状态变量把阶数换成维数
高阶标量方程关注一个量及其多阶导数；状态空间把这些量并列为坐标。对
y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = g ( t ) , y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=g(t), y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = g ( t ) , 定义
x 1 = y , x 2 = y ′ , … , x n = y ( n − 1 ) . x_1=y,\quad x_2=y',\quad\ldots,\quad x_n=y^{(n-1)}. x 1 = y , x 2 = y ′ , … , x n = y ( n − 1 ) . 便得到一阶系统
x ′ = A x + b ( t ) , \mathbf x'=A\mathbf x+\mathbf b(t), x ′ = A x + b ( t ) , 其中伴随矩阵的前 n − 1 n-1 n − 1 x k + 1 x_{k+1} x k + 1 x k ′ x_k' x k ′ ( − a 0 , − a 1 , … , − a n − 1 ) (-a_0,-a_1,\ldots,-a_{n-1}) ( − a 0 , − a 1 , … , − a n − 1 ) b = ( 0 , … , 0 , g ) T \mathbf b=(0,\ldots,0,g)^{\mathsf T} b = ( 0 , … , 0 , g ) T
自治系统、平衡点与轨道
自治系统写成
x ′ = f ( x ) , \mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x), x ′ = f ( x ) , 右端不显含时间。满足 f ( x ∗ ) = 0 \mathbf f(\mathbf x_*)=\mathbf0 f ( x ∗ ) = 0 x ( 0 ) = x 0 \mathbf x(0)=\mathbf x_0 x ( 0 ) = x 0 x ( t ) \mathbf x(t) x ( t )
相图不直接画 x ( t ) x(t) x ( t ) t t t
矩阵指数是线性流的推进算子
标量方程 x ′ = a x x'=ax x ′ = a x e a t x 0 e^{at}x_0 e a t x 0 A A A
e A t = I + t A + t 2 A 2 2 ! + t 3 A 3 3 ! + ⋯ . e^{At}=I+tA+\frac{t^2A^2}{2!}+\frac{t^3A^3}{3!}+\cdots. e A t = I + t A + 2 ! t 2 A 2 + 3 ! t 3 A 3 + ⋯ . 这个级数对所有有限维矩阵和有限 t t t
d d t e A t = A e A t = e A t A , e A 0 = I . \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A,
\qquad e^{A0}=I. d t d e A t = A e A t = e A t A , e A 0 = I . 因此齐次初值问题 x ′ = A x \mathbf x'=A\mathbf x x ′ = A x x ( 0 ) = x 0 \mathbf x(0)=\mathbf x_0 x ( 0 ) = x 0
x ( t ) = e A t x 0 . \mathbf x(t)=e^{At}\mathbf x_0. x ( t ) = e A t x 0 . 矩阵指数的流性质
对任意常方阵 A A A s , t s,t s , t
e A ( t + s ) = e A t e A s , ( e A t ) − 1 = e − A t . e^{A(t+s)}=e^{At}e^{As},
\qquad (e^{At})^{-1}=e^{-At}. e A ( t + s ) = e A t e A s , ( e A t ) − 1 = e − A t . 所以从时刻 0 0 0 s s s t t t t + s t+s t + s
这里的可逆性不等于稳定性。e A t e^{At} e A t A = P D P − 1 A=PDP^{-1} A = P D P − 1
e A t = P e D t P − 1 , e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}, e A t = P e D t P − 1 , 而 e D t e^{Dt} e D t t k e λ t t^ke^{\lambda t} t k e λ t
特征向量给出不改变方向的模态
若 A v = λ v A\mathbf v=\lambda\mathbf v A v = λ v
