda_1\mathbf v_1\ \cdots\ \lambda_n\mathbf v_n] =PD.$$

$P$ 可逆，所以 $A=PDP^{-1}$。反过来，若 $A=PDP^{-1}$，则 $AP=PD$；比较第 $j$ 列可知 $A\mathbf p_j=d_{jj}\mathbf p_j$。$P$ 的列线性无关，因此它们组成特征向量基。这证明前两项等价。

不同特征值的特征空间直和，其维数是几何重数之和；维数达到 $n$ 当且仅当可从中选出一组全空间基。结合 $m_g(\lambda)\le m_a(\lambda)$，并注意完全分裂时所有代数重数之和为 $n$，得到后两项与前两项等价。

对角化表示换到特征向量基后，复杂线性变换只剩各坐标独立缩放。判据中的“在标量域上完全分裂”不能省略：一个实平面旋转矩阵可能在 $\mathbb C$ 上可对角化，在 $\mathbb R$ 上却没有实特征向量。

反例

矩阵

$$J=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$$

的特征多项式为 $(1-\lambda)^2$，唯一特征值 $1$ 的代数重数为二。但 $J-I=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ 的零空间只有所有 $(x,0)^\mathsf T$，几何重数为一。它缺少第二个独立特征向量，因此不可对角化。重复特征值本身不会导致失败；失败来自特征空间维数不足。

这类没有完整特征向量基的矩阵称为缺陷矩阵。上例可写成 $J=I+N$，其中

二项式展开立即给出

虽然唯一特征值的绝对值等于一，矩阵幂仍含线性增长因子 $k$。这解释了为什么稳定性边界不能只看特征值绝对值：不可对角化时，广义特征方向会产生多项式因子。更高阶 Jordan 块会产生 $k^2,k^3$ 等更高次项；本章只需掌握二阶缺陷矩阵的直接复算，不把 Jordan 标准形当作已建立定理。

示例二：用对角化计算矩阵幂

用对角化计算矩阵幂

沿用前例的矩阵 $A$。取

$$P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix},$$

则 $A=PDP^{-1}$。因此

$$A^k=PD^kP^{-1} =P\begin{bmatrix}5^k&0\\0&2^k\end{bmatrix}P^{-1}.$$

这里

$$P^{-1}=\frac13 \begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix},$$

所以可写成闭式

$$A^k=\frac13 \begin{bmatrix} 2\cdot5^k+2^k&5^k-2^k\\ 2(5^k-2^k)&5^k+2^{k+1} \end{bmatrix}.$$

取 $k=3$ 得

$$A^3=\begin{bmatrix}86&39\\78&47\end{bmatrix}.$$

直接复算 $A^2=\begin{bmatrix}18&7\\14&11\end{bmatrix}$，再乘一次 $A$ 得到同一结果。对角形式把逐次矩阵乘法改成两个标量乘方。随着 $k$ 增大，若初始向量在 $\lambda=5$ 的特征方向上分量非零，该方向通常以 $5^k$ 主导；若该分量恰好为零，则不能凭最大特征值断言轨迹沿该方向增长。

实对称矩阵的谱定理

实对称矩阵谱定理

若 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ 且 $A=A^\mathsf T$，则 $A$ 的全部特征值都是实数，并存在由单位特征向量组成的正交矩阵 $Q$ 与实对角矩阵 $\Lambda$，使

$$A=Q\Lambda Q^\mathsf T, \qquad Q^\mathsf TQ=QQ^\mathsf T=I.$$

证明

先说明实特征向量存在。把 $A$ 暂时看成复矩阵，特征多项式在 $\mathbb C$ 上有根；取非零复特征向量 $\mathbf z$，满足 $A\mathbf z=\lambda\mathbf z$。由于实对称矩阵也是 Hermitian 矩阵， $\mathbf z^*A\mathbf z$ 为实数，于是

$$\lambda =\frac{\mathbf z^*A\mathbf z}{\mathbf z^*\mathbf z} \in\mathbb R.$$

写 $\mathbf z=\mathbf x+i\mathbf y$。因 $A$ 与 $\lambda$ 都是实的，比较实部和虚部得 $A\mathbf x=\lambda\mathbf x$、 $A\mathbf y=\lambda\mathbf y$；二者至少一个非零，从而得到实特征向量。将其归一化为 $\mathbf u$。

