谱、预解式与紧自伴谱定理

从“找特征值”到“检查可逆性”

有限维矩阵的特征值由行列式方程给出；无限维空间通常没有行列式，而且即使 $T-\lambda I$ 没有非零核，它仍可能不是满射，或逆映射不连续。因此算子理论把问题改写为：对哪些复数 $\lambda$，方程

对每个 $y$ 都有唯一且稳定的解？“唯一”排除核，“对每个 $y$”要求满射，“稳定”要求逆算子有界。失败的全部参数组成谱。这个定义既包含普通特征值，也捕捉没有特征向量却仍不能稳定求解的连续谱现象。

预解集、谱与预解算子

设 $X$ 是复 Banach 空间，$T\in\mathcal B(X)$。若 $T-\lambda I:X\to X$ 双射且逆映射有界，就称 $\lambda$ 属于预解集 $\rho(T)$，并记

$$R_T(\lambda)=(T-\lambda I)^{-1}.$$

补集 $\sigma(T)=\mathbb C\setminus\rho(T)$ 称为 $T$ 的谱。若 $\ker(T-\lambda I)\ne\{0\}$，则 $\lambda$ 属于点谱 $\sigma_p(T)$，也就是特征值。若 $T-\lambda I$ 单射、值域稠密但不满，则常称 $\lambda$ 呈现连续谱现象；若值域不稠密，则呈现剩余谱现象。

因为定义域和值域都是 Banach 空间，若 $T-\lambda I$ 是有界双射，开映射定理保证其逆自动有界。定义里保留“有界逆”是为了显示稳定性，也提醒我们：在不完备空间或无界算子的定义域上，不能未经检查就省略这一项。实 Banach 空间的谱论通常先把空间和算子复化；“谱必非空”本质上使用复数域，在实数域直接照搬会失败，例如平面旋转没有实特征值。

预解式与谱的范围

当 $|\lambda|>\|T\|$ 时，

级数在算子范数下绝对收敛，所以圆盘外全在预解集内。更一般地，若 $\lambda_0\in\rho(T)$ 且 $|\lambda-\lambda_0|\,\|R_T(\lambda_0)\|<1$，则

仍可用 Neumann 级数求逆。因此预解集是开集，谱是闭集。

复 Banach 空间中有界算子的谱非空且紧

若 $X\ne\{0\}$ 是复 Banach 空间且 $T\in\mathcal B(X)$，则 $\sigma(T)$ 是非空紧集，并且

$$\sigma(T)\subseteq\{\lambda\in\mathbb C:|\lambda|\le\|T\|\}.$$

证明

前面的 Neumann 级数给出圆盘包含关系；预解集开放又说明谱闭，因此谱若非空就是闭有界集，从而在复平面中紧。只需排除空谱。反设 $\rho(T)=\mathbb C$。固定 $x\in X$ 与 $f\in X^*$，标量函数 $g(\lambda)=f(R_T(\lambda)x)$ 在整个复平面解析。圆盘外的 Neumann 展开说明 $g(\lambda)\to0$；在任一固定闭圆盘上，解析函数连续因而有界，所以 $g$ 在全平面有界。Liouville 定理推出 $g$ 恒为零。Hahn–Banach 定理说明连续线性泛函能分离非零向量，于是对每个 $x$ 都有 $R_T(\lambda)x=0$，即 $R_T(\lambda)=0$，这与它是 $T-\lambda I$ 的逆矛盾。故谱非空。这里的复解析论与复标量域都是不可删除的条件。

谱半径 $r(T)=\sup\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)\}$ 总满足 $r(T)\le\|T\|$，但等号对一般算子不一定成立；不能把矩阵中某些正规情形的结论当作定义。

