拓扑与微分几何综合复习：从球面局部坐标到全局不变量

一道贯穿全章的问题：怎样真正认识球面

考虑单位球面

它可以画成一张熟悉的图，但图像不能替代证明。本章逐层回答：哪些性质只需连续映射，哪些需要可微坐标，哪些依赖一个度量，哪些结果必须同时使用局部公式与全局定理？贯穿原则是，坐标只给局部名称；拓扑、张量和积分定理负责保证不同坐标中的计算描述同一对象。

一份可靠的综合解答应先声明层次。开集、紧致与连通属于拓扑层；坐标图、切空间和映射微分属于光滑层；微分形式、外微分和 Stokes 需要定向与边界；长度、测地线和曲率还需要 Riemann 度量。后层使用前层，但不能反过来把“看起来圆”当成紧致、把“坐标公式光滑”当成全局定义。

拓扑层：基、紧致、连通与单图不可能性

$S^2$ 取自 $\mathbb R^3$ 的子空间拓扑。一组具体拓扑基是

其中 $B_\varepsilon(p)$ 是欧氏开球。任意球面开集都是这些基元素的并。球面是连续函数 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 的闭集 $F^{-1}(\{1\})$，且有界，因此由 Heine–Borel 定理紧致；它还可由大圆弧连接任意两点，因而道路连通，特别地连通。Hausdorff 性从欧氏空间继承。

例 1：证明球面不能由一张坐标图覆盖

反设存在覆盖整个 $S^2$ 的坐标图 $\phi:S^2\to U\subset\mathbb R^2$。按坐标图定义，$U$ 是非空开集，$\phi$ 是同胚。紧致性在连续像下保持，所以 $U=\phi(S^2)$ 必须紧致。

但非空开集 $U\subset\mathbb R^2$ 不可能紧致：取其中一点和一个包含于 $U$ 的小开球，该开球内可构造趋向其边界而没有落在开球内极限的序列；更直接地，若 $U$ 本身紧致，它在 $\mathbb R^2$ 中应闭且有界，而非空集合同时在连通空间 $\mathbb R^2$ 中开闭只有在 $U=\mathbb R^2$ 时可能，后者又无界。矛盾。

所以至少需要多张图。这个结论来自紧致性，而不是因为经纬线“在极点挤在一起”；后者只说明某一套坐标失效，不能排除其他单图候选。

连通性也会产生全局限制。高度函数 $h:S^2\to\mathbb R$、$h(x,y,z)=z$ 连续，故像 $h(S^2)$ 连通，必须是区间；紧致性又保证像紧致并取得最大、最小值。代入南北极可知 $h(S^2)=[-1,1]$。这里尚未使用导数，已经获得值域与极值存在性；微分只负责进一步定位临界点。

光滑层：两张立体投影图和切空间

令 $N=(0,0,1)$、$S=(0,0,-1)$。从北极和南极向赤道平面作立体投影：

$\pi_N$ 定义在 $S^2\setminus\{N\}$，$\pi_S$ 定义在 $S^2\setminus\{S\}$，各自把定义域双射到 $\mathbb R^2$，且映射与逆都光滑。若 $u=\pi_N(p)\ne0$，则

过渡映射为

它在重叠域上光滑且有光滑逆，所以两张图构成光滑图册。坐标值会随投影改变，点 $p$ 本身不会；过渡映射是两个局部名称之间的翻译规则。

球面的切空间

把球面视为 $F^{-1}(1)$，其中 $F(p)=p\cdot p$。因为 $dF_p(v)=2p\cdot v$ 且 $p\ne0$，数值 $1$ 是正则值。因此

$$T_pS^2=\ker dF_p =\{v\in\mathbb R^3:p\cdot v=0\}=p^\perp.$$

同一结论也可由曲线得到：若 $\gamma(0)=p$ 且 $\gamma(t)\in S^2$，对 $\gamma(t)\cdot\gamma(t)=1$ 求导即有 $p\cdot\dot\gamma(0)=0$；反过来，每个 $v\perp p$ 都是某条球面曲线在 $p$ 的速度。