x ( t ) = e λ t v \mathbf x(t)=e^{\lambda t}\mathbf v x ( t ) = e λ t v 是一个模态解。实特征向量张成的直线在流下保持不变；轨道沿这条直线趋向或离开原点。若有一组实特征向量 v 1 , … , v n \mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n v 1 , … , v n
x ( t ) = ∑ j = 1 n c j e λ j t v j . \mathbf x(t)=\sum_{j=1}^{n}c_je^{\lambda_jt}\mathbf v_j. x ( t ) = j = 1 ∑ n c j e λ j t v j . 复共轭特征值 α ± i β \alpha\pm i\beta α ± i β e α t e^{\alpha t} e α t β t \beta t βt β \beta β
例 1：两个增长模态形成不稳定节点
求系统
x ′ = ( 3 1 1 3 ) x , x ( 0 ) = ( 1 0 ) . \mathbf x'=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x,
\qquad
\mathbf x(0)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. x ′ = ( 3 1 1 3 ) x , x ( 0 ) = ( 1 0 ) . 矩阵的特征对为
λ 1 = 4 , v 1 = ( 1 , 1 ) T ; λ 2 = 2 , v 2 = ( 1 , − 1 ) T . \lambda_1=4,\quad \mathbf v_1=(1,1)^{\mathsf T};
\qquad
\lambda_2=2,\quad \mathbf v_2=(1,-1)^{\mathsf T}. λ 1 = 4 , v 1 = ( 1 , 1 ) T ; λ 2 = 2 , v 2 = ( 1 , − 1 ) T . 初值分解为 x ( 0 ) = 1 2 v 1 + 1 2 v 2 \mathbf x(0)=\frac12\mathbf v_1+\frac12\mathbf v_2 x ( 0 ) = 2 1 v 1 + 2 1 v 2
x ( t ) = 1 2 e 4 t v 1 + 1 2 e 2 t v 2 . \mathbf x(t)=\frac12e^{4t}\mathbf v_1+
\frac12e^{2t}\mathbf v_2. x ( t ) = 2 1 e 4 t v 1 + 2 1 e 2 t v 2 . 即
x 1 ( t ) = e 4 t + e 2 t 2 , x 2 ( t ) = e 4 t − e 2 t 2 . x_1(t)=\frac{e^{4t}+e^{2t}}2,\qquad
x_2(t)=\frac{e^{4t}-e^{2t}}2. x 1 ( t ) = 2 e 4 t + e 2 t , x 2 ( t ) = 2 e 4 t − e 2 t . 两个特征值均为正，除原点外的轨道都随正时间离开原点。一般轨道最终与增长更快的 v 1 \mathbf v_1 v 1
迹、行列式与二维分类表
设实二阶矩阵
A = ( a b c d ) , τ = tr A = a + d , Δ = det A = a d − b c . A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},
\qquad
\tau=\operatorname{tr}A=a+d,
\qquad
\Delta=\det A=ad-bc. A = ( a c b d ) , τ = tr A = a + d , Δ = det A = a d − b c . 特征多项式为
λ 2 − τ λ + Δ = 0 , \lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0, λ 2 − τ λ + Δ = 0 , 判别式记为 D = τ 2 − 4 Δ D=\tau^2-4\Delta D = τ 2 − 4Δ τ \tau τ Δ \Delta Δ
孤立二维线性平衡点分类
对系统 x ′ = A x \mathbf x'=A\mathbf x x ′ = A x
Δ < 0 \Delta<0 Δ < 0 Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 D > 0 D>0 D > 0 τ < 0 \tau<0 τ < 0 τ > 0 \tau>0 τ > 0 Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 D < 0 D<0 D < 0 τ < 0 \tau<0 τ < 0 τ > 0 \tau>0 τ > 0 τ = 0 \tau=0 τ = 0 Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 D = 0 D=0 D = 0 λ = τ / 2 \lambda=\tau/2 λ = τ /2 A = λ I A=\lambda I A = λ I t e λ t te^{\lambda t} t e λ t Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0
