函数、变换与图像

输入集合先于计算公式

函数把一个集合中的每个对象送到另一个集合中的唯一对象。记号

同时给出定义域 $X$、陪域 $Y$ 和对应规则 $f$。实际出现的输出组成值域

陪域是函数声明的一部分，规则和定义域共同确定值域。两条规则即使写成同一个公式，只要定义域或陪域不同，所定义的函数就不同。

函数与函数相等

函数 $f:X\to Y$ 要求每个 $x\in X$ 恰有一个输出 $f(x)\in Y$。两个函数相等，当且仅当它们的定义域相同、陪域相同，并且对定义域中每个输入给出相同输出。

本册默认讨论实函数时，定义域取使表达式有意义的最大实数集合，除非题目另行指定。例如 $1/(x-2)$ 的自然定义域是 $\mathbb R\setminus\{2\}$，而 $\sqrt{3-x}$ 的自然定义域是 $(-\infty,3]$。定义域限制必须在化简过程中保留：有理式

与整式 $x+1$ 在 $x=1$ 处的取值不同，因而不代表同一个函数。

图像是输入输出对的集合

实函数 $f:D\to\mathbb R$ 的图像定义为

图像保留了定义域和全部函数值。固定横坐标后只能出现一个纵坐标，这就是竖线检验的依据。圆 $x^2+y^2=1$ 作为整体不满足竖线检验；上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}$ 与下半圆 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 分别定义在 $[-1,1]$ 上，才是两个函数的图像。

图像还能记录整体性质。设 $I$ 是定义域中的区间。若任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)\le f(x_2)$，则 $f$ 在 $I$ 上单调不减；把不等号改为严格小于得到严格递增。函数满足 $f(-x)=f(x)$ 时称为偶函数，其定义域必须关于原点对称，图像关于纵轴对称；满足 $f(-x)=-f(x)$ 时称为奇函数，图像关于原点中心对称。若定义域 $D$ 对某个 $T>0$ 的平移封闭，即 $D+T=D$，并且每个 $x\in D$ 都满足 $f(x+T)=f(x)$，则 $T$ 是周期；最小正周期存在时称为基本周期。

单位圆上的正弦与余弦函数

对实数 $t$，从单位圆正向水平半径起按弧度转过 $t$，所得点的横、纵坐标分别定义为 $\cos t$ 与 $\sin t$。两函数的定义域均为 $\mathbb R$，值域均为 $[-1,1]$，基本周期是 $2\pi$；$\cos$ 是偶函数，$\sin$ 是奇函数。这里用它们说明周期性与对称性的函数语言，三角恒等式另在后续专题展开。

例 1：用代数条件核对三种图像性质

设

$$f(x)=x^3-4x, \qquad x\in\mathbb R.$$

先检验奇偶性：

$$f(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-f(x),$$

所以 $f$ 是奇函数。再比较两个输入不能直接断定它在整条实线上递增，因为 $f(-1)=3$，而 $f(0)=0$，出现 $-1<0$ 但 $f(-1)>f(0)$。若某个 $T>0$ 是周期，则恒有 $f(x+T)-f(x)=0$；然而

$$f(x+T)-f(x)=3Tx^2+3T^2x+T^3-4T$$

的二次项系数 $3T$ 非零，不可能是零多项式。因此 $f$ 没有正周期。图像应关于原点对称，却不应画成整段递增或周期曲线。

坐标追踪给出平移、伸缩与反射

图像变换不依赖记忆口令。原图上的点 $(u,f(u))$ 在新函数

中对应输入 $x=h+u/b$，输出 $a f(u)+k$。因此点的对应关系为

$h$ 和 $k$ 分别控制水平、竖直平移；$|b|$ 把横向尺度乘以 $1/|b|$；$|a|$ 把纵向尺度乘以 $|a|$。$b<0$ 带来关于纵轴的反射，$a<0$ 带来关于横轴的反射。定义域也随横坐标对应而改变，不能只移动几个特征点。

