数值积分与数值微分：离散公式、误差阶与步长平衡

连续算子如何变成有限次函数求值

定积分 $I(f)=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$ 汇总一整段函数值，导数 $f'(x)$ 则描述无限小尺度上的局部变化。计算机通常只能取得有限精度的有限个函数值，因此必须用离散公式近似这两个连续算子。数值求积写成

其中节点和权重决定公式；数值微分则把邻近点的函数值作线性组合再除以步长。

两者都可从局部插值出发，却有不同的误差敏感性。积分会平均局部扰动，微分要相减近邻值并除以小数，容易放大舍入与测量噪声。评价公式时不能只报告“理论阶数”，还要说明函数光滑性、步长、数据精度和误差测量方式。

线性插值导出梯形公式

在区间 $[a,b]$ 上令 $H=b-a$。通过端点的线性插值为

积分两个基函数，各自面积都是 $H/2$，得到梯形公式

若 $f\in C^2[a,b]$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使

凸函数满足 $f''\ge0$，弦位于图像上方，所以梯形面积偏大，即 $I-T\le0$，与误差公式符号一致。梯形公式对一次以下多项式精确；二次项通常产生非零误差。

梯形网格加密对二次函数的误差缩减

计算 $I=\int_0^1x^2\,\mathrm dx=1/3$。单个梯形给出

$$T_1=\frac12[f(0)+f(1)]=\frac12,$$

故 $T_1-I=1/6$。把区间分成两段，步长 $h=1/2$，复合梯形为

$$T_2=\frac12\left[\frac12f(0)+f(1/2)+\frac12f(1)\right] =\frac12\left(0+\frac14+\frac12\right) =\frac38.$$

此时 $T_2-I=1/24$，恰为原误差的四分之一。因为 $f''=2$ 为常数，二阶全局误差关系在此不是近似比例，而是精确比例。

二次插值导出 Simpson 公式

取端点 $a,b$ 和中点 $m=(a+b)/2$，对三点二次插值后积分，得到

权重 $1:4:1$ 来自 Lagrange 基函数的积分，不是经验配比。虽然由二次插值推导，Simpson 公式对三次多项式也精确：对称节点会使相应奇次误差积分抵消。若 $f\in C^4[a,b]$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使

四次多项式揭示 Simpson 的首个误差项

对 $f(x)=x^4$ 在 $[0,1]$ 上求积。真实积分为 $I=1/5$，Simpson 公式给出

$$S=\frac16\left[f(0)+4f(1/2)+f(1)\right] =\frac16\left(0+\frac14+1\right) =\frac5{24}.$$

所以

$$I-S=\frac15-\frac5{24}=-\frac1{120}.$$

另一方面，$f^{(4)}=24$，误差公式给 $-24/2880=-1/120$，完全相符。若改为任意三次以下多项式，四阶导数为零，Simpson 结果精确。

复合求积把局部公式铺满区间

在等距网格 $x_i=a+ih$ 上，$h=(b-a)/n$。复合梯形公式为

若 $f\in C^2[a,b]$，则

对某个 $\xi\in(a,b)$ 成立；因此固定区间上全局误差为 $O(h^2)$。局部每段误差是 $O(h^3)$，约有 $(b-a)/h$ 段，相加后成为二阶。

复合 Simpson 要求 $n$ 为偶数，把相邻两个子区间配成一组：

若 $f\in C^4[a,b]$，则

故全局误差为 $O(h^4)$。步长减半时，渐近区内梯形误差约缩为四分之一，Simpson 误差约缩为十六分之一。这是经验阶检验：若实测比例长期不接近理论值，可能是网格尚粗、光滑性不足、舍入占主导或实现权重有误。

非等距网格不能直接套用上述统一 $h$ 的复合权重。端点存在奇性或函数在局部快速变化时，均匀加密也可能浪费求值；分区、变量代换或自适应求积更合适。误差阶从来附带正则性和网格假设。

