群同态、商群、群作用与轨道计数

同态保留运算，而不要求保留元素外观

群论中的对象常用完全不同的方式呈现：整数用加法，矩阵用乘法，几何对称用复合。要比较它们，需要寻找保持运算的映射，而不是要求元素名称或底层集合相同。

群同态、同构与自同构

设 $G,H$ 是群。映射 $\varphi:G\to H$ 若对所有 $a,b\in G$ 满足

$$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),$$

则称为群同态。双射同态称为同构；若存在同构 $G\to H$，记作 $G\cong H$。从群到自身的同构称为自同构。

同态定义只写一条公式，却自动保持单位元、逆元和整数幂。设两群单位元分别为 $e_G,e_H$。由

在 $H$ 中消去一个 $\varphi(e_G)$，得到 $\varphi(e_G)=e_H$。再由 $e_H=\varphi(aa^{-1})=\varphi(a)\varphi(a^{-1})$ 得 $\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}$。归纳可得 $\varphi(a^n)=\varphi(a)^n$ 对所有 $n\in\mathbb Z$ 成立。

核与像

同态 $\varphi:G\to H$ 的核和像分别是

$$\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e_H\}, \qquad \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(g):g\in G\}.$$

核记录被映射压缩为单位元的信息；像记录目标群中真正被抵达的部分。

核是 $G$ 的子群，像是 $H$ 的子群。用一步判别即可证明：若 $a,b\in\ker\varphi$，则

同态 $\varphi$ 为单射当且仅当 $\ker\varphi=\{e_G\}$。必要性显然；反过来，若 $\varphi(a)=\varphi(b)$，则 $\varphi(ab^{-1})=e_H$，从而 $ab^{-1}=e_G$，即 $a=b$。

例 1：模约化同态压缩了哪些整数

定义

$$\pi_n:(\mathbb Z,+)\longrightarrow(\mathbb Z/n\mathbb Z,+), \qquad \pi_n(k)=[k]_n.$$

因为 $[a+b]_n=[a]_n+[b]_n$，它是同态。每个剩余类都有整数代表元，所以像是整个 $\mathbb Z/n\mathbb Z$。核满足 $[k]_n=[0]_n$，即

$$\ker\pi_n=n\mathbb Z.$$

两个整数得到同一像当且仅当它们相差一个 $n$ 的倍数。于是映射丢失的恰是“相差 $n\mathbb Z$”这部分信息，而保留下来的像有 $n$ 个类别。

正规子群使左右陪集兼容

一般子群 $N\le G$ 的左陪集与右陪集可能不同。若希望把陪集本身相乘，代表元变化不应改变结果；这正是正规性控制的问题。

正规子群

子群 $N\le G$ 若满足下列等价条件之一，就称 $N$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $N\trianglelefteq G$：

$$gN=Ng\quad\text{对每个 }g\in G,$$

或

$$gNg^{-1}=N\quad\text{对每个 }g\in G.$$

两个条件等价，因为 $gN=Ng$ 左乘 $g^{-1}$、右乘 $g^{-1}$ 可转化为 $gNg^{-1}=N$；反向操作也成立。每个同态的核都是正规子群。若 $k\in\ker\varphi$，则

故 $gkg^{-1}\in\ker\varphi$。对任意 $g$ 得到 $g(\ker\varphi)g^{-1}\subseteq\ker\varphi$；再用 $g^{-1}$ 取代 $g$ 得反向包含。

所有交换群的子群都正规，因为 $gng^{-1}=n$。非交换群中则需验证。例如置换群 $S_3$ 中 $A_3=\{e,(123),(132)\}$ 正规，而由换位 $(12)$ 生成的二阶子群不正规，因为

不在 $\langle(12)\rangle$ 中。

商群的运算必须与代表元无关

设 $N\trianglelefteq G$，把所有左陪集组成的集合记为 $G/N$，并定义

关键不是公式看起来自然，而是它良定义。若换代表元 $g'=gn_1$、$h'=hn_2$，其中 $n_1,n_2\in N$，则

正规性保证 $h^{-1}n_1h\in N$，所以括号后的乘积仍在 $N$，从而 $g'h'N=ghN$。若 $N$ 不正规，这一步可能失败；因此不能对任意子群的陪集擅自定义群乘法。

单位元是 $N=eN$，$gN$ 的逆元是 $g^{-1}N$，结合律从 $G$ 继承。所得群称为商群。自然投影

是满同态，且 $\ker\pi=N$。事实上，子群 $N$ 能作为某个从 $G$ 出发的同态的核，当且仅当它正规：一边由核正规性得到，另一边由自然投影得到。

例 2：符号同态与 S3/A3

置换的符号给出同态

$$\operatorname{sgn}:S_3\to\{1,-1\}, \qquad \operatorname{sgn}(\sigma\tau) =\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).$$