证明
分类来自二次方程的根。Δ < 0 \Delta<0 Δ < 0 Δ > 0 , D ≥ 0 \Delta>0,D\ge0 Δ > 0 , D ≥ 0 τ \tau τ D < 0 D<0 D < 0 τ / 2 ± i − D / 2 \tau/2\pm i\sqrt{-D}/2 τ /2 ± i − D /2 τ / 2 \tau/2 τ /2 e λ t e^{\lambda t} e λ t
例 2：鞍点的稳定线与不稳定线
考虑
A = ( 1 2 2 1 ) . A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}. A = ( 1 2 2 1 ) . τ = 2 \tau=2 τ = 2 Δ = − 3 < 0 \Delta=-3<0 Δ = − 3 < 0
λ u = 3 , v u = ( 1 , 1 ) T ; λ s = − 1 , v s = ( 1 , − 1 ) T . \lambda_u=3,\quad\mathbf v_u=(1,1)^{\mathsf T};
\qquad
\lambda_s=-1,\quad\mathbf v_s=(1,-1)^{\mathsf T}. λ u = 3 , v u = ( 1 , 1 ) T ; λ s = − 1 , v s = ( 1 , − 1 ) T . 通解为
x = c u e 3 t v u + c s e − t v s . \mathbf x=c_ue^{3t}\mathbf v_u+c_se^{-t}\mathbf v_s. x = c u e 3 t v u + c s e − t v s . 初值若恰在 v s \mathbf v_s v s v u \mathbf v_u v u
旋转方向、零斜线与相图骨架
二维系统
x ′ = a x + b y , y ′ = c x + d y x'=ax+by,\qquad y'=cx+dy x ′ = a x + b y , y ′ = c x + d y 的 x x x a x + b y = 0 ax+by=0 a x + b y = 0 y y y c x + d y = 0 cx+dy=0 c x + d y = 0 x ′ , y ′ x',y' x ′ , y ′
画相图时可按以下顺序：先找平衡点；再求特征值确定类型；实特征值情形画出特征线；复根情形在坐标轴上的简单点代入向量场确定顺时针或逆时针；最后补若干不相交轨道与时间箭头。坐标比例会改变图形看起来的圆扁程度，却不改变拓扑类型。
例 3：由矩阵分解读出稳定螺旋
设
A = ( − 1 − 2 2 − 1 ) = − I + 2 J , J = ( 0 − 1 1 0 ) , J 2 = − I . A=\begin{pmatrix}-1&-2\\2&-1\end{pmatrix}
=-I+2J,
\qquad
J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},
\quad J^2=-I. A = ( − 1 2 − 2 − 1 ) = − I + 2 J , J = ( 0 1 − 1 0 ) , J 2 = − I . 因为 I I I J J J
e A t = e − t e 2 t J = e − t ( cos 2 t − sin 2 t sin 2 t cos 2 t ) . e^{At}=e^{-t}e^{2tJ}
=e^{-t}\begin{pmatrix}
\cos2t&-\sin2t\\
\sin2t&\cos2t
\end{pmatrix}. e A t = e − t e 2 t J = e − t ( cos 2 t sin 2 t − sin 2 t cos 2 t ) . 对初值 ( 1 , 0 ) T (1,0)^{\mathsf T} ( 1 , 0 ) T
x ( t ) = e − t cos 2 t , y ( t ) = e − t sin 2 t . x(t)=e^{-t}\cos2t,\qquad y(t)=e^{-t}\sin2t. x ( t ) = e − t cos 2 t , y ( t ) = e − t sin 2 t . 半径为 x 2 + y 2 = e − t \sqrt{x^2+y^2}=e^{-t} x 2 + y 2 = e − t 2 t 2t 2 t ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( − 1 , 2 ) (-1,2) ( − 1 , 2 )
仿射系统先平移平衡点
常外力系统
x ′ = A x + b \mathbf x'=A\mathbf x+\mathbf b x ′ = A x + b 的平衡点满足 A x ∗ + b = 0 A\mathbf x_*+\mathbf b=0 A x ∗ + b = 0 A A A x ∗ = − A − 1 b \mathbf x_*=-A^{-1}\mathbf b x ∗ = − A − 1 b u = x − x ∗ \mathbf u=\mathbf x-\mathbf x_* u = x − x ∗ u ′ = A u \mathbf u'=A\mathbf u u ′ = A u A A A x ∗ \mathbf x_* x ∗