例 2：高度函数的临界点与拓扑极值相互核验

高度函数的微分是

$$dh_p(v)=v_z=e_3\cdot v, \qquad v\in T_pS^2=p^\perp.$$

$p$ 是临界点当且仅当 $e_3$ 与所有 $v\perp p$ 正交，即 $e_3\in(p^\perp)^\perp=\operatorname{span}\{p\}$。因此 $p=N$ 或 $p=S$。函数值分别是 $1$ 与 $-1$，与紧致性及直接代入得到的全局最大、最小一致。

这里 $v_z$ 是借助嵌入空间写出的表达，但 $dh_p:T_pS^2\to\mathbb R$ 是坐标无关的余切向量。换立体投影坐标后，分量会乘过渡映射的 Jacobian，临界性 $dh_p=0$ 不会改变。

微分形式层：全局面积形式与 Stokes 障碍

取球面的外向定向。对 $p\in S^2$ 和 $u,v\in T_pS^2$ 定义

这是全局光滑的二形式：它不需要选经纬坐标，交换 $u,v$ 时变号，并在正向正交基上取值 $1$。在球坐标

中，有

$\sin\vartheta$ 在极点为零并不表示面积形式退化；真正的问题是 $\partial_\varphi$ 在极点变成零向量，球坐标基失效。换用立体投影坐标，面积形式仍非退化。

例 3：局部有原形式，为什么全局没有

先计算球面总面积：

$$\int_{S^2}\omega =\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi =4\pi.$$

反设存在全局一形式 $\eta$ 使 $d\eta=\omega$。由于闭球面没有边界，广义 Stokes 定理给出

$$4\pi=\int_{S^2}\omega =\int_{S^2}d\eta =\int_{\partial S^2}\eta=0,$$

矛盾。因此面积形式不是全局恰当形式。

这不排除局部原形式。在去掉南极的区域可写

$$\alpha=(1-\cos\vartheta)d\varphi, \qquad d\alpha=\sin\vartheta\,d\vartheta\wedge d\varphi=\omega.$$

虽然 $d\varphi$ 在北极单独没有意义，组合 $\alpha=(-y\,dx+x\,dy)/(1+z)$ 在该区域光滑。对北半球 $H=\{z\ge0\}$，其边界按诱导方向是赤道，故

$$\int_H\omega =\int_{\partial H}\alpha =\int_0^{2\pi}d\varphi=2\pi,$$

与半球面积直接积分一致。局部公式能够在各自定义域成立，但要拼成全局原形式会被非零总积分阻止。

这个论证体现了外微分与拓扑的分工：局部计算 $d\alpha=\omega$ 是分析步骤；闭流形上的积分矛盾是全局步骤。不能只因每个小区域上都能找到原形式，就断言存在一个全局原形式。

度量几何层：长度、大圆与曲率

从 $\mathbb R^3$ 的点积限制到 $T_pS^2$，得到球面的诱导度量

在球坐标中是

但 $g$ 本身不依赖球坐标。它诱导的面积形式恰是上一节的 $\omega$。Levi-Civita 联络由无挠和度量相容唯一决定，球坐标中的非零 Christoffel 符号为

例 4：从嵌入方程核验大圆测地线

取互相正交的单位向量 $a,b\in\mathbb R^3$，令

$$\gamma(t)=a\cos t+b\sin t.$$

有 $|\gamma|=1$，所以曲线在球面上； $\dot\gamma=-a\sin t+b\cos t$ 且 $|\dot\gamma|=1$；再求导得 $\ddot\gamma=-\gamma$。欧氏加速度完全沿球面法向 $\gamma$，其切向投影为零。因此 $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$，$\gamma$ 是单位速测地线。其像是平面 $\operatorname{span}\{a,b\}$ 与球面的交，即大圆。