点谱之外：乘法算子的连续现象

例 1：没有特征值却有整段谱

在 $H=L^2([0,1])$ 上定义 $(Mf)(t)=t f(t)$。它有界且自伴，$\|M\|=1$。若 $Mf=\lambda f$，则 $(t-\lambda)f(t)=0$ 几乎处处；单点集合测度为零，所以任何 $\lambda$ 都只能得到 $f=0$，点谱为空。

若 $\lambda\notin[0,1]$，函数 $(t-\lambda)^{-1}$ 有界，故 $(M-\lambda I)^{-1}g=g/(t-\lambda)$ 是有界逆。若 $\lambda\in[0,1]$，取支撑在 $[\lambda-1/n,\lambda+1/n]\cap[0,1]$ 上并归一化的 $f_n$，则 $\|f_n\|_2=1$ 而 $\|(M-\lambda I)f_n\|_2\le1/n$。如果逆有界，就应有 $1\le C/n$，矛盾。因此 $\sigma(M)=[0,1]$，却没有任何特征向量。这个例子已经表明：一般有界自伴算子不能总写成可数特征向量和。

紧自伴性如何把谱离散化

以下令 $H$ 为复 Hilbert 空间，$K\in\mathcal B(H)$ 同时紧且自伴。若 $Kx=\lambda x$、$x\ne0$，则

所以 $\lambda$ 为实数。若 $Kx=\lambda x$、$Ky=\mu y$ 且 $\lambda\ne\mu$，则

故 $x\perp y$。

紧自伴算子的谱结构

设 $K$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上的紧自伴算子。则：

1. 每个非零谱点都是实特征值；
2. 每个非零特征值的特征空间有限维；
3. 非零特征值至多可数，且若无限，零是它们唯一可能的聚点；
4. 取各非零特征空间的标准正交基 $(e_j)$，则它们张成 $(\ker K)^\perp$，并且对每个 $x\in H$，

$$Kx=\sum_j\lambda_j\langle x,e_j\rangle e_j,$$

其中级数在 $H$ 的范数下收敛。再给 $\ker K$ 选取标准正交基，就得到整个 $H$ 的标准正交基。

证明

先说明非零谱点为何必是特征值。固定实数 $\lambda\ne0$。若 $K-\lambda I$ 单射且有下界 $\|(K-\lambda I)x\|\ge c\|x\|$，其值域闭。自伴性给出 $\overline{\operatorname{Ran}(K-\lambda I)}=\ker(K-\lambda I)^\perp=H$，所以值域既闭又稠密，等于 $H$；此时逆有界，$\lambda$ 在预解集。故谱中的非零 $\lambda$ 若不是已知特征值，就必存在单位向量 $x_n$ 使 $(K-\lambda I)x_n\to0$。紧性使 $Kx_n$ 有收敛子列，而 $\lambda x_n=Kx_n-(K-\lambda I)x_n$ 同样收敛；因 $\lambda\ne0$，$x_n$ 的该子列趋于某个单位向量 $x$，连续性给出 $(K-\lambda I)x=0$，矛盾。因此它必是特征值。

若非零特征值 $\lambda$ 的特征空间无限维，可在其中取标准正交列 $(u_n)$。则 $Ku_n=\lambda u_n$，而 $\|Ku_n-Ku_m\|=\sqrt2|\lambda|$，没有 Cauchy 子列，违背紧性。因此重数有限。不同特征值的单位特征向量正交；若存在彼此不同的 $\lambda_n$ 且 $|\lambda_n|\ge\varepsilon>0$，则对应 $u_n$ 满足 $\|Ku_n-Ku_m\|=(|\lambda_n|^2+|\lambda_m|^2)^{1/2}\ge\sqrt2\varepsilon$，再次违背紧性。因此每个离零有正距离的区间只含有限多个特征值，非零谱至多可数，零是唯一可能聚点。