对任意 $\mathbf w\perp\mathbf u$，对称性给出

$$\mathbf u^\mathsf T A\mathbf w =(A\mathbf u)^\mathsf T\mathbf w =\lambda\mathbf u^\mathsf T\mathbf w=0.$$

所以正交补 $\mathbf u^\perp$ 在 $A$ 下保持不变，限制在该 $(n-1)$ 维空间上的算子仍对称。对维数归纳，可在正交补中选出正交归一特征基；与 $\mathbf u$ 合并便得到整个空间的正交归一特征基。把这些向量作为 $Q$ 的列，即得 $AQ=Q\Lambda$，从而 $A=Q\Lambda Q^\mathsf T$。

这比一般对角化更强：换基矩阵的逆就是转置，长度、夹角和内积在坐标转换中保持。不同特征值对应向量的正交性也可单独验证。若 $A\mathbf u=\lambda\mathbf u$、 $A\mathbf v=\mu\mathbf v$，则

当 $\lambda\neq\mu$ 时，只能有 $\mathbf u^\mathsf T\mathbf v=0$。重复特征值的特征空间内部还可用正交化选出正交基。

二次型把谱方向变成主轴

二次型与正定性

给定实方阵 $A$，函数

$$q_A(\mathbf x)=\mathbf x^\mathsf T A\mathbf x$$

称为由 $A$ 表示的二次型。若对每个非零 $\mathbf x$ 都有 $q_A(\mathbf x)>0$，称二次型及其对称表示矩阵正定；若恒有 $q_A(\mathbf x)\ge0$，称半正定。负定、半负定按相反不等号定义；若二次型能取正值也能取负值，称不定。

二次型只读取矩阵的对称部分。令 $S=(A+A^\mathsf T)/2$、 $K=(A-A^\mathsf T)/2$，则 $K^\mathsf T=-K$，且标量 $\mathbf x^\mathsf TK\mathbf x$ 等于自身转置 $-\mathbf x^\mathsf TK\mathbf x$，所以它为零。因此

研究二次型时可先把矩阵对称化，而不会改变函数值。

对实对称 $A=Q\Lambda Q^\mathsf T$，令 $\mathbf y=Q^\mathsf T\mathbf x$，正交变换保持长度，并有

于是：全部特征值为正当且仅当 $A$ 正定；全部非负当且仅当半正定；同时出现正负特征值当且仅当不定。在单位球面上，二次型的最小值和最大值分别是最小、最大特征值，因为 $\sum_i y_i^2=1$ 时它是这些特征值的加权平均。

正交换基后的二次型主轴

取

$$A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}.$$

特征值为 $4,2$，对应单位特征向量可取

$$\mathbf q_1=\frac1{\sqrt2}(1,1)^\mathsf T, \qquad \mathbf q_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1)^\mathsf T.$$

令 $Q=[\mathbf q_1\ \mathbf q_2]$、 $\mathbf y=Q^\mathsf T\mathbf x$，则

$$3x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2 =4y_1^2+2y_2^2.$$

两个系数均为正，所以 $A$ 正定。在 $\lVert\mathbf x\rVert=1$ 上，二次型取值位于 $[2,4]$；沿 $\mathbf q_2$ 取到最小值 $2$，沿 $\mathbf q_1$ 取到最大值 $4$。这里的主轴来自正交特征向量，不需要从原坐标中的交叉项猜测旋转角度。

对比矩阵 $B=\begin{bmatrix}1&2\\2&-2\end{bmatrix}$。其迹为 $-1$、行列式为 $-6$，特征值是 $2,-3$，故二次型不定。直接取标准基也能看见 $q_B(1,0)=1>0$、$q_B(0,1)=-2<0$。特征值判据给出完整分类，测试向量则提供快速反证。

动力系统与稳定性

离散线性系统 $\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k$ 满足 $\mathbf x_k=A^k\mathbf x_0$。若矩阵可对角化，把初始状态分解为特征向量 $\mathbf x_0=\sum_i c_i\mathbf v_i$，则