单位球面的截面曲率处处为 $K=1$。二维中 $\operatorname{Ric}=Kg=g$，标量曲率为 $S=2K=2$。这些数值不随坐标改变；球坐标在极点失效，也不会让曲率消失或发散。赤道是大圆，故为测地线；纬度 $\vartheta=\vartheta_0$ 只有在 $\cos\vartheta_0=0$ 时满足测地线方程，所以一般纬线不是测地线。

哪些依赖坐标，哪些不依赖

容易混淆的对象可按以下规则核对。

• 坐标函数 $x^i$、坐标基 $\partial_i$、余基 $dx^i$、度量分量 $g_{ij}$、形式分量 $\omega_{ij}$、Christoffel 符号 $\Gamma^k_{ij}$ 和曲率分量 $R^\ell{}_{ijk}$ 都依赖坐标。最后一项虽依赖坐标，却按张量规律变换；Christoffel 符号不按张量规律变换。
• 流形的维数、拓扑、紧致性、连通性、切向量、映射微分 $df_p$、微分形式 $\omega$、外微分 $d\omega$、Riemann 度量 $g$、曲线长度与曲率张量 $R$ 都是坐标无关对象。
• “$\gamma$ 是仿射参数测地线”在坐标变化下不变，但任意非线性重参数可能破坏仿射方程；不带参数的测地轨迹还需单独说明等价关系。
• 积分 $\int_M\omega$ 不依赖所用定向坐标图和分割单位，但反转定向会改变顶次形式积分的符号。这是依赖几何结构“定向”，不是依赖坐标名称。
• 截面曲率 $K(\sigma)$、Ricci 张量和标量曲率是内在对象。可以在一点选正规坐标使 $\Gamma^k_{ij}=0$，却不能一般使 $R=0$；一阶坐标伪影与二阶弯曲信息必须分开。

思考实验：把球面“摊平”到底会失去什么

假设有人声称找到坐标，使球面一大片区域的度量分量恒等于单位矩阵。若真如此，该区域的 Levi-Civita 联络分量和曲率都会像欧氏平面一样为零；但单位球面截面曲率为一，所以这样的坐标不可能覆盖任何开区域。正规坐标只能在一个点让度量和一阶导数看似欧氏。

再设想只要求连续摊平整个球面。单图不可能性的紧致论证已经排除了到平面开集的同胚。若允许割开一点，立体投影确实给出到 $\mathbb R^2$ 的坐标，却会把被删点推向无穷远，并且不保持长度。拓扑、光滑结构和度量分别提出不同限制，不能用一种“失真”含糊概括。

常见误区

经纬坐标在极点失效说明球面在那里不光滑

失效的是这一张坐标图，不是流形。立体投影图在相应极点附近提供光滑坐标，过渡映射保证不同图上的计算相容。

局部处处恰当就能拼成全局恰当形式

面积形式在小坐标域上可写成外微分，但若存在全局原形式，闭球面上的 Stokes 定理会迫使总积分为零，与 $4\pi$ 矛盾。拼接需要额外的全局相容性。

坐标公式改变就表示几何对象改变

分量按过渡映射变化正是为了保持对象不变。球面度量在球坐标和立体投影坐标中矩阵不同，计算出的同一曲线长度却相同。

图上最直的曲线就是测地线

“看起来直”依赖绘图与投影。测地线由 $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$ 定义；立体投影把某些大圆映成直线、另一些映成圆，不能用平面图形外观替代方程。

综合练习

练习 1：紧致、道路连通与连续像标记完成

所属知识

拓扑性质

难度

4/5

证明 $S^2$ 紧致且道路连通。由此证明每个连续函数 $f:S^2\to\mathbb R$ 都取得最大、最小值，且 $f(S^2)$ 是闭区间或单点。

查看提示

紧致性使用闭且有界；连接非对跖点可归一化线段，对跖点先经过第三个点。

查看解答

$S^2=F^{-1}(1)$ 对连续 $F(p)=|p|^2$ 是闭集，又包含于闭单位球中而有界，故在 $\mathbb R^3$ 中紧致。若 $p\ne-q$，曲线

$$\gamma(t)=\frac{(1-t)p+tq}{|(1-t)p+tq|}$$

连接 $p,q$；若 $p=-q$，选不与二者共线的 $r\in S^2$，分两段连接 $p$ 到 $r$、$r$ 到 $q$。故球面道路连通。连续像保持紧致与连通，所以 $f(S^2)$ 是 $\mathbb R$ 中的紧致连通集，即闭区间或单点；紧致性还保证端点被取得。