偶置换的符号为 $1$，故核为 $A_3$；换位映到 $-1$，所以像是整个二元乘法群。$A_3$ 正规，商群有两个陪集：偶置换陪集 $A_3$ 和奇置换陪集 $(12)A_3$。陪集乘法只记录奇偶性，因此

$$S_3/A_3\cong\{1,-1\}.$$

这里同一个结论既可由两陪集的乘法表看出，也会成为第一同构定理的直接实例。

群的第一同构定理

若 $\varphi:G\to H$ 是群同态，则

$$G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi.$$

具体同构由 $g\ker\varphi\mapsto\varphi(g)$ 给出。

证明

记 $K=\ker\varphi$，定义 $\overline\varphi:G/K\to\operatorname{im}\varphi$ 为

$$\overline\varphi(gK)=\varphi(g).$$

先检查良定义。若 $gK=hK$，则 $h^{-1}g\in K$，故 $\varphi(h)^{-1}\varphi(g)=e_H$，即 $\varphi(g)=\varphi(h)$。它保持乘法，因为

$$\overline\varphi((gK)(hK)) =\varphi(gh) =\varphi(g)\varphi(h).$$

按像的定义它满射。若 $\overline\varphi(gK)=e_H$，则 $g\in K$，所以 $gK=K$；核平凡使它单射。因此 $\overline\varphi$ 是同构。

定理表达了一个精确的“先压缩，再无损对应”：先把同一陪集中的元素视为相同，恰好消去核；剩余类别与像一一对应。它不是只比较元素个数，而是给出保持群运算的具体双射。

例 3：实数加法覆盖单位圆

定义

$$\varphi:(\mathbb R,+)\to(S^1,\cdot), \qquad \varphi(t)=e^{2\pi i t},$$

其中 $S^1=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$。指数加法公式说明它是同态；每个 $e^{i\theta}$ 都由 $t=\theta/(2\pi)$ 得到，所以它满射。核由 $e^{2\pi i t}=1$ 决定，恰是 $\mathbb Z$。第一同构定理给出

$$\mathbb R/\mathbb Z\cong S^1.$$

实数直线按相差整数分组后成为圆周群。这个同构说明商结构保留了周期信息，而不是简单地“删掉整数点”。

群作用把抽象元素变成集合上的变换

群作用、轨道与稳定子

群 $G$ 在集合 $X$ 上的左作用是映射

$$G\times X\to X, \qquad (g,x)\mapsto g\cdot x,$$

满足 $e\cdot x=x$ 与 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$。固定 $x\in X$，它的轨道和稳定子为

$$G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}, \qquad G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}.$$

每个 $g$ 都给出双射 $x\mapsto g\cdot x$，逆变换由 $g^{-1}$ 给出。因此一个作用等价于同态 $G\to\operatorname{Sym}(X)$。轨道给出 $X$ 的分割，而 $G_x\le G$。若两个群元素把 $x$ 送到同一点，则

所以陪集与轨道点一一对应。

轨道—稳定子定理

映射

$$G/G_x\longrightarrow G\cdot x, \qquad gG_x\longmapsto g\cdot x$$

是双射。若 $G$ 有限，则

$$|G\cdot x|=[G:G_x], \qquad |G|=|G\cdot x|\,|G_x|.$$

证明

上面的等价式同时证明映射良定义且单射；轨道定义保证满射。有限情形再对子群 $G_x$ 应用 Lagrange 定理，得到乘法公式。

例 4：正三角形顶点的轨道与稳定子

正三角形的刚性对称群 $D_3$ 有六个元素，它作用在三个顶点上。固定顶点 $v$，任一顶点都可由旋转送到，故轨道有三个点。稳定 $v$ 的对称只有恒等变换和穿过 $v$ 的反射，共两个。于是

$$|D_3|=6=3\cdot2 =|D_3\cdot v|\,|(D_3)_v|.$$

这也可反向计算：知道群阶为六、稳定子阶为二，就立刻得到轨道大小为三，无需逐个列出所有作用结果。

群对自身的共轭作用定义为 $g\cdot x=gxg^{-1}$。轨道是共轭类，稳定子是中心化子

中心 $Z(G)$ 中的元素共轭类大小为一。若 $x_1,\ldots,x_r$ 代表所有非中心共轭类，轨道分割与轨道—稳定子定理给出类方程

它把非交换性的程度转化为共轭轨道大小，是研究有限群结构的重要计数工具。

Burnside 引理按不动点平均计数

当 $G$ 有限并作用在有限集合 $X$ 上时，真正不同的构型是轨道，而不是所有带位置标签的元素。对 $g\in G$，记

Burnside 轨道计数引理

轨道数满足

$$|X/G|= \frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.$$

证明

双重计数集合

$$P=\{(g,x)\in G\times X:g\cdot x=x\}.$$

先固定 $g$，得 $|P|=\sum_g|\operatorname{Fix}(g)|$。再固定 $x$，可固定它的群元素正是 $G_x$，故 $|P|=\sum_x|G_x|$。对每个轨道 $O$，轨道—稳定子定理给 $|G_x|=|G|/|O|$；在该轨道内对 $|O|$ 个 $x$ 求和，贡献恰为 $|G|$。每个轨道贡献一次 $|G|$，所以 $|P|=|G|\,|X/G|$，整理即得公式。

