多变量微积分与向量分析综合复习：对象、区域与边界的选择

先判断对象，再选择运算

综合题常把局部变化、区域累积和边界守恒写在同一段叙述中。先确认输入对象和所求输出，再调用公式：点附近的变化需要微分；二维或三维区域上的总量需要多重积分；沿路径累积需要曲线积分；穿过曲面的流量需要通量积分；闭合边界与内部微分量同时出现时，才检查 Green 定理、Stokes 定理或 Gauss 散度定理。

完成一题前可按下列顺序诊断：

1. 写出对象的维数、参数范围、边界和单位。
2. 判断被积量是标量、切向分量还是法向分量。
3. 检查方向是否会改变答案符号。
4. 列出可微、可积、可定向、闭合与无奇点等条件。
5. 比较直接参数化、坐标替换和积分定理哪一条路线步骤更少。
6. 用另一条短路线、单位、对称性、上下界或误差阶复核结果。

这个流程把全册方法组织为一组选择条件，不重复前面各章的完整推导。

计算对象与输出量的配对

局部模型把点和小增量映到近似变化；多重积分把区域上的密度映到总量；标量曲线或曲面积分把几何载体上的密度映到总量；功、环流与通量积分把带方向的场和有向载体映到带符号结果；积分定理则在满足正则性与取向条件时，把边界结果改写为内部微分量的积分。

配对关系先确定合法的积分元或微分算子，再讨论哪一种坐标或定理更省计算。

全微分和 Hessian 分层给出局部模型

设 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 在点 $\mathbf a$ 可微。对小增量 $\mathbf h$，一阶局部模型为

梯度负责一阶方向变化。若 $f$ 在邻域内有连续二阶偏导，则 Hessian $H_f(\mathbf a)$ 对称，二阶展开为

临界点还要求 $\nabla f(\mathbf a)=\mathbf0$。在这个前提下，正定 Hessian 给出严格局部极小，负定 Hessian 给出严格局部极大，不定 Hessian 给出鞍点；半正定或半负定通常无法单独判别。只检查 Hessian 而不先检查梯度，会把“局部曲率向上”误写成“当前点是极小点”。

向量值映射 $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 使用 $m\times n$ Jacobian $J_F$ 作为一阶模型。复合映射的 Jacobian 按映射顺序相乘；标量复合函数采用列梯度约定时，转置负责把输出敏感度带回输入空间。

例 1：温度局部预测中的一阶项、曲率和单位

以参考点为坐标原点，$x,y$ 的单位为米。某局部温度模型为

$$T(x,y)=20+0.8x-0.4y+0.02x^2+0.01xy+0.03y^2,$$

其中常数项单位为摄氏度，一次项系数单位为摄氏度每米，二次项系数单位为摄氏度每平方米。对位移 $\mathbf h=(0.2,-0.1)\ \mathrm m$，一阶预测为

$$\Delta T_{\mathrm{lin}} =(0.8,-0.4)\cdot(0.2,-0.1) =0.2000\ ^\circ\mathrm C.$$

二次修正为

$$0.02(0.2)^2+0.01(0.2)(-0.1)+0.03(-0.1)^2 =0.0009\ ^\circ\mathrm C.$$

该模型本身是二次多项式，所以精确温差为 $0.2009\ ^\circ\mathrm C$。Hessian 为

$$H_T= \begin{pmatrix} 0.04&0.01\\ 0.01&0.06 \end{pmatrix} \ \mathrm{^\circ C/m^2}.$$

其顺序主子式 $0.04>0$、行列式 $0.0023>0$，故 Hessian 正定；但原点梯度为 $(0.8,-0.4)\ne\mathbf0$，原点不是临界点，不能据此称为极小温度点。

约束极值把边界纳入候选集合

无约束二阶判别只研究开邻域内的临界点。若变量限制在闭区域或光滑约束面上，最值还可能出现在边界。对连续函数和紧可行集，极值一定存在；求解时应分别检查区域内部的零梯度点、每一光滑边界片上的约束临界点，以及边界片相交形成的角点。遗漏任一类候选点，都可能漏掉全局最值。

单个光滑约束 $g(\mathbf x)=c$ 上，若 $\nabla g(\mathbf x)\ne\mathbf0$，局部极值点的目标梯度必须垂直于约束切空间，因此存在乘子 $\lambda$ 使

这只是必要条件，仍不足以保证极值。求得候选点后，还要比较函数值，或研究约束切空间上的二阶型。若 $\nabla g=\mathbf0$，普通拉格朗日乘子条件失去正则性，需要改用参数化、直接消元或更一般的约束方法。