练习 2：立体投影过渡映射及其方向标记完成

所属知识

图册

难度

4/5

推导 $\pi_S\circ\pi_N^{-1}(u)=u/|u|^2$。计算其 Jacobian 行列式，并解释为什么“过渡映射反转平面标准方向”不等于球面不可定向。

查看提示

从 $\pi N$ 的逆映射代入 $\pi S$；对 $u\mapsto u/|u|^{2}$ 分解径向与切向方向。

查看解答

由 $\pi_N^{-1}(u)=(2u_1,2u_2,|u|^2-1)/(1+|u|^2)$，可得 $1+z=2|u|^2/(1+|u|^2)$，故代入 $\pi_S$ 得 $u/|u|^2$。其微分在径向方向的特征值为 $-|u|^{-2}$，在与 $u$ 正交的切向方向为 $|u|^{-2}$，所以

$$\det D\left(\frac{u}{|u|^2}\right)=-|u|^{-4}.$$

这只说明若两张目标平面都预先取同一标准方向，则两组坐标诱导方向相反。把其中一张图的一个坐标取负即可得到正向相容图册；球面的外向法向也直接给出全局定向。

练习 3：切空间与高度函数标记完成

所属知识

切空间

难度

4/5

证明 $T_pS^2=p^\perp$，并求 $h(x,y,z)=z$ 的全部临界点。为什么这个局部微分结论与拓扑层得到的极值存在性不是同一命题？

查看提示

先对约束 $|p|^{2}=1$ 求导，再判断 e3 何时与整个 $p\perp$ 正交。

查看解答

对约束 $F(p)=|p|^2=1$ 求导，得 $dF_p(v)=2p\cdot v$，所以切空间是其核 $p^\perp$。又 $dh_p(v)=e_3\cdot v$；它在整个 $p^\perp$ 上为零当且仅当 $e_3$ 与 $p$ 平行，因此临界点只有 $N,S$。紧致性只保证连续高度函数取得极值，并不独自定位临界点；微分计算定位候选点，却若没有全局比较，也不能仅凭“临界”断言哪个是全局极值。

练习 4：用 Stokes 检查面积形式标记完成

所属知识

微分形式

难度

5/5

设 $\omega_p(u,v)=\det(p,u,v)$。验证球坐标中 $\omega=\sin\vartheta\,d\vartheta\wedge d\varphi$，计算总积分，并证明不存在全局一形式 $\eta$ 满足 $d\eta=\omega$。

查看提示

先积分 $\sin \theta d\theta \wedge d\phi$；若 $\omega=d\eta$，则闭流形 Stokes 的右边是空边界积分。

查看解答

计算 $\det(X,X_\vartheta,X_\varphi)=\sin\vartheta$，得到坐标表达。于是

$$\int_{S^2}\omega =\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\vartheta \,d\vartheta\,d\varphi=4\pi.$$

若 $\omega=d\eta$，则 $\int_{S^2}\omega=\int_{\partial S^2}\eta=0$，与 $4\pi$ 矛盾。证明使用的是全局一形式和空边界；局部存在原形式不产生矛盾。

练习 5：哪些纬线是测地线标记完成

所属知识

度量与测地线

难度

4/5

在单位球面度量 $g=d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2$ 下，判断常纬线 $\vartheta=\vartheta_0$、$\varphi=ct$ 何时是仿射参数测地线。再计算该闭合纬线的长度。