例 5：三色方形顶点染色的对称类型

用三种颜色给正方形四个顶点着色，把旋转或反射后重合的方案视为相同。作用群是八阶二面体群 $D_4$。先用 $k$ 种颜色统一计算不动点：

• 恒等变换固定 $k^4$ 个染色；
• 两个四分之一转各只固定四点同色的 $k$ 个染色；
• 半周转固定两对相对顶点，给出 $k^2$ 个染色；
• 两条过边中点的反射各交换两对顶点，分别固定 $k^2$ 个染色；
• 两条对角线反射各固定两个顶点并交换另外两个，分别固定 $k^3$ 个染色。

因此轨道数为

$$\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k}{8}.$$

代入 $k=3$ 得

$$\frac{81+54+27+6}{8}=21.$$

直接把 $3^4=81$ 除以 $8$ 会失败，因为含额外对称的染色轨道小于八；Burnside 引理正是用不同变换的不动点数修正这种不均匀性。

思考实验：改变颜色数，不动点约束怎样变化

保留正方形对称群，把颜色数 $k$ 从一逐步增加。对每种对称先画出它在四个顶点上的循环：同一循环内的顶点必须同色，因而一个含 $c$ 个顶点循环的置换固定 $k^c$ 个染色。恒等变换有四个循环，四分之一转只有一个，反射则依轴线不同拥有两个或三个循环。

这个实验提示了更一般的置换计数方法：先分析作用在位置集合上的循环分解，再为每个循环独立选色。不过图形观察只能帮助列出循环；最终轨道数仍需对群的每个元素完整求和并除以 $|G|$，不能只挑看起来代表性的对称。

常见误区与边界条件

• 只核对公式，不核对定义域与陪域。 同一表达式在不同目标群中可能有不同像，满射性也随陪域改变。
• 认为所有子群都能作商。 陪集集合总能形成，但乘法良定义要求子群正规。
• 省略第一同构定理的良定义检查。 $gK\mapsto\varphi(g)$ 必须证明不依赖代表元；仅写出公式不构成证明。
• 把轨道和稳定子混为一组对象。 轨道是 $X$ 的子集，稳定子是 $G$ 的子群，它们通过指数而非包含关系连接。
• 直接用总构型数除以群阶。 只有作用自由、每个稳定子都平凡时所有轨道才同样大；一般应使用 Burnside 引理。
• 忘记作用方向。 左作用满足 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$；若改用右作用，复合次序相应改变。

综合练习

练习 1：奇偶同态的核与像标记完成

所属知识

核与像

难度

2/5

定义 $\varphi:(\mathbb Z,+)\to(\{1,-1\},\cdot)$ 为 $\varphi(n)=(-1)^n$。证明它是同态，求核与像，并判断是否单射、满射。

查看提示

把整数加法映到二元乘法群，并分别检查偶数与奇数。

查看解答

由

$$\varphi(m+n)=(-1)^{m+n}=(-1)^m(-1)^n =\varphi(m)\varphi(n)$$

知它是同态。偶数恰好映到 $1$，所以 $\ker\varphi=2\mathbb Z$。$0$ 映到 $1$，$1$ 映到 $-1$，故像为整个 $\{1,-1\}$，映射满射。核不平凡，所以它不是单射。第一同构定理进一步给出 $\mathbb Z/2\mathbb Z\cong\{1,-1\}$。

练习 2：指数为二的子群必正规标记完成

所属知识

正规子群

难度

4/5

设 $H\le G$ 且 $[G:H]=2$。证明 $H\trianglelefteq G$。

查看提示

对 g 属于 H 与不属于 H 分情况；指数为二时，除 H 外只有一个陪集。

查看解答

若 $g\in H$，则 $gH=H=Hg$。若 $g\notin H$，左陪集只有 $H$ 与另一个块；$gH$ 不等于 $H$，所以 $gH=G\setminus H$。同理，右陪集也只有两个块，且 $Hg\ne H$，故 $Hg=G\setminus H$。于是对每个 $g\in G$ 都有 $gH=Hg$，所以 $H$ 正规。

练习 3：有限循环群的商标记完成

所属知识

商群

难度

3/5

在加法群 $G=\mathbb Z/12\mathbb Z$ 中令 $N=\langle[4]\rangle$。证明 $G/N\cong\mathbb Z/4\mathbb Z$。

