微分形式、外微分与 Stokes 定理

把“沿方向测量”组织成可积分对象

切向量描述点处可能的速度，余切向量则把速度线性地变成数。函数的微分、曲线上的功、曲面上的通量和体积元都属于这一思路的不同次数。微分形式将它们统一成作用于若干切向量的交替多线性函数；“交替”保证重复方向不给有向面积或体积，也自动记录交换方向时的符号变化。

坐标表达是计算工具，不是定义的全部。形式可以被光滑映射拉回，可以在定向流形上积分，并有一个不依赖坐标的微分算子 $\mathrm d$。这些操作由广义 Stokes 定理联系：内部的外微分积分等于边界上的原形式积分。

余切空间与交替张量

余切空间与微分形式

对光滑流形 $M$ 和 $p\in M$，切空间的线性对偶

$$T_p^*M=\operatorname{Hom}(T_pM,\mathbb R)$$

称为余切空间。若 $(x^1,\ldots,x^n)$ 是局部坐标，则坐标函数的微分 $\mathrm dx^i|_p$ 由

$$\mathrm dx^i|_p(v)=v(x^i)$$

定义，并与 $\partial/\partial x^j|_p$ 对偶： $\mathrm dx^i(\partial/\partial x^j)=\delta^i_j$。

一个交替 $k$-协变张量是多线性映射

$$\omega_p:(T_pM)^k\to\mathbb R$$

且交换任意两个输入会变号。所有这类张量组成 $\Lambda^kT_p^*M$。光滑 $k$-形式是随 $p$ 光滑变化的选择 $\omega_p\in\Lambda^kT_p^*M$，记作 $\omega\in\Omega^k(M)$。零形式就是光滑函数；当 $k>n$ 时，$\Omega^k(M)=\{0\}$。

在坐标邻域内，每个 $k$-形式唯一写成

其中系数函数 $a_I$ 光滑。严格递增指标已经吸收所有换序符号，并显示 $\dim\Lambda^kT_p^*M=\binom nk$。

楔积编码有向面积和体积

楔积

若 $\alpha\in\Omega^k(M)$、$\beta\in\Omega^\ell(M)$，其楔积 $\alpha\wedge\beta\in\Omega^{k+\ell}(M)$ 是张量积的交替化，并满足

$$\alpha\wedge\beta=(-1)^{k\ell}\beta\wedge\alpha,$$

$$(\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma =\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma).$$

对一形式 $\eta_1,\ldots,\eta_k$，有

$$(\eta_1\wedge\cdots\wedge\eta_k)(v_1,\ldots,v_k) =\det\bigl(\eta_i(v_j)\bigr).$$

因此 $\mathrm dx\wedge\mathrm dx=0$，而 $\mathrm dy\wedge\mathrm dx=-\mathrm dx\wedge\mathrm dy$。当 $k\ell$ 为偶数时，高次形式可以交换而不变号；不能把一形式的反交换口诀机械用于所有次数。

例 1：由行列式展开楔积

在 $\mathbb R^3$ 上令

$$\alpha=\mathrm dx+2\,\mathrm dy, \qquad \beta=\mathrm dy+3\,\mathrm dz.$$

双线性展开并删去 $\mathrm dy\wedge\mathrm dy$：

$$\begin{aligned} \alpha\wedge\beta &=\mathrm dx\wedge\mathrm dy +3\,\mathrm dx\wedge\mathrm dz +6\,\mathrm dy\wedge\mathrm dz. \end{aligned}$$

取 $u=(1,0,1)$、$v=(0,1,1)$，则

$$(\alpha\wedge\beta)(u,v) =\det\begin{pmatrix} \alpha(u)&\alpha(v)\\ \beta(u)&\beta(v) \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=-2.$$

用展开式逐项代入也得到 $1-3+0=-2$。交换 $u,v$ 后结果变为 $2$，核验了交替性。

拉回把目标空间的形式带回源空间

微分形式的拉回

设 $F:M\to N$ 光滑，$\omega\in\Omega^k(N)$。拉回 $F^*\omega\in\Omega^k(M)$ 定义为

$$(F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)} (\mathrm dF_pv_1,\ldots,\mathrm dF_pv_k).$$