例 2：椭圆边界上的乘积极值

在约束 $x^2+4y^2=4$ 上求 $f(x,y)=xy$ 的最大值与最小值。令 $g=x^2+4y^2$，则

$$(y,x)=\lambda(2x,8y).$$

约束上没有同时满足方程的 $x=0$ 或 $y=0$ 点。对 $xy\ne0$，两式相乘或代入得到 $16\lambda^2=1$。当 $\lambda=1/4$ 时，$y=x/2$；与约束联立得到 $(x,y)=(\sqrt2,1/\sqrt2)$ 或 $(-\sqrt2,-1/\sqrt2)$，函数值均为 $1$。当 $\lambda=-1/4$ 时，$y=-x/2$，两个候选点的函数值均为 $-1$。

椭圆是紧集，候选点比较已经覆盖全局极值，所以最大值为 $1$、最小值为 $-1$。目标函数自身的 Hessian 不定，但这不妨碍它在受限曲线上取得极值；可行方向而非整个平面的方向决定约束二阶变化。

区域描述决定累次积分与变量替换

二重或三重积分前，先把区域写成不等式或参数范围。对连续函数和常见有界分片光滑区域，Fubini 定理允许把多重积分写成累次积分；更一般情形需要绝对可积等条件，不能仅凭符号交换次序。

变量替换 $T:U\to D$ 要求在适当意义下连续可微、一一且非退化，并处理边界上的例外。二维公式为

绝对值记录无向面积或体积的缩放；坐标变换反向时，不能让面积变成负数。极坐标的面积元是 $r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，柱坐标的体积元是 $r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz$，球坐标的体积元是 $\rho^2\sin\varphi\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta$。每个额外因子都来自 Jacobian，不是装饰性记号。

例 3：椭圆薄片的质量与质心

薄片占据

$$D=\left\{(x,y):\frac{x^2}{(2\ \mathrm m)^2} +\frac{y^2}{(1\ \mathrm m)^2}\le1\right\},$$

面密度为

$$\sigma(x,y)=\sigma_0\left(1+\frac{x}{2\ \mathrm m}\right), \qquad \sigma_0=3\ \mathrm{kg/m^2}.$$

令 $x=(2\ \mathrm m)u$、$y=(1\ \mathrm m)v$，则 $u^2+v^2\le1$，Jacobian 的绝对值为 $2\ \mathrm{m^2}$。单位圆盘关于 $u$ 对称，所以

$$M=2\sigma_0\ \mathrm{m^2} \iint_{u^2+v^2\le1}(1+u)\,\mathrm du\,\mathrm dv =2\pi\sigma_0\ \mathrm{m^2} =6\pi\ \mathrm{kg}.$$

$y$ 方向的一阶矩为零。$x$ 方向的一阶矩使用 $\iint_{u^2+v^2\le1}u^2\,\mathrm du\,\mathrm dv=\pi/4$，得到

$$\iint_Dx\sigma\,\mathrm dA =4\sigma_0\ \mathrm{m^3}\cdot\frac\pi4 =\pi\sigma_0\ \mathrm{m^3}.$$

因此 $\bar x=(\pi\sigma_0\ \mathrm{m^3})/(2\pi\sigma_0\ \mathrm{m^2})=0.5\ \mathrm m$， $\bar y=0$。密度向右增加，质心右移；该方向检查与数值结果一致。

曲线与曲面上的积分先区分积分元

对分片 $C^1$ 正则曲线 $\mathbf r(t)$，标量线积分使用

反向参数化不改变结果。功或环流积分使用

反向后变号。设正则曲面参数化为 $\mathbf X:U\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^3$。曲面上的标量面积积分含 $\lVert\mathbf X_u\times\mathbf X_v\rVert$，通量积分含有向面积元 $(\mathbf X_u\times\mathbf X_v)\,\mathrm du\,\mathrm dv$。取绝对值与保留方向对应不同问题。

遇到闭合边界时再检查积分定理：平面闭曲线的环流或通量对应 Green；空间曲面边界的环流对应 Stokes；闭曲面外向通量对应 Gauss。三者都要求场在相关区域邻域内足够光滑，奇点和洞必须单独处理。

例 4：斜平面边界的环流只需投影面积

速度场为

$$\mathbf v(x,y,z)= \left(-\frac\omega2y,\frac\omega2x,0\right), \qquad \omega=4\ \mathrm{s^{-1}}.$$