查看提示

构造从 Z/12Z 到 Z/4Z 的自然约化同态并计算其核。

查看解答

$N=\{[0],[4],[8]\}$。定义

$$\psi:\mathbb Z/12\mathbb Z\to\mathbb Z/4\mathbb Z, \qquad \psi([a]_{12})=[a]_4.$$

若 $[a]_{12}=[b]_{12}$，则 $12\mid a-b$，从而 $4\mid a-b$，故映射良定义。它保持加法且满射。其核由 $4\mid a$ 决定，恰是 $N$。第一同构定理给出

$$G/N\cong\operatorname{im}\psi =\mathbb Z/4\mathbb Z.$$

商群确有 $12/3=4$ 个元素，与结果相符。

练习 4：乘法群上的符号商标记完成

所属知识

第一同构定理

难度

3/5

令 $\mathbb R^\times=\mathbb R\setminus\{0\}$。用第一同构定理证明

$$\mathbb R^\times/\mathbb R_{>0}\cong\{1,-1\}.$$

查看提示

使用实数符号映射，核是正实数乘法群。

查看解答

定义符号同态 $s:\mathbb R^\times\to\{1,-1\}$，正数映到 $1$，负数映到 $-1$。乘积符号等于符号之积，所以 $s$ 是同态；正负数都存在，故它满射。核是所有正实数 $\mathbb R_{>0}$。于是该子群正规，第一同构定理给出

$$\mathbb R^\times/\ker s \cong\operatorname{im}s =\{1,-1\}.$$

练习 5：S3 对三点集合的作用标记完成

所属知识

轨道稳定子

难度

3/5

令 $S_3$ 自然作用于 $X=\{1,2,3\}$。求 $1$ 的轨道与稳定子，并核验轨道—稳定子公式。

查看提示

固定点 1 后，只能任意置换另外两个点。

查看解答

任意 $j\in X$ 都可由某个置换把 $1$ 送到 $j$，所以 $S_3\cdot1=X$，轨道大小为三。固定 $1$ 的置换可以恒等，也可以交换 $2,3$，故

$$(S_3)_1=\{e,(23)\}, \qquad |(S_3)_1|=2.$$

于是 $|S_3|=6=3\cdot2=|S_3\cdot1|\,|(S_3)_1|$，公式成立。

练习 6：二色正五边形手链标记完成

所属知识

Burnside 计数

难度

4/5

用两种颜色给正五边形的五个顶点着色，把旋转或反射后重合的方案视为相同。用 Burnside 引理求不同方案数。

查看提示

D5 有五个旋转和五个反射；非恒等旋转只固定全同色方案，每个反射有一个固定顶点和两对交换顶点。

查看解答

作用群 $D_5$ 有十个元素。恒等变换固定全部 $2^5=32$ 个染色。因为 $5$ 是素数，四个非恒等旋转各形成一个五循环，只固定两种全同色方案，共贡献 $4\cdot2$。每个反射固定一个顶点，并交换其余两对顶点，所以有三个独立选色位置，固定 $2^3=8$ 个染色；五个反射共贡献 $5\cdot8$。因此轨道数为

$$\frac{32+4\cdot2+5\cdot8}{10} =\frac{80}{10}=8.$$

结果为整数也复核了不动点分类没有遗漏群元素。

概念连接与继续学习

• 群、子群与循环结构 提供陪集、指数和 Lagrange 定理，是核、商群与轨道稳定子的直接基础。
• 集合上的等价关系与商集 解释商集为何由互不相交的类组成，以及良定义为何必须与代表元选择无关。
• 计数原理 与 Burnside 引理的双重计数、分类求和和不动点枚举相衔接。
• 环、理想与商环 将把正规子群和核的思想推广到理想，并建立环的同构定理。
• 模、线性表示与结构定理 会把群作用线性化为表示，并以同态、子模与商模组织结构分解。

课程 · 2010

Algebra I

Michael Artin

用于核对 M14 群论部分的定义、同构定理、轨道稳定子关系、例题和练习条件。

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MIT OpenCourseWare 18.701 Algebra I 的同态、商群和群作用材料可用于补充证明与习题。核对外部推导时，应明确左或右作用约定、正规性假设、群与集合是否有限，以及计数是在带标签构型集合还是轨道集合中进行。

本章把群之间的结构保持映射拆成核与像：核是被压缩的信息，像是保留下来的结构。核必正规，正规性又恰好让陪集乘法不依赖代表元；第一同构定理因此把商去核后的群与像精确对应。群作用把抽象群实现为集合上的置换，轨道—稳定子定理把运动范围和保持不动的对称连接起来，类方程处理共轭作用，Burnside 引理则通过不动点平均计算对称类型。下一章会在环中同时追踪加法与乘法，同态的核将从正规子群升级为理想。