每个方向独立按 $\lambda_i^k$ 演化。全部特征值绝对值小于一时，各方向衰减；存在绝对值大于一且初始状态含该方向分量时，状态增长；负特征值还会引入逐步翻转。等于一或不可对角化的边界情况需要进一步分析，不能只看最大绝对值后立刻断言所有轨迹行为。

二维系统的长期方向

令 $A=\operatorname{diag}(0.5,1.2)$，初始状态 $\mathbf x_0=(4,1)^\mathsf T$。第 $k$ 步为

$$\mathbf x_k=(4\cdot0.5^k,1.2^k)^\mathsf T.$$

第一坐标趋于零，第二坐标增长，所以归一化后的方向逐渐靠近纵轴。若初始状态恰为 $(4,0)^\mathsf T$，增长方向没有分量，轨迹反而衰减。主导特征值描述一般方向的长期趋势，不会凭空产生初始状态中完全缺失的特征分量。

全册综合：同一矩阵的七个读法

从方程可解性走到正交谱分解

考虑

$$C= \begin{bmatrix} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&4 \end{bmatrix}.$$

第一步看方程与映射。左上二阶块行列式为 $3$，故 $\det C=3\cdot4=12\ne0$。因此 $\ker C=\{\mathbf0\}$、 $\operatorname{im}C=\mathbb R^3$、秩为 $3$，每个方程 $C\mathbf x=\mathbf b$ 都有唯一解。迹为 $2+2+4=8$，之后应与特征值之和核对。

第二步求特征结构。左上二阶块沿 $(1,1)^\mathsf T$ 与 $(1,-1)^\mathsf T$ 分别缩放 $3$ 与 $1$，第三坐标轴缩放 $4$。取正交归一向量

$$\mathbf q_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)^\mathsf T, \quad \mathbf q_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^\mathsf T, \quad \mathbf q_3=(0,0,1)^\mathsf T.$$

于是

$$Q=[\mathbf q_1\ \mathbf q_2\ \mathbf q_3], \qquad C=Q\operatorname{diag}(3,1,4)Q^\mathsf T.$$

特征值和为 $3+1+4=8$，积为 $3\cdot1\cdot4=12$，与迹、行列式一致。矩阵对称，谱定理保证存在正交特征基；上述三支向量给出了这一保证的具体实现。

第三步计算矩阵幂。对角形式给出

$$C^k= \begin{bmatrix} \dfrac{3^k+1}{2}&\dfrac{3^k-1}{2}&0\\ \dfrac{3^k-1}{2}&\dfrac{3^k+1}{2}&0\\ 0&0&4^k \end{bmatrix}.$$

取 $k=2$ 得 $C^2=\begin{bmatrix}5&4&0\\4&5&0\\0&0&16\end{bmatrix}$，与直接乘法相同。

第四步读二次型：

$$q_C(x,y,z)=2x^2+2xy+2y^2+4z^2.$$

在谱坐标 $(u,v,w)=Q^\mathsf T(x,y,z)$ 下，它变为

$$q_C=3u^2+v^2+4w^2.$$

三个系数都正，所以 $C$ 正定；单位球面上的最小值为 $1$，最大值为 $4$。同一组特征方向同时简化了矩阵幂、线性演化和二次型，这正是本册最后一章把各部分汇合起来的原因。

面对新的方阵，可以按以下顺序组织答案，而不必把所有工具同时堆上去：

1. 先写矩阵代表的线性算子、标量域和维数。
2. 用消元求秩、核与像，判断方程解的自由度。
3. 对方阵再用行列式判断可逆性，并以迹、行列式保存数值检查点。
4. 求特征多项式和每个特征空间，分别记录代数、几何重数。
5. 用对角化判据检查独立特征向量数量；失败时明确指出缺陷，而不是强行构造不可逆的 $P$。
6. 若矩阵实对称，优先使用正交谱分解；矩阵幂和二次型都在同一谱坐标中处理。
7. 最后把结果代回原问题：复算特征残差、矩阵幂的小指数情形、方程解或二次型符号。

并非每道题都需要七步。流程的意义是把条件与结论对应起来：行列式非零不能自动提供正交特征基；拥有实特征值也不能自动保证可对角化；正定性首先是对称二次型的符号结论，而不是任意非对称矩阵的标签。