例 2：追踪抛物线的顶点、零点和定义域

以 $f(u)=u^2$ 为母函数，令

$$g(x)=-2f\bigl(3(x-1)\bigr)+8=-18(x-1)^2+8.$$

原点 $(0,0)$ 映到 $(1,8)$，所以新抛物线顶点为 $(1,8)$。负的纵向系数使开口向下，横向尺度缩为原来的 $1/3$，纵向再放大两倍。求零点：

$$-18(x-1)^2+8=0 \Longleftrightarrow (x-1)^2=\frac49 \Longleftrightarrow x=1\pm\frac23.$$

零点是 $1/3$ 与 $5/3$。母函数定义域为 $\mathbb R$，仿射输入变换没有排除任何实数，因此 $g$ 的定义域仍为 $\mathbb R$。代入顶点与两个零点可逐项核对变换结果。

复合时必须追踪中间值

给定 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to Z$，复合函数定义为

右侧函数先作用。写解析式时，真正的定义域由两项条件交集得到：$x$ 必须属于 $f$ 的定义域，并且中间值 $f(x)$ 必须属于 $g$ 的定义域。设 $f(x)=x^2-4$，$g(u)=\sqrt u$，则

要求 $x^2-4\ge0$，定义域为 $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。反向复合

仍须保留内层平方根的限制 $x\ge0$；它不是定义在全体实数上的一次函数。

复合一般不交换，但满足结合律。多步坐标变换、复合单位换算与后续机器学习模型都使用这一结构。书写长复合时，先列出每一步的输入集合和输出集合，比直接展开公式更容易发现类型不匹配。

反函数取决于一一对应

函数 $f:X\to Y$ 若不同输入总产生不同输出，称为单射；若每个 $y\in Y$ 都至少有一个输入映到它，称为满射。兼具二者的双射才存在反函数 $f^{-1}:Y\to X$，并满足

求反函数时，交换输入输出再解方程只是代数步骤；单射、陪域和值域的检查决定所得公式是否真是反函数。平方函数在 $\mathbb R$ 上不是单射，因为 $2$ 与 $-2$ 具有相同平方。把定义域限制为 $[0,\infty)$，陪域取 $[0,\infty)$ 后，它成为双射，反函数为平方根函数。原函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称，因为坐标对 $(x,y)$ 被交换为 $(y,x)$。

例 3：确定分式函数的反函数及遗漏值

定义

$$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}, \qquad x\in\mathbb R\setminus\{-3\}.$$

令 $y=(2x-1)/(x+3)$，整理得

$$y(x+3)=2x-1 \Longleftrightarrow x(y-2)=-(1+3y) \Longleftrightarrow x=\frac{1+3y}{2-y}.$$

输出不能等于 $2$：若 $(2x-1)/(x+3)=2$，会得到 $-1=6$。因此值域是 $\mathbb R\setminus\{2\}$，反函数为

$$f^{-1}(y)=\frac{1+3y}{2-y}, \qquad y\ne2.$$

复核时把表达式代回，可得 $f^{-1}(f(x))=x$，但前提仍是 $x\ne-3$。反函数的定义域正好等于原函数值域。

分段规则的边界属于函数定义

分段函数对不同输入区间指定不同规则。每个边界点必须明确归入某一段，并检查是否产生唯一输出。例如

满足 $h(0)=0$，左侧值在 $x$ 接近零时靠近 $1$。函数定义本身合法，但两段在交界处没有接上。后续连续性章节将用极限语言描述这类差异。

模型中的函数还要附带单位和适用区间。公式 $s(t)=5t^2$ 若描述位移，就应说明 $t$ 的时间单位、$s$ 的长度单位以及时间范围。固定参数后的机器学习模型 $x\mapsto f_\theta(x)$ 也是函数；训练算法改变参数 $\theta$，并不改变“每个合法输入对应唯一输出”这一要求。高维函数通常只能画切片、等高线或投影，任何二维图都要注明固定和舍弃了哪些变量。

反函数记号不是函数值的倒数

$f^{-1}$ 表示逆映射，$1/f$ 才表示函数值的倒数。前者要求 $f$ 在指定集合间为双射；后者要求 $f(x)\ne0$。两种对象的定义域与运算规则均不相同。