$S$ 是图面 $z=x+y$ 在 $0\le x\le1\ \mathrm m$、$0\le y\le1\ \mathrm m$ 上方的部分，取向使法向的 $z$ 分量为正。边界方向与该法向相容。旋度为 $(0,0,\omega)$，而图面的有向面积元为

$$\mathbf n\,\mathrm dS=(-1,-1,1)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.$$

Stokes 定理给出

$$\oint_{\partial S}\mathbf v\cdot\mathrm d\mathbf r =\iint_S(0,0,\omega)\cdot\mathbf n\,\mathrm dS =\omega\int_0^{1\ \mathrm m}\int_0^{1\ \mathrm m}\mathrm dx\,\mathrm dy =4\ \mathrm{m^2/s}.$$

边界在 $xy$ 平面的投影是逆时针单位正方形。由于速度场没有 $z$ 分量，沿四条空间边直接积分等于沿投影边界积分，也得到 $\omega$ 乘投影面积。若翻转法向和相容边界方向，结果变为 $-4\ \mathrm{m^2/s}$。

例 5：Gauss 定理避开椭球面参数化

椭球控制体的半轴为 $a=2\ \mathrm m$、$b=1\ \mathrm m$、$c=0.5\ \mathrm m$，速度场为 $\mathbf v=\lambda(x,y,z)$，其中 $\lambda=1\ \mathrm{s^{-1}}$。所求为闭椭球面的外向体积流率。

直接参数化椭球会产生复杂面积元；散度却恒为 $3\lambda$。椭球体积为 $4\pi abc/3$，所以 Gauss 定理给出

$$Q_{\mathrm{out}} =3\lambda\frac{4\pi abc}{3} =4\pi\lambda abc =4\pi\ \mathrm{m^3/s}.$$

速度乘面积的单位为立方米每秒，与散度乘体积相同。场在整个椭球邻域内光滑，曲面闭合且采用外法向；这三项检查使方法选择成立。

守恒方程把局部微分、区域积分与边界通量串联起来

设固定控制体 $\Omega$ 内的质量密度为 $\rho(\mathbf x,t)$，单位为千克每立方米；质量通量为 $\mathbf J(\mathbf x,t)$，单位为千克每平方米每秒；体源项为 $s(\mathbf x,t)$，单位为千克每立方米每秒。局部守恒方程写成

在场足够光滑、控制体固定且允许把时间导数移入积分号的条件下，对 $\Omega$ 积分并使用 Gauss 定理，得到

左侧是控制体内总质量的变化率，单位为千克每秒；第一项是外向流出率的负值，第二项是内部生成率。若 $s=0$ 且外向通量为正，内部总质量下降。这个推导展示三种层次的职责：偏导描述一点处的瞬时变化，三重积分汇总内部存量，Gauss 定理把散度总量改写为可测的边界通量。控制体随时间移动时还需加入边界运动项，不能照搬固定区域公式。

方法选择的最短判据

面对综合题，可用以下问句缩小范围：

• 只问一点附近的变化吗？写全微分；需要曲率或临界点类型时再写 Hessian。
• 累积对象铺满二维或三维区域吗？写多重积分；区域具有圆、球、椭圆或线性组合对称性时检查变量替换。
• 累积对象沿路径吗？先区分 $\mathrm ds$ 与 $\mathrm d\mathbf r$；保守场且定义域条件满足时检查势函数。
• 累积对象穿过曲面吗？先确定法向；曲面闭合且求总通量时优先检查 Gauss。
• 闭合曲线是平面区域边界吗？环流或平面通量优先检查 Green。
• 空间闭曲线是一张曲面的边界吗？环流优先检查 Stokes，并选择旋度通量容易计算的同边界曲面。

“优先检查”不等于无条件使用。每次仍需写出场的定义域、区域边界、取向和正则性。

结果核验要回到同一个几何对象

综合计算最容易出现“每一步代数都对，所算对象却已改变”的错误。核验时应把最终表达式重新翻译为原问题：局部近似的输出应与函数输出同单位；质量积分必须非负；质心应落在薄片的凸包内；外向通量的正负要与源汇解释一致；环流反向后应变号，而弧长积分反向后应保持不变。

坐标替换前后的区域也要逐边对应。极坐标角度少覆盖一段会漏掉区域，覆盖超过一周会重复计数；球坐标在极轴处参数退化通常只发生在零面积集合上，但角度范围仍需明确。若映射在区域内部多对一，单纯乘 $|\det J_T|$ 会重复累加，必须缩小参数域或按覆盖次数处理。