Taylor 展开导出前向与中心差分

在 $x$ 附近展开

移项并除以 $h$，得到前向差分

所以一般只有一阶精度。再写出 $f(x-h)$ 的展开，用正向式减去反向式，偶次项抵消：

中心差分为二阶。把两式相加则得到二阶导数公式

公式位于区间内部时可使用对称节点；靠近边界没有区间外数据，往往要用单边差分或额外边界条件。单边与中心公式不能只凭相同点数互换，因为它们的对称性和误差阶不同。

Richardson 外推消去主误差项

若某个近似满足

则步长减半时 $A(h/2)=L+c h^p/2^p+O(h^{p+q})$。线性组合

消去 $ch^p$。中心差分有 $p=2$，在足够光滑且对称展开成立时，

把二阶误差提升到四阶。外推依赖已知误差展开；若函数不够光滑、两个步长使用不同数据噪声，或已经进入舍入主导区，代数组合不会自动改善结果。

中心差分与 Richardson 外推求 cos 0

对 $f(x)=\sin x$ 在 $x=0$ 求导，真值为一。中心差分化为

$$D_h^0=\frac{\sin h-\sin(-h)}{2h}=\frac{\sin h}{h}.$$

取弧度步长 $h=0.2$ 与 $h/2=0.1$，

$$D_{0.2}^0\approx0.993346654,\qquad D_{0.1}^0\approx0.998334166.$$

Richardson 外推给出

$$R(0.2) =\frac{4(0.998334166)-0.993346654}{3} \approx0.999996670.$$

原来的绝对误差分别约为 $6.65\times10^{-3}$ 和 $1.67\times10^{-3}$，外推后约为 $3.33\times10^{-6}$。结果接近一，也符合中心差分主误差随 $h^2$ 缩小的方向。

步长过小会放大舍入和测量噪声

只看 Taylor 截断误差，减小 $h$ 似乎总是有利。但差分分子是两个接近数之差。若观测值为 $\widetilde f(x\pm h)=f(x\pm h)+e_\pm$，且 $|e_\pm|\le\delta$，则中心差分中的数据误差满足

步长缩小十倍，这个最坏上界放大十倍。浮点求值也有类似行为：若两个函数值量级约为 $|f(x)|$，舍入贡献常可粗略写成 $C_ru|f(x)|/h$，其中 $u$ 是单位舍入误差、$C_r$ 与求值和运算细节有关。

中心差分的总误差可用简化模型

理解。第一项是截断误差，随 $h$ 减小；第二项是数据或舍入误差，随 $h$ 减小反而增大。二者平衡给出的最优尺度约满足 $h^3\asymp\delta/C_t$，而不是“取机器能表示的最小正数”。实际计算可逐步减半步长，观察结果先稳定后抖动的转折，并用高精度或独立公式复核。

相同测量误差在两个步长下的放大

假设每个函数观测的绝对误差不超过 $10^{-6}$。中心差分的数据误差上界为 $10^{-6}/h$。当 $h=10^{-2}$ 时，上界为 $10^{-4}$；当 $h=10^{-5}$ 时，上界变为 $10^{-1}$。

后一个步长小了一千倍，却允许导数误差放大到前者的一千倍。若真实导数的量级为一，$0.1$ 已不可忽略。这个例子没有声称误差每次都达到上界；它说明在缺少误差相关性信息时，极小步长无法保证更准。

求积也要检查舍入、奇性与停止准则

积分不像微分那样直接除以小步长，但极细网格会增加函数求值和加法次数。大量同号或异号项累加可能产生舍入，函数若在端点附近有奇性，经典光滑误差公式也不再适用。对振荡积分，粗网格还可能把正负振荡错误混叠成看似稳定的结果。