图像外观不能代替定义域检查

约分、平方或开方可能让新公式画出额外点。判断两个函数是否相等时，应先比较定义域，再比较每个合法输入的输出，不能只看绘图软件显示的曲线轮廓。

练习：在公式、集合与图像之间往返

练习标记完成

求 $f(x)=\sqrt{2-x}/(x+1)$ 的实数定义域，并计算 $f(-2)$ 与 $f(2)$。

查看解答

根号要求 $2-x\ge0$，即 $x\le2$；分母要求 $x\ne-1$。定义域为 $(-\infty,-1)\cup(-1,2]$。$f(-2)=\sqrt4/(-1)=-2$，$f(2)=0/3=0$。两个代入点都属于定义域。

练习标记完成

以 $f(x)=|x|$ 为母函数，构造 $g(x)=3-2|x+4|$。写出顶点、对称轴、值域和零点，并说明开口方向。

查看解答

顶点由 $(0,0)$ 移到 $(-4,3)$，对称轴是 $x=-4$。系数 $-2$ 使图像向下，值域为 $(-\infty,3]$。令 $3-2|x+4|=0$，得 $|x+4|=3/2$，所以零点为 $x=-4\pm3/2$，即 $-11/2$ 与 $-5/2$。

练习标记完成

设 $f(x)=1/(x-1)$，$g(x)=\sqrt{x+2}$。分别写出 $g\circ f$ 与 $f\circ g$ 的解析式和实数定义域。

查看解答

$$(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-1}+2} =\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}}.$$

根号内非负且 $x\ne1$。临界点为 $1/2$ 与 $1$，符号表给出定义域 $(-\infty,1/2]\cup(1,\infty)$。另一方向为

$$(f\circ g)(x)=\frac1{\sqrt{x+2}-1}.$$

先要求 $x\ge-2$，再排除 $\sqrt{x+2}=1$，即 $x=-1$。定义域为 $[-2,-1)\cup(-1,\infty)$。

练习标记完成

函数 $q(x)=(x-2)^2+1$ 分别取定义域 $\mathbb R$、$[2,\infty)$ 与 $(-\infty,2]$。判断能否在其值域上定义反函数；能定义时写出反函数。

查看解答

定义域为 $\mathbb R$ 时，关于 $x=2$ 对称的输入具有相同输出，故没有反函数。限制到 $[2,\infty)$ 后，值域为 $[1,\infty)$，反函数是 $q^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}$。限制到 $(-\infty,2]$ 后，反函数是 $q^{-1}(y)=2-\sqrt{y-1}$。两式的定义域均为 $[1,\infty)$。

练习标记完成

判断 $r(x)=x^4-3x^2$ 的奇偶性，证明它不是周期函数，并用两个具体输入反驳“偶函数在 $[0,\infty)$ 上必递增”。

查看解答

$r(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=r(x)$，所以 $r$ 是偶函数。若 $T>0$ 是周期，$r(x+T)-r(x)$ 应恒为零；该差式的三次项为 $4Tx^3$，系数非零，故它不是零多项式，$r$ 也不是周期函数。对递增性，取 $0<1$，却有 $r(0)=0>r(1)=-2$，所以它在 $[0,\infty)$ 上并非单调递增。

资源与下一步

书籍 · 2021

Precalculus 2e

Jay Abramson

用于核对 M01 的定义域、函数变换、方程求解、圆锥曲线与分步练习。

打开官方来源

OpenStax《Precalculus 2e》按函数、变换、复合与反函数组织大学先修数学，可用于核对定义域、函数族和图像判读。阅读例题时，应把图形结论重新写成输入输出关系并检查端点。

书籍 · 2021

Algebra and Trigonometry 2e

Jay Abramson

用于逐项复核 M01 的代数规则、图像性质、参数问题与完整例题。

打开官方来源

OpenStax《Algebra and Trigonometry 2e》的函数单元连接代数方程、函数性质、图像变换以及多项式和指数函数。它提供的分步例题适合复核本章的变换顺序和复合定义域；正文表述与练习均在本站重新组织并独立演算。

函数把 M01 前两章的代数运算转化为可研究的对应关系。下一章学习 指数函数与对数函数，其中定义域、单调性、反函数和复合规则将共同决定方程的解法；随后 坐标几何 把曲线方程与参数轨迹纳入同一坐标框架。