查看提示

令 $\theta=\theta 0$、$\phi=ct$ 代入球面两条测地线方程，首先检查 $\theta$ 方程。

查看解答

$\vartheta$ 方程是 $\ddot\vartheta-\sin\vartheta\cos\vartheta\dot\varphi^2=0$。常纬线且 $c\ne0$ 时，需要 $\sin\vartheta_0\cos\vartheta_0=0$。在坐标域内部 $0<\vartheta_0<\pi$，只有 $\vartheta_0=\pi/2$，即赤道；两极退化为常曲线。闭合纬线速度为 $|c|\sin\vartheta_0$，参数走过 $\varphi$ 的 $2\pi$ 后长度为 $2\pi\sin\vartheta_0$。长度公式本身不说明测地性。

练习 6：综合辨认坐标表达与不变量标记完成

所属知识

局部到全局

难度

5/5

判断并说明下列陈述的真伪：①某坐标中 $\Gamma^k_{ij}(p)=0$，所以 $R_p=0$；②球坐标在极点退化，所以面积形式在那里为零；③反转球面定向后标量曲率变号；④坐标变化后曲线长度不变；⑤若一个二形式在每个小坐标域都恰当，则它在球面上全局恰当。

查看提示

先判断对象的定义是否需要坐标，再区分张量分量和非张量联络系数。

查看解答

①错。正规坐标能消去一点的联络系数，曲率还含二阶信息。②错。退化的是坐标基，内在面积形式仍非零。③错。标量曲率不依赖定向；改变的是顶次形式积分的符号约定。④对。度量分量和速度分量按相反规则变换，$g(\dot\gamma,\dot\gamma)$ 与长度不变。⑤错。球面面积形式处处局部恰当，却因总积分非零而不可能全局恰当。

知识关系与可信资源

• 拓扑空间、基与连续映射 提供子空间拓扑、同胚、连续像和坐标图的拓扑基础。
• 紧致性、连通性与分离公理 保证连续实函数取极值，并排除球面的单张全局坐标。
• 流形、坐标图与切空间 用过渡映射、正则值和映射微分组织局部计算。
• 微分形式、外微分与 Stokes 定理 解释面积形式、定向、边界与局部原形式的全局障碍。
• Riemann 度量、测地线与曲率 把诱导内积、大圆和常正曲率加入同一个坐标无关框架。

课程 · 2004

Introduction to Topology

James Munkres

用于核对 M15 点集拓扑部分的定义、保持性质、分离条件、反例与练习。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.901 Introduction to Topology 的官方课程材料可用于核对拓扑空间、连续映射、连通、紧致和分离性质的条件与反例。

课程 · 2005

Analysis II

Victor Guillemin

用于核对 M15 流形、切空间、微分形式和广义 Stokes 定理的定义、方向约定和例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.101 Analysis II 的官方课程材料从多变量分析进入流形、切空间、定向、微分形式、流形积分与 Stokes 定理，可用于核对本章从局部图册到全局积分的推理。

课程 · 2008

Differential Geometry

Paul Seidel

用于核对 M15 Riemann 度量、测地线、曲率计算与几何解释的假设和符号。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.950 Differential Geometry 的官方课程材料严格讨论曲线、曲面、度量、测地线与曲率，可用于复核球面模型的 Christoffel 符号、测地线和曲率。三项资源分别支持拓扑、微分形式和度量几何层，不以课程标题本身替代文中的计算。

后续学习

球面的面积形式已经展示一种重要模式：局部可解不保证全局可解。后续可把它发展为 de Rham 上同调，用闭形式模恰当形式记录全局障碍；也可研究基本群和覆盖空间，比较球面与环面的环路行为。度量方向可继续学习指数映射、完备性、Jacobi 场与 Gauss–Bonnet 定理，理解局部曲率如何约束闭曲面的全局拓扑。进入任何更强定理前，都应沿用本章检查表：先写清对象、定义域、坐标重叠、定向与边界，再核对度量、参数和曲率符号约定。