术语表 符号表 公式索引 统计推断与决策工作流 正文定义 设观测 X X X 来自统计模型族 { P θ : θ ∈ Θ } \{P_\theta:\theta\in\Theta\} { P θ : θ ∈ Θ } ，其中 θ \theta θ 是固定但未知的参数。统计推断用 X X X 的函数研究目标量 g ( θ ) g(\theta) g ( θ ) ：点估计量 T ( X ) T(X) T ( X ) 给出数值摘要，置信集 C ( X ) C(X) C ( X ) 用重复抽样覆盖率表达不确定性，检验函数 φ ( X ) \varphi(X) φ ( X ) 控制指定错误概率，预测规则面向未来随机量。若还给定行动集合 A \mathcal A A 与损失 L ( a , θ ) L(a,\theta) L ( a , θ ) ，决策规则 δ ( X ) ∈ A \delta(X)\in\mathcal A δ ( X ) ∈ A 再把证据映射为行动。
难度 4 统计推断与决策综合复习 章节主题 以可复算的数据主线统一抽样分布、点估计、置信区间、假设检验、功效、线性模型预测与损失决策，并严格分开频率学派和贝叶斯概率陈述。
难度 4 凸函数 章节主题 通过弦不等式和一阶条件刻画凸性，并说明局部最优为何成为全局最优。
难度 3 凸函数 正文定义 设 C C C 是凸集。函数 f : C → R f:C\to\mathbb R f : C → R 称为凸函数，如果对任意 x , y ∈ C \mathbf x,\mathbf y\in C x , y ∈ C 与 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda\in[0,1] λ ∈ [ 0 , 1 ] ， f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + ( 1 − λ ) f ( y ) . f\big(\lambda\mathbf x+(1-\lambda)\mathbf y\big) \le \lambda f(\mathbf x)+(1-\lambda)f(\mathbf y). f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + ( 1 − λ ) f ( y ) . 若对不同的 x , y \mathbf x,\mathbf y x , y 和 0 < λ < 1 0<\lambda<1 0 < λ < 1 总有严格不等式，则 f f f 严格凸。把不等号反向便得到凹函数与严格凹函数。
难度 4 凸集 章节主题 用线段闭包定义凸集，并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。
难度 3 凸集 正文定义 集合 C ⊆ R n C\subseteq\mathbb R^n C ⊆ R n 称为凸集，如果对任意 x , y ∈ C \mathbf x,\mathbf y\in C x , y ∈ C 和任意 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda\in[0,1] λ ∈ [ 0 , 1 ] ，都有 λ x + ( 1 − λ ) y ∈ C . \lambda\mathbf x+(1-\lambda)\mathbf y\in C. λ x + ( 1 − λ ) y ∈ C . λ x + ( 1 − λ ) y \lambda\mathbf x+(1-\lambda)\mathbf y λ x + ( 1 − λ ) y 称为两点的凸组合。推广到有限多个点时，若 λ i ≥ 0 \lambda_i\ge0 λ i ≥ 0 且 ∑ i = 1 k λ i = 1 \sum_{i=1}^k\lambda_i=1 ∑ i = 1 k λ i = 1 ，则 ∑ i λ i x i \sum_i\lambda_i\mathbf x_i ∑ i λ i x i 是这些点的凸组合。
难度 4 凸集、凸函数与次梯度 章节主题 用线段判据和 Jensen 不等式建立凸性，以一阶支撑不等式连接梯度与全局下界，区分严格凸和强凸，并用次梯度处理绝对值与分段线性函数。
难度 4 凸集与最佳逼近 正文定义 集合 C ⊆ H C\subseteq H C ⊆ H 若对 u , v ∈ C u,v\in C u , v ∈ C 和 0 ≤ t ≤ 1 0\le t\le1 0 ≤ t ≤ 1 都有 ( 1 − t ) u + t v ∈ C (1-t)u+tv\in C ( 1 − t ) u + t v ∈ C ，就称为凸集。给定 x ∈ H x\in H x ∈ H ，若 p ∈ C p\in C p ∈ C 满足 ∥ x − p ∥ = dist ( x , C ) : = inf y ∈ C ∥ x − y ∥ , \|x-p\|=\operatorname{dist}(x,C) :=\inf_{y\in C}\|x-y\|, ∥ x − p ∥ = dist ( x , C ) := inf y ∈ C ∥ x − y ∥ , 则称 p p p 是 x x x 在 C C C 中的最佳逼近。
难度 5 图、路径、连通性与树：从局部邻接到最短路 章节主题 从有限简单图的顶点与边出发，严格区分游走、迹、路与圈，证明握手定理和树的等价刻画，并用遍历、生成树及带非负权的 Dijkstra 算法处理连通与最短路问题。
难度 3 推前分布与累积分布函数 正文定义 随机变量 X X X 的分布是定义在 Borel 集上的概率测度 P X ( B ) = P ( X ∈ B ) = P ( X − 1 ( B ) ) , B ∈ B ( R ) . \mathbb P_X(B) =\mathbb P(X\in B) =\mathbb P\!\left(X^{-1}(B)\right), \qquad B\in\mathcal B(\mathbb R). P X ( B ) = P ( X ∈ B ) = P ( X − 1 ( B ) ) , B ∈ B ( R ) . 累积分布函数记为 F X ( x ) = P ( X ≤ x ) . F_X(x)=\mathbb P(X\le x). F X ( x ) = P ( X ≤ x ) .