若 A A A − A − 1 b -A^{-1}\mathbf b − A − 1 b
对随时间变化的外力 b ( t ) \mathbf b(t) b ( t )
x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x 0 + ∫ t 0 t e A ( t − s ) b ( s ) d s . \mathbf x(t)=e^{A(t-t_0)}\mathbf x_0+
\int_{t_0}^{t}e^{A(t-s)}\mathbf b(s)\,\mathrm ds. x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x 0 + ∫ t 0 t e A ( t − s ) b ( s ) d s . 第一项是自由响应，积分项累计每一时刻输入经过剩余时间传播后的贡献。若 A A A
稳定性结论与非线性边界
稳定、渐近稳定与不稳定
平衡点 x ∗ \mathbf x_* x ∗ x ( t ) → x ∗ \mathbf x(t)\to\mathbf x_* x ( t ) → x ∗
对常系数线性系统，所有特征值实部严格为负，当且仅当原点渐近稳定；只要有一个特征值实部为正，原点不稳定。若实部全不为零，称平衡点为双曲型，分类对充分小的矩阵扰动保持不变。
实部为零需要单独处理。纯虚且可对角化的二维线性系统形成中心，轨道有界但不趋向原点；零特征值可能产生平衡点直线；纯虚或零特征值若带非平凡 Jordan 块，还会出现多项式增长。对非线性系统，线性化出现纯虚或零特征值时通常不能下结论。例如线性中心加入很小的非线性项后，可能变成弱稳定螺旋、弱不稳定螺旋或保留闭轨。下一章的 Lyapunov 方法和分岔分析正是为这些边界情形准备的。
练习：从矩阵到轨道
练习 1：把简谐方程写成相平面系统
所属知识 状态变量
难度 2/5 把 y ′ ′ + 4 y = 0 y''+4y=0 y ′′ + 4 y = 0 4 x 1 2 + x 2 2 4x_1^2+x_2^2 4 x 1 2 + x 2 2
查看提示 取
x 1 = y , x 2 = y ′ x_1=y,x_2=y' x 1 = y , x 2 = y ′ ，再寻找一个沿轨道守恒的二次式。
查看解答 令 x 1 = y , x 2 = y ′ x_1=y,x_2=y' x 1 = y , x 2 = y ′
( x 1 ′ x 2 ′ ) = ( 0 1 − 4 0 ) ( x 1 x 2 ) . \begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&1\\-4&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}. ( x 1 ′ x 2 ′ ) = ( 0 − 4 1 0 ) ( x 1 x 2 ) . 特征方程为 λ 2 + 4 = 0 \lambda^2+4=0 λ 2 + 4 = 0 ± 2 i \pm2i ± 2 i
d d t ( 4 x 1 2 + x 2 2 ) = 8 x 1 x 2 + 2 x 2 ( − 4 x 1 ) = 0. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(4x_1^2+x_2^2)
=8x_1x_2+2x_2(-4x_1)=0. d t d ( 4 x 1 2 + x 2 2 ) = 8 x 1 x 2 + 2 x 2 ( − 4 x 1 ) = 0. 非平衡轨道位于椭圆 4 x 1 2 + x 2 2 = C > 0 4x_1^2+x_2^2=C>0 4 x 1 2 + x 2 2 = C > 0
练习 2：用迹与行列式分类
所属知识 二维分类
难度 3/5 分类系统
x ′ = ( 2 − 5 1 − 2 ) x , \mathbf x'=\begin{pmatrix}2&-5\\1&-2\end{pmatrix}\mathbf x, x ′ = ( 2 1 − 5 − 2 ) x , 并判断轨道在点 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 )
查看提示 计算
τ , Δ , D \tau,\Delta,D τ , Δ , D ，再在点
( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 处判断旋转方向。
查看解答 τ = 0 \tau=0 τ = 0 Δ = 2 ( − 2 ) − ( − 5 ) ( 1 ) = 1 \Delta=2(-2)-(-5)(1)=1 Δ = 2 ( − 2 ) − ( − 5 ) ( 1 ) = 1 D = − 4 < 0 D=-4<0 D = − 4 < 0 ± i \pm i ± i ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) x x x