应用与解释边界

主成分分析对协方差矩阵作特征分解，最大特征值对应数据方差最大的正交方向；耦合振动把简正模写成矩阵特征向量；Markov 链用特征值一对应平稳方向，并由其他特征值控制收敛速度。这些应用共享同一代数结构，但矩阵的来源、内积、单位和归一化各不相同。

特征向量不是“数据中最重要的特征”的通用同义词。非对称矩阵的特征向量可能不正交，病态矩阵的特征向量对扰动可能非常敏感，缺陷矩阵甚至没有完整特征基。矩阵近似对称或数据含噪时，应报告算法、误差和稳定性，而不是只给出若干小数。

常见误区

常见误区

“任意非零向量都是某个特征向量。”一个向量只有在输出与自身共线时才是特征向量。对固定矩阵，满足条件的方向通常只是整个空间中的少数子空间。

常见误区

“特征值就是矩阵对角线元素。”三角矩阵的特征值确实是对角元素；一般矩阵必须求特征多项式。相似变换可以改变对角元素，却保持特征值。

常见误区

“拥有重复特征值就不能对角化。”单位矩阵只有一个重复特征值，却有整个空间作为特征空间，当然可对角化。应比较代数重数和几何重数，而不是只看是否重复。

代码：幂迭代估计主导特征方向

数值程序输出一组小数时，不能只看迭代是否停止。对候选 $(\widehat\lambda,\widehat{\mathbf v})$，应至少报告特征残差

残差接近零说明这组数近似满足特征方程；它不保证已经找到题目关心的全部特征值，也不单独衡量特征向量对矩阵扰动的敏感程度。矩阵整体缩放很大时，还应比较相对残差，例如用 $r/(\lVert A\rVert_2+|\widehat\lambda|)$；下面的短程序只返回绝对残差。

export function powerIteration(
  matrix: readonly (readonly number[])[],
  initial: readonly number[],
  steps: number,
): { value: number; vector: number[]; residual: number } {
  if (
    matrix.length === 0 ||
    matrix.some((row) => row.length !== matrix.length) ||
    initial.length !== matrix.length
  ) {
    throw new Error("Power iteration requires a square matrix and matching vector.");
  }
  if (!Number.isInteger(steps) || steps < 1) {
    throw new Error("Iteration count must be a positive integer.");
  }
  let vector = [...initial];
  for (let step = 0; step < steps; step += 1) {
    const next = matrix.map((row) =>
      row.reduce((sum, value, index) => sum + value * vector[index], 0),
    );
    const norm = Math.hypot(...next);
    if (norm === 0) throw new Error("Iteration reached the zero vector.");
    vector = next.map((value) => value / norm);
  }
  const applied = matrix.map((row) =>
    row.reduce((sum, value, index) => sum + value * vector[index], 0),
  );
  const value = vector.reduce((sum, entry, index) => sum + entry * applied[index], 0);
  const residual = Math.hyp(...applied.map((entry, index) => entry - value * vector[index]));
  return { value, vector, residual };
}

幂迭代只有在主导特征值按绝对值严格占优、初始向量含相应方向分量等条件下才可靠收敛。对实对称矩阵，代码中的 Rayleigh 商 $\widehat{\mathbf v}^\mathsf TA\widehat{\mathbf v}$ 与单位向量的方向解释尤其清楚；对一般非对称矩阵，收敛条件和误差行为更复杂。该程序不能替代通用特征值算法；缺陷矩阵、谱间隔很小或绝对值相同的多个主导特征值都可能让方向收敛缓慢、振荡或失败。

综合练习：特征结构、矩阵幂与二次型

八道题从直接特征对逐步进入重数、缺陷、矩阵幂、谱定理、二次型和长期演化。解答中的小指数矩阵乘法、迹、行列式和特征残差都是必须保留的复算点。

练习 1：读取对角矩阵的特征方向标记完成

所属知识

特征值与特征空间

难度

2/5

求 $A=\begin{bmatrix}3&0\\0&-2\end{bmatrix}$ 的全部特征值和特征空间，并解释反复作用时两个坐标方向的行为。

查看提示

分别让 $(A-\lambda I)v=0$；负特征值会在每次作用时翻转方向。

查看解答

特征值为 $3$ 与 $-2$，对应特征空间分别为 $\operatorname{span}\{(1,0)\}$ 和 $\operatorname{span}\{(0,1)\}$。横向分量每步乘三并保持方向；纵向分量每步乘负二，大小加倍且每步翻转。对一般含两个分量的初始向量，长期大小由绝对值较大的 $3$ 方向主导；若横向分量为零，则不会出现该方向。