难度 3 外微分 正文定义 外微分是映射 d : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) , \mathrm d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M), d : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) , 在局部坐标中由 d ( ∑ I a I d x I ) = ∑ I ∑ j = 1 n ∂ a I ∂ x j d x j ∧ d x I \mathrm d\left(\sum_Ia_I\,\mathrm dx^I\right) =\sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial x^j} \,\mathrm dx^j\wedge\mathrm dx^I d ( ∑ I a I d x I ) = ∑ I ∑ j = 1 n ∂ x j ∂ a I d x j ∧ d x I 给出。它满足 d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β , α ∈ Ω k ( M ) , \mathrm d(\alpha\wedge\beta) =\mathrm d\alpha\wedge\beta +(-1)^k\alpha\wedge\mathrm d\beta, \qquad \alpha\in\Omega^k(M), d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β , α ∈ Ω k ( M ) , d ∘ d = 0 , F ∗ ( d ω ) = d ( F ∗ ω ) . \mathrm d\circ\mathrm d=0, \qquad F^*(\mathrm d\omega)=\mathrm d(F^*\omega). d ∘ d = 0 , F ∗ ( d ω ) = d ( F ∗ ω ) .
难度 5 微分形式、外微分与 Stokes 定理 章节主题 从切空间的对偶与交替张量定义微分形式，以楔积、拉回和外微分组织坐标无关的微积分，并在定向带边流形上用广义 Stokes 定理统一微积分基本定理、Green 公式和经典 Stokes 公式。
难度 5 微分形式的拉回 正文定义 设 F : M → N F:M\to N F : M → N 光滑， ω ∈ Ω k ( N ) \omega\in\Omega^k(N) ω ∈ Ω k ( N ) 。拉回 F ∗ ω ∈ Ω k ( M ) F^*\omega\in\Omega^k(M) F ∗ ω ∈ Ω k ( M ) 定义为 ( F ∗ ω ) p ( v 1 , … , v k ) = ω F ( p ) ( d F p v 1 , … , d F p v k ) . (F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)} (\mathrm dF_pv_1,\ldots,\mathrm dF_pv_k). ( F ∗ ω ) p ( v 1 , … , v k ) = ω F ( p ) ( d F p v 1 , … , d F p v k ) . 对函数 f ∈ Ω 0 ( N ) f\in\Omega^0(N) f ∈ Ω 0 ( N ) ， F ∗ f = f ∘ F F^*f=f\circ F F ∗ f = f ∘ F 。拉回保持楔积，并按复合的反向顺序满足 ( G ∘ F ) ∗ = F ∗ ∘ G ∗ . (G\circ F)^*=F^*\circ G^*. ( G ∘ F ) ∗ = F ∗ ∘ G ∗ .