练习 3：缺陷重根与矩阵指数
所属知识 Jordan 块
难度 3/5 求
A = ( − 1 1 0 − 1 ) A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix} A = ( − 1 0 1 − 1 ) 的 e A t e^{At} e A t x ( 0 ) = ( 0 , 1 ) T \mathbf x(0)=(0,1)^{\mathsf T} x ( 0 ) = ( 0 , 1 ) T
查看提示 把矩阵写成
− I + N -I+N − I + N ，其中
N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 。
查看解答 写成 A = − I + N A=-I+N A = − I + N
N = ( 0 1 0 0 ) , N 2 = 0. N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=0. N = ( 0 0 1 0 ) , N 2 = 0. 于是
e A t = e − t ( I + t N ) = e − t ( 1 t 0 1 ) . e^{At}=e^{-t}(I+tN)=e^{-t}
\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}. e A t = e − t ( I + tN ) = e − t ( 1 0 t 1 ) . 对给定初值，
x ( t ) = e − t ( t , 1 ) T . \mathbf x(t)=e^{-t}(t,1)^{\mathsf T}. x ( t ) = e − t ( t , 1 ) T . 虽有线性因子 t t t
练习 4：平移仿射系统的平衡点
所属知识 常外力
难度 3/5 考虑
x ′ = y , y ′ = − 2 x − 3 y + 2. x'=y,\qquad y'=-2x-3y+2. x ′ = y , y ′ = − 2 x − 3 y + 2. 求平衡点并分类，说明附近轨道的长期去向。
查看提示 先解
A x ∗ + b = 0 A\mathbf x_*+\mathbf b=0 A x ∗ + b = 0 ，再令
u = x − x ∗ \mathbf u=\mathbf x-\mathbf x_* u = x − x ∗ 。
查看解答 平衡条件给出 y ∗ = 0 y_*=0 y ∗ = 0 − 2 x ∗ + 2 = 0 -2x_*+2=0 − 2 x ∗ + 2 = 0 x ∗ = ( 1 , 0 ) \mathbf x_*=(1,0) x ∗ = ( 1 , 0 )
A = ( 0 1 − 2 − 3 ) , A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}, A = ( 0 − 2 1 − 3 ) , 特征多项式为 λ 2 + 3 λ + 2 = ( λ + 1 ) ( λ + 2 ) \lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2) λ 2 + 3 λ + 2 = ( λ + 1 ) ( λ + 2 ) ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) u = x − 1 , v = y u=x-1,v=y u = x − 1 , v = y ( u ′ , v ′ ) T = A ( u , v ) T (u',v')^{\mathsf T}=A(u,v)^{\mathsf T} ( u ′ , v ′ ) T = A ( u , v ) T ( x ( t ) , y ( t ) ) → ( 1 , 0 ) (x(t),y(t))\to(1,0) ( x ( t ) , y ( t )) → ( 1 , 0 )
从模态进入非线性稳定性
课程 · 2011 MIT 18.03SC Differential Equations Arthur Mattuck, Haynes Miller
为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 18.03SC 包含线性系统、矩阵指数和相平面单元，可用于核对节点、鞍点、螺旋点与中心的典型轨道。
书籍 · 2016 Calculus Volume 2 Gilbert Strang, Edwin Herman
用于核对数列与级数的收敛条件、积分技巧、反常积分和幂级数例题。
打开官方来源 OpenStax《Calculus Volume 2》的微分方程材料提供从二阶方程到振动模型的基础背景，适合复习状态变量所对应的原始标量问题。
矩阵指数描述完整的线性时间推进，特征值给出增长率和旋转率，特征向量给出不变方向，迹与行列式则把二维分类压缩为可复算的代数量。双曲平衡点的线性图景稳健；纯虚或零实部落在边界上，必须引入非线性项、Lyapunov 函数和参数变化继续判断。