最后令 $M$ 为全部非零特征向量的闭线性包。自伴性使 $M^\perp$ 对 $K$ 不变。紧自伴算子若在某个不变子空间上的限制非零，可由单位球上 $|\langle Kx,x\rangle|$ 的极值论证得到一个非零特征向量；因此 $K|_{M^\perp}$ 只能为零，亦即 $M^\perp=\ker K$。对 $x$ 在 $M\oplus\ker K$ 中作正交展开，$K$ 消去核分量并逐项乘以 $\lambda_j$，即得公式。收敛性也可由有限部分和尾项估计 $\sum_j|\lambda_j|^2|\langle x,e_j\rangle|^2\le\|K\|^2\|x\|^2$ 得到。

例 2：ℓ² 上的对角紧算子

在 $\ell^2$ 上令

$$K(x_1,x_2,\ldots)=\left(x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\ldots\right).$$

标准基 $e_n$ 是特征向量，特征值为 $1/n$。有限秩截断 $K_Nx=(x_1,x_2/2,\ldots,x_N/N,0,\ldots)$ 满足 $\|K-K_N\|=1/(N+1)\to0$，所以 $K$ 是紧算子。它自伴、单射，因而零不是特征值；但 $1/n\to0$，谱闭性迫使 $0\in\sigma(K)$。事实上值域稠密却不等于整个 $\ell^2$：序列 $(1/n)$ 属于 $\ell^2$，若它等于 $Kx$，就需 $x_n=1$，而该序列不在 $\ell^2$。因此零在这里是连续谱点，显示“紧自伴算子的谱由特征值组成”必须保留“非零”二字。

例 3：秩一算子的完整谱分解

固定 $u\in H$ 且 $u\ne0$，定义 $Kx=\langle x,u\rangle u$。它的值域是一维，故紧；并且 $\langle Kx,y\rangle=\langle x,u\rangle\langle u,y\rangle=\langle x,Ky\rangle$，故自伴。向量 $u$ 对应特征值 $\|u\|^2$，而 $u^\perp=\ker K$ 对应特征值零。因此

$$x=\frac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}u+x_0, \qquad Kx=\|u\|^2\frac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}u,$$

其中 $x_0\perp u$。谱恰为 $\{0,\|u\|^2\}$；若 $H$ 恰好一维，则零不在谱中。最后这个维数边界也不能省略。

与一般有界自伴谱定理的区别

紧自伴定理是一般谱定理的离散版本。对任意有界自伴算子 $A$，正确的一般形式是存在定义在实谱上的投影值测度 $E$，使

这里的积分可以包含连续部分，并不保证存在特征向量基。乘法算子 $Mf(t)=tf(t)$ 正是连续部分的模型。只有加入紧性后，除零外的谱才由有限重数特征值组成，投影值积分才退化为可数正交和。反过来，“自伴”也不能删除：紧但非正规算子可能有广义特征向量，正交对角化不再成立。

误区与思考实验

第一类误区是把“$T-\lambda I$ 没有核”当成“$\lambda$ 不在谱中”；无限维还必须检查值域与逆的有界性。第二类误区是说紧算子的所有谱点都是特征值；零可能不是特征值。第三类误区是把紧自伴定理用于一般自伴算子，从而遗漏连续谱。

思考把对角算子的系数从 $1/n$ 改成 $1+1/n$。此时系数不趋零，有限秩截断不再按算子范数逼近原算子，算子也不紧；谱包含聚点 $1$。再把系数改成 $(-1)^n/n$，紧性仍在，非零特征值可以从正负两侧趋于零。决定紧性的不是符号，而是远端坐标上的作用是否统一衰减。

练习

练习 1：对角算子的零谱点标记完成

所属知识

谱与值域

难度

4/5

在 $\ell^2$ 上令 $(Dx)_n=x_n/n^2$。证明 $0\in\sigma(D)$ 但 $0\notin\sigma_p(D)$，并判断 $D$ 的值域是否稠密、是否等于 $\ell^2$。