难度 5 微分与线性主部 正文定义 函数在 a a a 可导，等价于存在余项 r ( h ) r(h) r ( h ) 使 f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + r ( h ) , r ( h ) ∣ h ∣ → 0. f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h), \qquad \frac{r(h)}{|h|}\to0. f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + r ( h ) , ∣ h ∣ r ( h ) → 0. 把输入增量记为 d x = h \mathrm dx=h d x = h ，线性主部记为 d f = f ′ ( a ) d x \mathrm df=f'(a)\,\mathrm dx d f = f ′ ( a ) d x 。
难度 3 微积分基本定理 章节主题 证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。
难度 3 谓词与论域 正文定义 谓词 P ( x ) P(x) P ( x ) 是含变量的陈述。当变量 x x x 从指定论域 D D D 中取得具体值， P ( x ) P(x) P ( x ) 才成为命题。量词没有约束的变量是自由变量。
难度 1 稳定、渐近稳定与不稳定 正文定义 平衡点 x ∗ \mathbf x_* x ∗ 稳定，是指初值充分接近它时，轨道在所有未来时间都保持接近。若它稳定，并且附近轨道还满足 x ( t ) → x ∗ \mathbf x(t)\to\mathbf x_* x ( t ) → x ∗ ，则称渐近稳定。若稳定条件失败，则称不稳定。
难度 4 稳定、吸引与渐近稳定 正文定义 设 x ∗ x_* x ∗ 是平衡点，并只考虑 t ≥ 0 t\ge 0 t ≥ 0 。 1. 若对每个 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ，都存在 δ > 0 \delta>0 δ > 0 ，使 ∥ x ( 0 ) − x ∗ ∥ < δ \|x(0)-x_*\|<\delta ∥ x ( 0 ) − x ∗ ∥ < δ 推出所有 t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 都有 ∥ x ( t ) − x ∗ ∥ < ε \|x(t)-x_*\|<\varepsilon ∥ x ( t ) − x ∗ ∥ < ε ，则称 x ∗ x_* x ∗ 在 Lyapunov 意义下稳定。 2. 若存在 r > 0 r>0 r > 0 ，使 ∥ x ( 0 ) − x ∗ ∥ < r \|x(0)-x_*\|<r ∥ x ( 0 ) − x ∗ ∥ < r 时有 x ( t ) → x ∗ x(t)\to x_* x ( t ) → x ∗ ，则称 x ∗ x_* x ∗ 具有局部吸引性。 3. 同时稳定且具有局部吸引性时，称 x ∗ x_* x ∗ 局部渐近稳定。 4. 若还存在常数 M ≥ 1 M\ge1 M ≥ 1 、 α > 0 \alpha>0 α > 0 和邻域，使 ∥ x ( t ) − x ∗ ∥ ≤ M e − α t ∥ x ( 0 ) − x ∗ ∥ \|x(t)-x_*\|\le M e^{-\alpha t}\|x(0)-x_*\| ∥ x ( t ) − x ∗ ∥ ≤ M e − α t ∥ x ( 0 ) − x ∗ ∥ ，则称其局部指数稳定。
难度 4 稳定性、收敛性与科学计算综合复习 章节主题 以一根受控导热杆为贯穿案例，把参数条件数、稳定线性求解、传感数据插值与求积、时间空间离散、代数残差、网格加密和独立实现核验组织成可复算的科学计算流程。
难度 5 稳定性、Lyapunov 方法与分岔 章节主题 以自治系统的平衡点为中心，严格区分 Lyapunov 稳定、吸引与渐近稳定，说明线性化的双曲边界，并用 Lyapunov 函数和一维正规形分析长期行为与参数分岔。
难度 4 难度 3 线性方程组的直接与迭代解法 章节主题 从带主元高斯消元与 LU 分解进入直接法，再由残差、条件数和后向误差评价解的可信度，并用 Jacobi、Gauss–Seidel、谱半径与停止准则组织定常迭代。
难度 4 线性模型中的统计推断 章节主题 从满列秩线性模型出发，连接正规方程、投影、Gauss–Markov 定理、正态误差下的 t/F 推断、ANOVA、残差诊断以及均值响应与新观测预测。
难度 4 难度 4 线性映射 正文定义 设 V , W V,W V , W 是同一标量域上的向量空间。映射 T : V → W T:V\to W T : V → W 称为线性的，是指任意 u , v ∈ V \mathbf u,\mathbf v\in V u , v ∈ V 以及任意标量 a , b a,b a , b 都满足 T ( a u + b v ) = a T ( u ) + b T ( v ) . T(a\mathbf u+b\mathbf v) =aT(\mathbf u)+bT(\mathbf v). T ( a u + b v ) = a T ( u ) + b T ( v ) .