积分定理的双路线核验必须使用同一个相容边界。Stokes 计算若换成另一张曲面，边界曲线及其方向不能随曲面一起悄悄改变；Gauss 计算开曲面通量时，补上的封口面最终要减回；Green 处理有洞区域时，内边界采用相反方向。把各段边界逐项列出，通常比只画箭头更可靠。

极限情形还能暴露系数错误。椭圆半轴相等时，面积与质量公式应退化为圆盘结果；速度场系数 $\lambda=0$ 时，例 5 的通量应为零；位移尺度趋于零时，一阶误差应比位移本身更快趋零。若公式未通过这些退化检查，应先回查 Jacobian、法向和二阶系数，再增加数值精度。

缩放位移检验局部误差阶

例 1 中把位移改为 $s(0.2,-0.1)\ \mathrm m$。一阶温差为 $0.2s\ ^\circ\mathrm C$，精确值与一阶值之差为 $0.0009s^2\ ^\circ\mathrm C$。取三组缩放因子：

误差除以 $s^2$ 后保持不变，符合二次模型的一阶截断误差。若一般光滑函数的比值在足够小尺度下趋于常数，只能作为二阶主项的数值证据；有限采样不能替代 Taylor 定理及其正则性条件。

常见诊断错误

正定 Hessian 足以证明当前点是极小值

二阶判别先要求梯度为零。非临界点即使 Hessian 正定，也仍有一阶下降方向。Hessian 半正定时还需查看更高阶项或直接比较邻域函数值。

Jacobian 的符号代表面积或质量的正负

标量多重积分中的面积与体积缩放使用 $|\det J_T|$。有向积分中的方向由法向或边界取向处理，不能把变量替换的负 Jacobian 直接解释为负质量。

所有路径试算相同就证明多变量结论成立

有限条路径只提供必要检查。联合极限需要统一范数估计；路径无关需要势函数或适当定义域上的旋度条件；积分定理需要覆盖整个区域的正则性。

看到闭合图形就套用积分定理

还要辨认闭合对象是平面曲线、空间曲线还是闭曲面，并匹配环流、通量、旋度或散度。场在内部有奇点时，应先修正区域或直接计算。

分层综合练习

练习标记完成

求 $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ 的临界点并分类。再写出原点沿单位方向 $\mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta)$ 的二阶方向系数。

查看解答

$\nabla f=(2x-y,-x+2y)$，唯一临界点为原点。Hessian

$$H_f=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$

的顺序主子式为 $2$ 和 $3$，故正定，原点是严格局部极小；由于该函数本身是正定二次型，它还是全局唯一极小点。二阶方向系数为

$$\mathbf u^\mathsf T H_f\mathbf u =2-2\sin\theta\cos\theta =2-\sin2\theta,$$

其范围为 $[1,3]$，与 Hessian 特征值一致。

练习标记完成

比较 $f_1(x,y)=x^4+y^4$ 与 $f_2(x,y)=x^4-y^4$ 在原点的梯度、Hessian 和局部类型，说明二阶判别为什么失效。

查看解答

两函数在原点的梯度都是零，Hessian 也都是零矩阵，因而二阶型只给出半正定且没有区分能力。$f_1\ge0$ 且只在原点附近的原点取零，所以原点是严格局部极小。$f_2(x,0)=x^4>0$，而 $f_2(0,y)=-y^4<0$，故原点是鞍点。必须检查四阶项或直接比较方向。

练习标记完成

计算三角形 $D=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1\}$ 上的 $\iint_D(x+y)\,\mathrm dA$，并给出结果的粗略上界检查。

查看解答

按先 $y$ 后 $x$ 的次序，

$$\begin{aligned} \iint_D(x+y)\,\mathrm dA &=\int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx\\ &=\int_0^1\left(\frac12-\frac{x^2}{2}\right)\,\mathrm dx =\frac13. \end{aligned}$$

区域面积为 $1/2$，且 $0\le x+y\le1$，所以积分应位于 $[0,1/2]$；$1/3$ 符合该范围。

练习标记完成

计算环域 $1\le x^2+y^2\le e^2$ 上 $1/(x^2+y^2)$ 的二重积分，指出极坐标 Jacobian 消去哪个幂次。

查看解答

极坐标范围为 $1\le r\le e$、$0\le\theta\le2\pi$，面积元为 $r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，故

$$\int_0^{2\pi}\int_1^e\frac1{r^2}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta =2\pi[\ln r]_1^e=2\pi.$$