查看提示

先判断核，再用有限支撑序列证明值域稠密；最后找一个属于 ℓ$^{2}$ 但原像不属于 ℓ$^{2}$ 的序列。

查看解答

若 $Dx=0$，则每个 $x_n=0$，故 $D$ 单射，零不是特征值。每个有限支撑序列 $y$ 都在值域中：令 $x_n=n^2y_n$，它仍有限支撑。因此值域包含稠密子空间 $c_{00}$，所以稠密。取 $y_n=1/n^2$，有 $y\in\ell^2$；若 $Dx=y$，则 $x_n=1$，不属于 $\ell^2$，故不满射。于是 $D$ 不可逆，$0\in\sigma(D)$，并呈现连续谱现象。

练习 2：自伴算子的非实预解估计标记完成

所属知识

预解式

难度

4/5

设 $A$ 是 Hilbert 空间上的有界自伴算子。证明当 $\operatorname{Im}\lambda\ne0$ 时

$$\|(A-\lambda I)x\|\ge|\operatorname{Im}\lambda|\,\|x\|,$$

并由此说明非实数不属于 $\sigma(A)$，且 $\|(A-\lambda I)^{-1}\|\le1/|\operatorname{Im}\lambda|$。

查看提示

对 $(A-\lambda I)x$ 与 x 的内积取虚部，自伴性使 ⟨Ax,x⟩ 为实数。

查看解答

由 Cauchy–Schwarz 不等式，

$$\|(A-\lambda I)x\|\|x\| \ge|\langle(A-\lambda I)x,x\rangle| \ge|\operatorname{Im}\langle(A-\lambda I)x,x\rangle| =|\operatorname{Im}\lambda|\|x\|^2.$$

约去非零的 $\|x\|$ 得下界，所以算子单射且值域闭。其值域的正交补是 $\ker(A-\overline\lambda I)$，同一估计说明该核为零，故值域稠密；闭且稠密即为全空间。于是算子双射，逆算子范数由下界不超过 $1/|\operatorname{Im}\lambda|$。因此自伴算子的谱包含在实轴上。

练习 3：秩一算子的预解公式标记完成

所属知识

有限秩算子

难度

4/5

对 $Kx=\langle x,u\rangle u$，在 $\lambda\notin\{0,\|u\|^2\}$ 时写出 $(K-\lambda I)^{-1}y$。

查看提示

把 x 分解为 span{u} 与 u 的正交补两部分，算子在两部分上分别是数乘。

查看解答

写 $y=y_\parallel+y_\perp$，其中 $y_\parallel=\langle y,u\rangle u/\|u\|^2$。在 $\operatorname{span}\{u\}$ 上，$K-\lambda I$ 是乘以 $\|u\|^2-\lambda$；在 $u^\perp$ 上，它是乘以 $-\lambda$。故

$$(K-\lambda I)^{-1}y =\frac{y_\parallel}{\|u\|^2-\lambda} -\frac{y_\perp}{\lambda}.$$

两个分母非零时该式定义有界算子；任一分母为零时相应子空间产生核，所以谱正是题中排除的两点。

练习 4：紧自伴算子的平方标记完成

所属知识

谱展开

难度

3/5

设 $K$ 紧且自伴，非零特征对为 $(\lambda_j,e_j)$。证明 $K^2$ 仍紧、自伴且为正算子，并写出它的非零特征值。

查看提示

在 K 的正交特征向量展开上逐项作用两次，并单独处理核。

查看解答

$K^2$ 是有界算子与紧算子的复合，故紧； $(K^2)^*=(K^*)^2=K^2$，故自伴；且 $\langle K^2x,x\rangle=\langle Kx,Kx\rangle=\|Kx\|^2\ge0$，故为正算子。又 $K^2e_j=\lambda_j^2e_j$，核仍为 $\ker K$。因此非零特征值是各 $\lambda_j^2$，相同平方值的特征空间需合并；例如 $\lambda$ 与 $-\lambda$ 在平方后对应同一特征值。