自适应求积通常比较同一区间上两个不同阶或不同细化程度的估计，再优先细分误差指示大的区间。停止条件要同时包含绝对与相对容差，例如

差值是误差估计而非真误差；若两个公式因同一欠采样而给出相近错误结果，仍可能误判收敛。改变节点布局、作变量代换或与已知界比较能提供独立证据。

理论四阶意味着任意步长都比二阶公式准确

误差阶只描述 $h\to0$ 且截断误差主导时的渐近斜率。四阶公式可能有更大的常数、需要更多函数值，并可能更早受到噪声或舍入限制。具体误差必须通过网格序列验证。

差分步长越小，导数越接近真值

截断误差会减小，数据误差和消去后的舍入误差却大致按 $1/h$ 放大。真实误差通常呈先降后升的形状，存在与函数尺度、数据精度相关的有效步长区间。

练习：求积、差分与误差平衡

练习 1：梯形与 Simpson 的代数精确性标记完成

所属知识

基本求积公式

难度

2/5

用单个梯形公式和 Simpson 公式计算 $\int_0^2x^3\,\mathrm dx$，并与精确值比较。

查看提示

中点为 1，分别代入权重 1:1 与 1:4:1。

查看解答

精确积分为 $[x^4/4]_0^2=4$。梯形公式给

$$T=\frac22[f(0)+f(2)]=8,$$

误差为四。Simpson 公式给

$$S=\frac26[f(0)+4f(1)+f(2)] =\frac13(0+4+8)=4.$$

三次函数被 Simpson 精确积分，而梯形只保证对一次以下多项式精确。

练习 2：复合梯形的二阶缩放标记完成

所属知识

复合求积

难度

3/5

用四个等长子区间的复合梯形公式计算 $\int_0^1x^2\,\mathrm dx$。求误差，并与两个子区间时的误差 $1/24$ 比较。

查看提示

列出 0、1/4、1/2、3/4、1 五个节点的平方。

查看解答

$h=1/4$，函数值为 $0,1/16,1/4,9/16,1$，故

$$T_4=\frac14\left(0+\frac1{16}+\frac14+\frac9{16}+\frac12\right) =\frac{11}{32}.$$

由于真值为 $1/3$，

$$T_4-I=\frac{11}{32}-\frac13=\frac1{96}.$$

$1/96$ 正好是 $1/24$ 的四分之一，与步长减半时二阶误差缩小四倍一致。

练习 3：对三次函数作 Richardson 消项标记完成

所属知识

数值微分

难度

3/5

对 $f(x)=x^3$ 在 $x=1$ 求导。分别计算中心差分 $D_{0.2}^0,D_{0.1}^0$，再作一次 Richardson 外推。

查看提示

先把 $(1+h)^3-(1-h)^3$ 展开，中心差分只剩 $3+h^2$。

查看解答

直接展开得

$$D_h^0=\frac{(1+h)^3-(1-h)^3}{2h}=3+h^2.$$

所以 $D_{0.2}^0=3.04$，$D_{0.1}^0=3.01$。外推为

$$\frac{4(3.01)-3.04}{3}=3,$$

恰等于 $f'(1)=3$。这是因为误差只有 $h^2$ 项，一次外推将其完全消去。

练习 4：截断与噪声的最优尺度标记完成

所属知识

步长选择

难度

4/5

设中心差分总误差的估计模型为

$$E(h)=\frac{h^2}{6}+\frac{10^{-8}}h, \qquad h>0.$$

求使该模型最小的步长，并估计最小误差。

查看提示

对 $E(h)=h^2/6+10^{-8}/h$ 求导，并令导数为零。

查看解答

求导得

$$E'(h)=\frac h3-\frac{10^{-8}}{h^2}.$$

令其为零得到 $h^3=3\times10^{-8}$，所以

$$h_*=(3\times10^{-8})^{1/3}\approx3.107\times10^{-3}.$$

代回可得

$$E(h_*)\approx\frac{(3.107\times10^{-3})^2}{6} +\frac{10^{-8}}{3.107\times10^{-3}} \approx4.83\times10^{-6}.$$

$E''(h)=1/3+2\times10^{-8}/h^3>0$，所以这是唯一极小值。继续减小步长会让第二项主导。

概念之间的承接

• 插值、多项式逼近与样条 提供可积分、可求导的局部多项式，也是 Newton–Cotes 权重和差分系数的来源。
• 积分与累积 给出求积要逼近的连续算子和微积分基本定理。
• 导数与微分 提供 Taylor 展开、截断误差和差分目标。
• 浮点数、条件数与误差传播 解释消去性相减、单位舍入误差以及极小步长下的数值不稳定。
• 常微分与偏微分方程数值方法 将有限差分用于时间和空间导数，把局部离散误差传播到整条数值轨道。

进一步学习资源

课程 · 2012

Introduction to Numerical Analysis

Laurent Demanet

用于核对 M10 各类算法的误差阶、稳定性条件、停止准则和可复算例题。

打开官方来源

MIT 数值分析课程系统覆盖插值求积、误差估计、外推与微分方程离散。阅读算法时可用本章的四项记录表复算：节点和权重、光滑性假设、主误差阶、网格加密比。

书籍 · 2016

Calculus Volume 1

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对基础微积分定义、定理条件、分步例题与练习。

打开官方来源

OpenStax Calculus Volume 1 可用于核对 Taylor 型局部展开、导数和定积分计算。数值公式额外引入了有限精度与离散数据，因此解析公式正确只是起点，还要检查步长和舍入。

下一章：离散微分方程中的稳定性

有限差分给出了导数的局部近似，却没有保证把它反复用于时间推进后仍然可靠。下一章把差分嵌入常微分和偏微分方程，区分一致性、稳定性与收敛性，并比较显式方法的步长限制和隐式方法的线性求解成本。