Jacobian 中的 $r$ 抵消被积函数分母的一个 $r$，留下 $1/r$。环域避开原点，所以被积函数在闭区域上有界。

练习标记完成

向量场 $\mathbf F=(2xy,x^2,1)$ 沿任意分片光滑路径从 $(0,0,0)$ 到 $(1,2,3)$ 的功是多少？说明路径无关的依据。

查看解答

取势函数 $\phi(x,y,z)=x^2y+z$，有 $\nabla\phi=\mathbf F$。定义域 $\mathbb R^3$ 连通且势函数全局存在，所以线积分只依赖端点：

$$\int_C\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r =\phi(1,2,3)-\phi(0,0,0)=2+3=5.$$

直接求旋度也得到零，但这里显式势函数比单独的零旋度更强，避免遗漏定义域条件。

练习标记完成

在半径 $R=2\ \mathrm m$ 的球内，热流密度为 $\mathbf q=\beta(x,y,z)$，$\beta=0.5\ \mathrm{W/m^3}$。求球面的外向总热流。

查看解答

$\nabla\cdot\mathbf q=3\beta$。球体积为 $4\pi R^3/3$，故

$$\iint_{\partial\Omega}\mathbf q\cdot\mathbf n\,\mathrm dS =3\beta\frac{4\pi R^3}{3} =4\pi\beta R^3 =16\pi\ \mathrm W.$$

单位为 $(\mathrm{W/m^3})(\mathrm{m^3})=\mathrm W$，正号表示净流出。

练习标记完成

椭圆边界参数化为 $\mathbf r(t)=(a\cos t,b\sin t)$，$0\le t\le2\pi$，按逆时针方向。用 Green 定理说明 $A=\oint_Cx\,\mathrm dy$，并求 $a=3\ \mathrm m$、$b=2\ \mathrm m$ 时的面积。

查看解答

在 Green 公式中取 $P=0$、$Q=x$，则 $Q_x-P_y=1$，所以

$$A=\iint_D1\,\mathrm dA=\oint_Cx\,\mathrm dy.$$

参数化给出 $\mathrm dy=b\cos t\,\mathrm dt$，于是

$$A=ab\int_0^{2\pi}\cos^2t\,\mathrm dt =\pi ab=6\pi\ \mathrm{m^2}.$$

逆时针方向与 Green 正向一致；反向参数化会使边界积分变负，几何面积则应取相应的正向约定。

练习标记完成

设 $\mathbf F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$。有人因单位圆盘内“旋度为零”而断言单位圆周环流为零。定位错误并给出正确值。

查看解答

场在原点未定义，因此“圆盘内旋度为零”并不成立，Green 定理的邻域 $C^1$ 条件也不满足。沿单位圆 $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t)$，场值等于 $\mathbf r'(t)$，故

$$\oint_C\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r =\int_0^{2\pi}1\,\mathrm dt=2\pi.$$

正确处理方式是直接积分，或挖去原点形成环域并保留内边界贡献。

全册概念的连接位置

梯度与全微分 负责局部一阶模型；Hessian 把局部模型推进到二阶曲率。 多重积分 负责区域内部的标量累积； 曲线积分 与 曲面积分 把累积对象移到路径和曲面。 Green、Stokes 与 Gauss 定理则在满足条件时，把边界测量和内部微分量互相转换。

进入常微分方程、偏微分方程或连续介质模型后，这些对象会同时出现：局部微分描述状态变化，多重积分定义总量，边界通量表达与外界的交换。方法名称并不决定答案；对象、区域、取向、正则性和单位共同决定合法的计算路线。

已核实资源与后续练习

书籍 · 2016

Calculus Volume 3

Gilbert Strang, Edwin Herman

为方向导数、梯度、向量分析和数学物理章节提供可核对的教材背景。

打开官方来源

OpenStax《Calculus Volume 3》覆盖多变量函数、偏导数、多重积分、参数曲线与曲面、向量场和积分定理，适合按章节回查定义与标准计算。综合复习时应把每道题重新归入“局部、区域、曲线、曲面或边界—内部转换”之一。

课程 · 2010

MIT 18.02SC Multivariable Calculus

Denis Auroux

把线性代数对象用于几何与多变量问题，并提供例题、习题和解答。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.02SC 提供覆盖全课程的讲义、例题、测验和解答。建议先独立选择方法，再用课程解答核对区域、取向和计算步骤，避免只比对最终数字。