练习 5：离零谱点只能有限标记完成

所属知识

紧性

难度

4/5

设 $K$ 紧且自伴。证明对每个 $\varepsilon>0$，集合 $\{\lambda\in\sigma(K):|\lambda|\ge\varepsilon\}$ 有限。

查看提示

反设有无限多个模至少为 $\epsilon$ 的不同特征值，选取对应单位特征向量并利用自伴性得到正交。

查看解答

集合中的非零谱点都是特征值，每个特征值重数有限。若存在无限多个不同值，选单位特征向量 $e_n$。自伴性使不同特征值的特征向量正交，于是

$$\|Ke_n-Ke_m\|^2 =\|\lambda_ne_n-\lambda_me_m\|^2 =|\lambda_n|^2+|\lambda_m|^2 \ge2\varepsilon^2.$$

因此 $(Ke_n)$ 没有 Cauchy 子列，与 $K$ 把有界列送到具有收敛子列的序列矛盾。故不同值只能有限；每个值重数又有限，结论成立。

练习 6：一个谱参数方程标记完成

所属知识

可解性

难度

4/5

设紧自伴算子 $K$ 的非零特征对为 $(\lambda_j,e_j)$，且 $y\perp\ker K$。讨论 $(I-\alpha K)x=y$ 在 $\alpha\lambda_j\ne1$ 对所有 $j$ 时的解，并说明当 $\alpha\lambda_k=1$ 时出现什么相容条件。

查看提示

在紧自伴算子的标准正交特征向量基中展开 x 与 y，逐个坐标求解，并注意分母何时为零。

查看解答

写 $y=\sum_jy_je_j$。非共振时令

$$x=\sum_j\frac{y_j}{1-\alpha\lambda_j}e_j+x_0,$$

其中 $x_0\in\ker K$；但在核上 $I-\alpha K=I$，为了等于没有核分量的 $y$，必须取 $x_0=0$。因为 $\lambda_j\to0$，分母除有限项外趋于 $1$，且没有分母为零，所以其倒数一致有界，级数在 $H$ 中收敛，解唯一。若 $\alpha\lambda_k=1$，第 $k$ 个坐标方程变成 $0\cdot x_k=y_k$，可解必须满足 $y_k=0$；满足时该特征空间方向上的解不唯一。若重数大于一，相容条件是 $y$ 与整个对应特征空间正交。

概念连接、资源与后续学习

• 紧算子与自伴算子 提供紧性、伴随与自伴性的定义；本章说明这些条件如何共同限制谱。
• Hilbert 空间、正交投影与对偶 提供正交补、标准正交基和 Riesz 表示，是特征向量展开的几何语言。
• Hahn–Banach、开映射与一致有界原理 在谱非空与有界逆的论证中分别提供泛函分离和逆算子连续性。
• 泛函分析与算子理论综合复习 将把离散谱分解用于积分算子、边值问题与 Fredholm 选择。

课程 · 2021

Introduction to Functional Analysis

Casey Rodriguez

用于核对 M16 的完备性假设、基本定理、投影与对偶、紧算子谱性质和紧自伴谱定理。

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MIT OpenCourseWare 18.102 Introduction to Functional Analysis 的课程材料可用于核对 Banach 空间上的谱、紧算子与 Hilbert 空间谱论。复习时应为每条结论标注假设：谱非空紧性要求复 Banach 空间与有界算子；可数正交特征展开要求紧且自伴；一般有界自伴算子则需要投影值测度，不能由“自伴”直接推出特征向量基。

本章把有限维的特征值问题改写为无限维中的稳定可逆性问题。谱可以包含无特征向量的连续部分；紧性把非零谱离散化，自伴性再带来实谱与正交性。下一章将以 Green 积分算子为主线，逐项检查完备性、核的对称性、边界条件、紧性和共振相容条件，把这些结论组织成可重复使用的解题流程。