对函数 $f\in\Omega^0(N)$，$F^*f=f\circ F$。拉回保持楔积，并按复合的反向顺序满足

$$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*.$$

“反向”是类型决定的：$F$ 把点和切向量从 $M$ 推到 $N$，所以 $N$ 上的协变对象沿 $F$ 回到 $M$。若 $y^a$ 是 $N$ 的坐标，

之后用楔积和线性扩张即可计算任意形式。

例 2：参数曲面的面积投影来自拉回

设 $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$，

$$F(u,v)=(u,v,u^2+v^2),$$

并取二形式 $\omega=z\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy$。因为

$$F^*z=u^2+v^2, \qquad F^*\mathrm dx=\mathrm du, \qquad F^*\mathrm dy=\mathrm dv,$$

所以

$$F^*\omega=(u^2+v^2)\,\mathrm du\wedge\mathrm dv.$$

若在单位圆盘 $D$ 上积分，则

$$\int_DF^*\omega =\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta =\frac\pi2.$$

这是形式沿参数化的有向积分。它不是曲面的无向面积；后者还需要由度量产生的面积密度，不能仅把任意二形式称作面积元。

外微分提升次数且满足 d²=0

外微分

外微分是映射

$$\mathrm d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M),$$

在局部坐标中由

$$\mathrm d\left(\sum_Ia_I\,\mathrm dx^I\right) =\sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial x^j} \,\mathrm dx^j\wedge\mathrm dx^I$$

给出。它满足

$$\mathrm d(\alpha\wedge\beta) =\mathrm d\alpha\wedge\beta +(-1)^k\alpha\wedge\mathrm d\beta, \qquad \alpha\in\Omega^k(M),$$

$$\mathrm d\circ\mathrm d=0, \qquad F^*(\mathrm d\omega)=\mathrm d(F^*\omega).$$

对函数 $f$，这个定义恢复全微分 $\mathrm df=\sum_i(\partial f/\partial x^i)\mathrm dx^i$。再微分一次：

若 $f\in C^2$，混合偏导系数关于 $i,j$ 对称，而楔积关于 $i,j$ 反对称；对角项本身为零，非对角项成对抵消。对一般形式，同样的二阶系数抵消，且 $\mathrm d(\mathrm dx^i)=0$。这给出 $\mathrm d^2=0$ 的坐标证明。

这里还要说明坐标不变性。换坐标 $y=y(x)$ 时，一形式按 $\mathrm dy^a=\sum_i(\partial y^a/\partial x^i)\mathrm dx^i$ 变换。把局部外微分公式换到 $x$ 坐标后，链式法则给出一阶项；坐标函数的二阶导数项因对称与楔积反对称而消失。于是两张图在重叠处定义同一个形式。等价地，外微分与每个坐标变换的拉回交换。故 $\mathrm d$ 不是依赖某张图的偏导记号。

例 3：闭形式、恰当形式与局部势

在 $\mathbb R^2$ 上令

$$\alpha=(-y+2x)\,\mathrm dx+(x+2y)\,\mathrm dy.$$

计算得

$$\begin{aligned} \mathrm d\alpha &=\mathrm d(-y+2x)\wedge\mathrm dx +\mathrm d(x+2y)\wedge\mathrm dy\\ &=(-\mathrm dy+2\mathrm dx)\wedge\mathrm dx +(\mathrm dx+2\mathrm dy)\wedge\mathrm dy\\ &=\mathrm dx\wedge\mathrm dy +\mathrm dx\wedge\mathrm dy =2\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy. \end{aligned}$$

因此 $\alpha$ 不是闭形式，也不可能是某个函数的全微分，因为若 $\alpha=\mathrm df$，则 $\mathrm d\alpha=\mathrm d^2f=0$。若改成 $\beta=(2x-y)\mathrm dx+(2y-x)\mathrm dy$，则 $\mathrm d\beta=0$，且直接积分得到

$$\beta=\mathrm d(x^2-xy+y^2).$$

闭表示 $\mathrm d\omega=0$，恰当表示 $\omega=\mathrm d\eta$。$\mathrm d^2=0$ 保证恰当必闭；反向在可缩小邻域成立，这是 Poincaré 引理，但全局反向会受到洞的阻碍。