练习 2：构造一个二阶对角化标记完成

所属知识

特征向量基与相似变换

难度

3/5

对 $B=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}$，求特征值和特征向量，并给出 $B=PDP^{-1}$。

查看提示

三角矩阵的特征值在对角线上；把对应特征向量作为 P 的列。

查看解答

特征值为 $1,2$。当 $\lambda=1$ 时可取 $\mathbf v_1=(1,0)^\mathsf T$；当 $\lambda=2$ 时，方程 $-x+y=0$，可取 $\mathbf v_2=(1,1)^\mathsf T$。因此

$$P=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \quad D=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}, \quad P^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}.$$

直接相乘 $PDP^{-1}$ 得 $\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}=B$，完成核验。

练习 3：相同特征多项式，不同几何重数标记完成

所属知识

代数重数、几何重数与缺陷

难度

3/5

比较

$$D=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}, \qquad J=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}.$$

写出特征值 $2$ 的代数、几何重数，并判断两矩阵是否可对角化。

查看提示

分别求 $\lambda=2$ 时两个矩阵的零空间维数。

查看解答

两矩阵的特征多项式都是 $(2-\lambda)^2(3-\lambda)$，所以 $2$ 的代数重数均为 $2$。对 $D$， $E_2=\operatorname{span}\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}$，几何重数为 $2$，再加 $\mathbf e_3$ 即得特征基，故可对角化。对 $J$，方程 $(J-2I)\mathbf v=0$ 强制第二坐标为零，故 $E_2=\operatorname{span}\{\mathbf e_1\}$，几何重数为 $1$；全部特征空间维数只有 $2$，所以不可对角化。

练习 4：缺陷矩阵幂中的多项式因子标记完成

所属知识

幂零部分与矩阵幂

难度

4/5

设 $J=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}$。求一般的 $J^k$，并计算 $J^4$。

查看提示

写成 2I+N，其中 $N^{2}=0$，再用二项式展开。

查看解答

写成 $J=2I+N$，其中 $N=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ 且 $N^2=0$。二项式展开只留下前两项：

$$J^k=2^kI+k2^{k-1}N =\begin{bmatrix}2^k&k2^{k-1}\\0&2^k\end{bmatrix}.$$

令 $k=4$ 得

$$J^4=\begin{bmatrix}16&32\\0&16\end{bmatrix}.$$

直接平方两次也可核验： $J^2=\begin{bmatrix}4&4\\0&4\end{bmatrix}$，再平方即得到上述结果。

练习 5：用正交特征方向计算高次幂标记完成

所属知识

对角化与矩阵幂

难度

4/5

对 $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$，推导 $A^k$ 的闭式，并计算 $A^5$。

查看提示

矩阵沿 (1,1) 与 (1,-1) 的特征值分别为 4 与 2。

查看解答

单位特征向量 $(1,1)^\mathsf T/\sqrt2$、 $(1,-1)^\mathsf T/\sqrt2$ 对应特征值 $4,2$。由正交谱分解

$$A^k=\frac12 \begin{bmatrix} 4^k+2^k&4^k-2^k\\ 4^k-2^k&4^k+2^k \end{bmatrix}.$$

$4^5=1024$、$2^5=32$，所以

$$A^5=\begin{bmatrix}528&496\\496&528\end{bmatrix}.$$

取 $k=1$ 时闭式退回原矩阵，是另一项结构核验。

练习 6：由谱分类三元二次型标记完成

所属知识

实对称谱定理与正定性

难度

4/5

令

$$S=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&5\end{bmatrix}.$$

求全部特征值，判断正定性，计算迹与行列式，并给出单位球面上 $\mathbf x^\mathsf TS\mathbf x$ 的取值范围。

查看提示

左上二阶块沿 (1,1) 与 (1,-1) 的特征值分别为 1 与 3。

查看解答

左上块的特征值为 $1,3$，第三个特征值为 $5$，所以全部特征值是 $1,3,5$。它们均为正，故 $S$ 正定。迹为 $1+3+5=9$，也等于对角线之和；行列式为 $1\cdot3\cdot5=15$。在单位球面上，二次型取值范围为 $[1,5]$，端点分别沿最小和最大特征值的单位特征向量取得。