难度 3 难度 3 线性组合 章节主题 用系数组合一组向量，判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。
难度 1 线性组合、张成与线性无关 正文定义 给定 v 1 , … , v k ∈ V \mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\in V v 1 , … , v k ∈ V ，形如 a 1 v 1 + ⋯ + a k v k a_1\mathbf v_1+\cdots+a_k\mathbf v_k a 1 v 1 + ⋯ + a k v k 的向量称为这组向量的线性组合。所有线性组合组成 span { v 1 , … , v k } \operatorname{span}\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\} span { v 1 , … , v k } 。 若 a 1 v 1 + ⋯ + a k v k = 0 a_1\mathbf v_1+\cdots+a_k\mathbf v_k=\mathbf0 a 1 v 1 + ⋯ + a k v k = 0 只能推出全部系数为零，这组向量线性无关；否则线性相关。
难度 2 相容取向 正文定义 平面有界区域 D D D 的边界 ∂ D \partial D ∂ D 按正向行进，是指行进时区域保持在左侧。单个外边界因此逆时针，洞的边界则顺时针。 定向曲面 S S S 选定连续单位法向 n \mathbf n n 后，其边界 ∂ S \partial S ∂ S 的正向由右手定则确定：右手拇指沿 n \mathbf n n 的方向，弯曲四指指示边界的正向。对闭曲面 ∂ Ω \partial\Omega ∂ Ω ，Gauss 定理固定采用从立体区域 Ω \Omega Ω 指向外部的法向；空腔边界的“外向”法向指向空腔内部。
难度 4 相容坐标图、光滑图册与光滑结构 正文定义 两张 n n n 维坐标图 ( U , φ ) (U,\varphi) ( U , φ ) 、 ( V , ψ ) (V,\psi) ( V , ψ ) 若不相交则自动相容；若 U ∩ V ≠ ∅ U\cap V\ne\varnothing U ∩ V = ∅ ，它们的坐标过渡为 ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) ⟶ ψ ( U ∩ V ) . \psi\circ\varphi^{-1}: \varphi(U\cap V)\longrightarrow\psi(U\cap V). ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) ⟶ ψ ( U ∩ V ) . 若该映射及其逆映射都属于 C ∞ C^\infty C ∞ ，则两图光滑相容。覆盖 M M M 且两两相容的一族图称为光滑图册。把所有与该图册相容的图加入后得到唯一的极大图册，它代表一个光滑结构；配备光滑结构的拓扑流形称为光滑流形。
难度 5 难度 2 向量场 章节主题 给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。
难度 3 向量场与沿曲线的向量积分 正文定义 开集 Ω ⊂ R n \Omega\subset\mathbb R^n Ω ⊂ R n 上的向量场是映射 F : Ω → R n \mathbf F:\Omega\to\mathbb R^n F : Ω → R n 。若分片正则有向曲线 C C C 由 r : [ a , b ] → Ω \mathbf r:[a,b]\to\Omega r : [ a , b ] → Ω 参数化，并且 t ↦ F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) t\mapsto\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t) t ↦ F ( r ( t )) ⋅ r ′ ( t ) 可积，则 ∫ C F ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t . \int_C\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r =\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,\mathrm dt. ∫ C F ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t )) ⋅ r ′ ( t ) d t . 在三维中令分量记作 F = ( P , Q , R ) \mathbf F=(P,Q,R) F = ( P , Q , R ) ，也写成 ∫ C P d x + Q d y + R d z \int_C P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz ∫ C P d x + Q d y + R d z 。
难度 4 向量空间与子空间 章节主题 用封闭性公理刻画向量空间，并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。
难度 2 向量运算与内积 章节主题 计算向量加法、数乘、范数和内积，并解释长度、夹角与相似度的几何意义。
难度 1 向量值映射的 Jacobian 正文定义 设 F = ( F 1 , … , F m ) T : R n → R m F=(F_1,\ldots,F_m)^\mathsf T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m F = ( F 1 , … , F m ) T : R n → R m 在 a \mathbf a a 可微。其全微分的标准矩阵表示称为 Jacobian： J F ( a ) = [ ∂ F 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ F 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ F m ∂ x 1 ⋯ ∂ F m ∂ x n ] x = a ∈ R m × n . J_F(\mathbf a) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}_{\mathbf x=\mathbf a} \in\mathbb R^{m\times n}. J F ( a ) = ∂ x 1 ∂ F 1 ⋮ ∂ x 1 ∂ F m ⋯ ⋱ ⋯ ∂ x n ∂ F 1 ⋮ ∂ x n ∂ F m x = a ∈ R m × n . 它满足 F ( a + h ) = F ( a ) + J F ( a ) h + o ( ∥ h ∥ ) F(\mathbf a+\mathbf h)=F(\mathbf a)+J_F(\mathbf a)\mathbf h+o(\lVert\mathbf h\rVert) F ( a + h ) = F ( a ) + J F ( a ) h + o (∥ h ∥) 。每一行对应一个输出分量，每一列对应一个输入坐标。