定向决定积分的符号

流形定向与边界取向

一个 $n$ 维光滑流形的定向可以由一族坐标图给出，要求任意重叠处的坐标过渡 Jacobian 行列式为正。等价地，若流形存在处处非零的光滑顶次形式 $\mu$，可规定使 $\mu(v_1,\ldots,v_n)>0$ 的有序基为正向基。

对定向带边流形 $M$，边界采用“外向优先”约定：若 $\nu$ 是指向流形外部的横截向量，则 $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ 是 $T_p\partial M$ 的正向基，当且仅当 $(\nu,v_1,\ldots,v_{n-1})$ 是 $T_pM$ 的正向基。

例如平面区域 $[0,\infty)\times\mathbb R$ 取 $\mathrm dx\wedge\mathrm dy$ 定向。在边界 $x=0$ 上，外向量是 $-\partial_x$；为使 $(-\partial_x,v)$ 与 $(\partial_x,\partial_y)$ 同向，必须取 $v=-\partial_y$。因此该竖直边的正向向下，与“沿正向边界行走时区域在左侧”一致。

不可定向流形没有全局一致的顶次形式符号。此时可以积分密度，但不能不加额外结构就积分普通顶次形式并宣称有全局有向值。

流形积分由坐标换元拼接

若定向 $n$ 维流形上的顶次形式 $\omega$ 支撑在一张正向图 $x:U\to\mathbb R^n$ 内，并写成

定义

正向换元的 Jacobian 行列式为正，形式系数与体积换元因子恰好配合，故结果不依赖正向坐标。一般紧支撑形式用分割单位拆到多个坐标邻域，再求和；分割单位的不同不会改变结果。若参数化 $F:C\to M$ 描述一条或一片定向链，则按 $\int_CF^*\omega$ 计算，这正是曲线积分和参数曲面积分的统一来源。

广义 Stokes 定理把内部与边界连接起来

广义 Stokes 定理

设 $M$ 是紧的定向光滑 $n$ 维带边流形，边界采用外向优先取向。对任意 $\omega\in\Omega^{n-1}(M)$，有

$$\int_M\mathrm d\omega =\int_{\partial M}\omega.$$

若 $M$ 非紧，只要 $\omega$ 具有紧支撑并满足相应边界条件，同一公式仍成立。

证明先在半空间坐标片上用一维微积分基本定理处理法向坐标；切向方向的紧支撑项在无穷端消失。再用分割单位把一般形式分解到这些坐标片。内部坐标片的边界贡献为零，相邻局部项通过取向和分割单位关系抵消，只留下真实边界。这个框架解释定理为何成立，但一张带箭头的图不能替代局部积分与拼接论证。

例 4：单位圆盘上的 Stokes 核验

令 $D=\{x^2+y^2\le1\}$ 取标准定向，边界逆时针。取一形式

$$\omega=-\frac y2\,\mathrm dx+\frac x2\,\mathrm dy.$$

外微分为

$$\mathrm d\omega =-\frac12\mathrm dy\wedge\mathrm dx +\frac12\mathrm dx\wedge\mathrm dy =\mathrm dx\wedge\mathrm dy.$$

因此内部积分是圆盘面积：

$$\int_D\mathrm d\omega=\pi.$$

边界参数为 $c(t)=(\cos t,\sin t)$，$0\le t\le2\pi$。拉回满足

$$c^*\omega =\frac12(\sin^2t+\cos^2t)\,\mathrm dt =\frac12\,\mathrm dt,$$

故

$$\int_{\partial D}\omega =\int_0^{2\pi}\frac12\,\mathrm dt=\pi.$$

两侧一致。若边界改为顺时针，边界积分会变为 $-\pi$，但那已不是由圆盘标准定向诱导的边界取向，不能仍代入同一取向版本的定理。

当 $n=1$，取区间 $[a,b]$ 与零形式 $f$，Stokes 定理就是 $\int_a^b f'(x)\,\mathrm dx=f(b)-f(a)$。当 $n=2$，取 $\omega=P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy$，则

得到 Green 环流公式。在 $\mathbb R^3$ 中，一形式对应向量场的环流，二形式对应通量，分别恢复经典 Stokes 与散度定理。统一结构不消除正则性、支撑、边界和取向条件。