练习 7：坐标交换算子的全册综合标记完成

所属知识

核像、特征空间、矩阵幂与二次型

难度

4/5

考虑

$$C=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}.$$

求核、像、特征空间，判断是否可正交对角化，计算 $C^k$，并分类二次型 $\mathbf x^\mathsf TC\mathbf x$。

查看提示

该矩阵交换第二、三坐标，并满足 $C^{2}=I$。分别解 $\lambda=1$ 与 $\lambda=-1$。

查看解答

$C$ 是置换矩阵，行列式为 $-1$，所以核为零、像为 $\mathbb R^3$。特征值 $1$ 的特征空间是

$$E_1=\{(x,y,y):x,y\in\mathbb R\},$$

维数为 $2$；特征值 $-1$ 的特征空间是 $E_{-1}=\operatorname{span}\{(0,1,-1)\}$。矩阵实对称，两个特征空间正交，可选正交归一基完成正交对角化。又因 $C^2=I$，故偶数次幂为 $I$，奇数次幂为 $C$。二次型为

$$x^2+2yz.$$

它沿 $(1,0,0)$ 取正值，沿 $(0,1,-1)$ 取负值，因此不定；这也与特征值同时含正、负一致。

练习 8：把初始状态分解到长期模式标记完成

所属知识

离散线性系统与谱分解

难度

4/5

令

$$A=\begin{bmatrix}3/4&1/4\\1/4&3/4\end{bmatrix}, \qquad \mathbf x_0=(3,1)^\mathsf T, \qquad \mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k.$$

求 $\mathbf x_k$ 的闭式和极限。

查看提示

(1,1) 与 (1,-1) 分别是特征值 1 与 1/2 的方向。

查看解答

$A(1,1)^\mathsf T=(1,1)^\mathsf T$， $A(1,-1)^\mathsf T=\tfrac12(1,-1)^\mathsf T$，并且

$$\mathbf x_0=2(1,1)^\mathsf T+(1,-1)^\mathsf T.$$

因此

$$\mathbf x_k =2(1,1)^\mathsf T+2^{-k}(1,-1)^\mathsf T =\begin{bmatrix}2+2^{-k}\\2-2^{-k}\end{bmatrix}.$$

令 $k\to\infty$ 得极限 $(2,2)^\mathsf T$。代入 $k=0$ 恢复 $(3,1)^\mathsf T$，代入 $k=1$ 得 $(2.5,1.5)^\mathsf T=A\mathbf x_0$，数值核验一致。

与其他知识的关系

• 线性变换 给出“方向保持不变”的几何对象。
• 行列式 把非零齐次解条件转化为特征方程。
• 正定矩阵 用对称矩阵特征值判断二次型符号。
• 奇异值分解 将特征分解推广为适用于任意矩形矩阵的正交轴向缩放。
• Markov 链 和 耦合振子 分别在概率演化与物理模态中使用谱结构。

已核实资源

课程 · 2011

MIT 18.06SC Linear Algebra

Gilbert Strang

提供线性代数核心概念的完整课程顺序、例题、习题和考试材料。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.06SC 系统讲解特征值、特征向量、对角化、微分方程和对称矩阵，是本章计算方法与结构结论的主要延伸材料。

书籍 · 2019

Interactive Linear Algebra

Dan Margalit, Joseph Rabinoff

章节含几何解释、交互图、例题、练习提示和部分解答，可用于交叉核对本册六章的代数与几何主线。

打开官方来源

Georgia Tech 的 Interactive Linear Algebra 以交互图、例题和证明连接特征空间、重数、对角化与对称矩阵，可用于独立复核本章的判据和几何解释。

下一步

继续学习 奇异值分解，比较特征分解与任意矩形矩阵的主方向；若关注曲率与优化，则进入

正定矩阵 和 Hessian 矩阵。在物理方向，可把特征向量解释为 耦合振子 的简正模。