闭不一定恰当：全局拓扑仍然可见

在穿孔平面 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上，一形式

满足 $\mathrm d\eta=0$。然而沿逆时针单位圆拉回为 $\mathrm dt$，积分为 $2\pi$。若存在全局函数 $f$ 使 $\eta=\mathrm df$，则任意闭曲线积分应由端点差给出零，矛盾。因此 $\eta$ 闭但不恰当。外微分检测局部变化，闭形式能否全局积分成势还取决于空间的洞；这正是微分形式连接分析与拓扑的入口。

参数思考实验：翻转坐标会改变什么

在平面上用 $F(u,v)=(u,-v)$ 重参数化。标准面积形式满足

负号来自 Jacobian 行列式 $-1$，说明参数化反转取向。若积分对象是有向二形式，积分随之变号；若计算由度量定义的无向面积，则使用绝对 Jacobian，不变号。形式的拉回公式精确区分这两类问题，不能只看参数像集相同就认为积分一定相同。

常见误区

dx 与一个很小的数相乘

$\mathrm dx$ 是余切向量场，输入切向量后返回其 $x$ 分量。楔积和拉回遵循线性代数规则，不是把无穷小量当普通实数随意约分。

d²=0 只是记号约定

它来自光滑系数的混合偏导对称性和楔积反对称性的严格抵消，并对坐标变换保持。正因如此，每个恰当形式必为闭形式。

闭形式在任何空间都存在全局势

Poincaré 引理是局部结论，或在星形、可缩等适当区域上的全局结论。穿孔平面的角形式给出闭而不恰当的反例。

Stokes 定理只需边界画得光滑

还要有流形及边界的相容取向、形式在邻域内的光滑性，以及紧性或紧支撑等积分条件。若区域内含奇点，应先删去奇点并计入新增边界。

综合练习

练习 1：计算一形式的外微分标记完成

所属知识

楔积与外微分

难度

3/5

在 $\mathbb R^3$ 上令

$$\alpha=yz\,\mathrm dx+x^2\,\mathrm dy.$$

求 $\mathrm d\alpha$，并核验 $\mathrm d^2\alpha=0$。

查看提示

分别对两个系数求全微分，再把 $dy\wedge dx$ 换成负的 $dx\wedge dy$。

查看解答

先计算

$$\begin{aligned} \mathrm d\alpha &=(z\,\mathrm dy+y\,\mathrm dz)\wedge\mathrm dx +2x\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\\ &=(2x-z)\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy -y\,\mathrm dx\wedge\mathrm dz. \end{aligned}$$

再微分：

$$\begin{aligned} \mathrm d^2\alpha &=\mathrm d(2x-z)\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy -\mathrm dy\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz\\ &=-\mathrm dz\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy -\mathrm dy\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz=0, \end{aligned}$$

因为第一项整理为 $-\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$，第二项为 $+\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$。这也直接核验了 $\mathrm d^2=0$。

练习 2：抛物面参数化的拉回标记完成

所属知识

拉回

难度

4/5

对 $F(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$，计算

$$F^*(z\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy) \quad\text{与}\quad F^*(\mathrm dz\wedge\mathrm dx).$$

查看提示

先分别计算 $F^*\mathrm dx$、$F^*\mathrm dy$、$F^*\mathrm dz$，再保持楔积中的次序。

查看解答

有

$$F^*\mathrm dx=\mathrm du, \quad F^*\mathrm dy=\mathrm dv, \quad F^*\mathrm dz=2u\,\mathrm du+2v\,\mathrm dv.$$

因此

$$F^*(z\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy) =(u^2+v^2)\,\mathrm du\wedge\mathrm dv,$$

以及

$$F^*(\mathrm dz\wedge\mathrm dx) =(2u\,\mathrm du+2v\,\mathrm dv)\wedge\mathrm du =-2v\,\mathrm du\wedge\mathrm dv.$$

$2u\,\mathrm du\wedge\mathrm du$ 为零，第二项换序产生负号。

练习 3：闭但不恰当的角形式标记完成

所属知识

闭形式

难度

5/5

在 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上证明

$$\eta=\frac{-y\,\mathrm dx+x\,\mathrm dy}{x^2+y^2}$$

是闭形式但不是恰当形式。

查看提示

先直接计算两个系数的偏导；再沿单位圆拉回，非零闭路积分排除全局势。

查看解答

写 $\eta=P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy$。直接求导可得

$$Q_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} =P_y,$$

故 $\mathrm d\eta=(Q_x-P_y)\mathrm dx\wedge\mathrm dy=0$。沿 $c(t)=(\cos t,\sin t)$ 有

$$c^*\eta =(-\sin t)(-\sin t\,\mathrm dt) +(\cos t)(\cos t\,\mathrm dt) =\mathrm dt,$$

所以 $\int_{S^1}\eta=2\pi$。若 $\eta=\mathrm df$，线积分基本定理会使闭路积分为零，矛盾。因此它闭而不恰当。

练习 4：正方形边界上的取向核验标记完成

所属知识

Stokes 定理

难度

4/5

令 $M=[0,1]^2$ 取标准定向，$\omega=x\,\mathrm dy$。分别计算 $\int_M\mathrm d\omega$ 与按诱导方向的 $\int_{\partial M}\omega$。

查看提示

先算 d(x dy)，再按逆时针方向逐边积分；只有竖直边可能有贡献。

查看解答

$\mathrm d\omega=\mathrm dx\wedge\mathrm dy$，所以

$$\int_M\mathrm d\omega=1.$$

边界正向为逆时针。底边与顶边上 $\mathrm dy=0$；右边从 $(1,0)$ 走到 $(1,1)$，$x=1$，贡献 $\int_0^1\mathrm dy=1$；左边虽然向下，但 $x=0$，贡献零。因此

$$\int_{\partial M}\omega=1,$$

与内部积分一致。若顺时针遍历，边界积分为 $-1$，那对应相反边界取向。

练习 5：由外微分恢复散度标记完成

所属知识

通量形式

难度

5/5

在 $\mathbb R^3$ 中设向量场 $X=(P,Q,R)$，对应二形式

$$\beta=P\,\mathrm dy\wedge\mathrm dz -Q\,\mathrm dx\wedge\mathrm dz +R\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy.$$

证明

$$\mathrm d\beta=(P_x+Q_y+R_z) \,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz.$$

查看提示

对三项分别外微分，含重复微分的一项为零，再把每项重排为 $dx\wedge dy\wedge dz$。

查看解答

在第一项中，$P_y\mathrm dy$ 与 $P_z\mathrm dz$ 都因重复楔积消失，只留下 $P_x\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$。第二项给出

$$-Q_y\,\mathrm dy\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz =Q_y\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz.$$

第三项只留下 $R_z\mathrm dz\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy$；把 $\mathrm dz$ 移到末尾需两次交换，符号仍为正。相加即得

$$\mathrm d\beta=(P_x+Q_y+R_z) \,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz.$$

在有界定向立体上应用 Stokes 定理，就得到通量形式的散度定理。

知识关系

• 流形、坐标图与切空间 提供切空间、映射微分、局部坐标和带边流形。
• 曲线积分与路径方向 是一形式沿一维参数链积分的经典表达。
• Green、Stokes 与 Gauss 定理 对应广义 Stokes 定理在二维与三维欧氏空间中的具体版本。
• Riemann 度量、测地线与曲率 将使用度量体积形式、联络与曲率形式继续发展几何。

已核实资源

课程 · 2005

Analysis II

Victor Guillemin

用于核对 M15 流形、切空间、微分形式和广义 Stokes 定理的定义、方向约定和例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.101 Analysis II 的课程材料系统处理流形、定向、微分形式、流形积分与 Stokes 定理，可用于核对外向优先的边界约定、拉回计算和定理条件。

后续学习

微分形式提供了不依赖坐标的微分和积分语言，但尚未给切向量长度、夹角或最短路径。下一章 Riemann 度量、测地线与曲率 会在每个切空间上配置光滑内积，由此得到体积形式、Levi-Civita 联络、测地线与曲率。外微分不需要度量，而梯度、散度的向量表示和 Hodge 星算子需要度量；区分这两层结构，是继续学习微分几何时避免坐标公式混淆的关键。