难度 3 楔积 正文定义 若 α ∈ Ω k ( M ) \alpha\in\Omega^k(M) α ∈ Ω k ( M ) 、 β ∈ Ω ℓ ( M ) \beta\in\Omega^\ell(M) β ∈ Ω ℓ ( M ) ，其楔积 α ∧ β ∈ Ω k + ℓ ( M ) \alpha\wedge\beta\in\Omega^{k+\ell}(M) α ∧ β ∈ Ω k + ℓ ( M ) 是张量积的交替化，并满足 α ∧ β = ( − 1 ) k ℓ β ∧ α , \alpha\wedge\beta=(-1)^{k\ell}\beta\wedge\alpha, α ∧ β = ( − 1 ) k ℓ β ∧ α , ( α ∧ β ) ∧ γ = α ∧ ( β ∧ γ ) . (\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma =\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma). ( α ∧ β ) ∧ γ = α ∧ ( β ∧ γ ) . 对一形式 η 1 , … , η k \eta_1,\ldots,\eta_k η 1 , … , η k ，有 ( η 1 ∧ ⋯ ∧ η k ) ( v 1 , … , v k ) = det ( η i ( v j ) ) . (\eta_1\wedge\cdots\wedge\eta_k)(v_1,\ldots,v_k) =\det\bigl(\eta_i(v_j)\bigr). ( η 1 ∧ ⋯ ∧ η k ) ( v 1 , … , v k ) = det ( η i ( v j ) ) .
难度 5 协方差 正文定义 若 X , Y X,Y X , Y 都有有限二阶矩，则 Cov ( X , Y ) = E [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) ] . \operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]. Cov ( X , Y ) = E [( X − μ X ) ( Y − μ Y )] . 展开后得到 Cov ( X , Y ) = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] . \operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb E[XY]-\mathbb E[X]\mathbb E[Y]. Cov ( X , Y ) = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] .
难度 3 行空间、列空间与矩阵的秩 正文定义 矩阵 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n 的列空间 Col ( A ) ⊆ R m \operatorname{Col}(A)\subseteq\mathbb R^m Col ( A ) ⊆ R m 是原矩阵各列的张成空间；行空间 Row ( A ) ⊆ R n \operatorname{Row}(A)\subseteq\mathbb R^n Row ( A ) ⊆ R n 是各行的张成空间。行秩与列秩相等，这个共同维数称为矩阵的秩，记作 rank ( A ) \operatorname{rank}(A) rank ( A ) ；它等于任一阶梯形中的主元数。
难度 3 难度 3 形式命题的组成 正文定义 在固定论域中，形式命题由带类型的变量、量词和能判定真假的谓词组成。自由变量尚未被量词或给定值约束；含自由变量的表达式通常是命题模板，而不是已有确定真值的封闭命题。
难度 2 学习率调度 章节主题 用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。
难度 3 难度 4 一点处的导数 正文定义 设 a a a 是函数定义域的内点。若极限 存在且为有限实数，则称 f f f 在 a a a 可导，并把该极限称为导数。若函数在开区间每一点都可导，导数值组成新函数 f ′ f' f ′ 。
难度 3 一点处的连续性 正文定义 函数 f f f 在点 a a a 连续，是指 f ( a ) f(a) f ( a ) 有定义、 lim x → a f ( x ) \lim_{x\to a}f(x) lim x → a f ( x ) 存在，并且 lim x → a f ( x ) = f ( a ) . \lim_{x\to a}f(x)=f(a). lim x → a f ( x ) = f ( a ) .
难度 2 一点处与集合上的连续性 正文定义 设 a ∈ D \mathbf a\in D a ∈ D 。若 lim x → a , x ∈ D f ( x ) = f ( a ) , \lim_{\mathbf x\to\mathbf a,\,\mathbf x\in D}f(\mathbf x)=f(\mathbf a), lim x → a , x ∈ D f ( x ) = f ( a ) , 则称 f f f 在 a \mathbf a a 连续。若它在 D D D 的每一点都连续，则称它在 D D D 上连续。边界点的极限只沿 D D D 内的点接近。
难度 3 一点复可微与开集全纯 正文定义 函数在一点满足上述复差商极限时，称它在该点复可微。若 Ω ⊂ C \Omega\subset\mathbb C Ω ⊂ C 是开集，且 f f f 在 Ω \Omega Ω 的每一点复可微，就称 f f f 在 Ω \Omega Ω 上全纯。若每一点都有一个邻域，在其中可表示为收敛复幂级数，则称 f f f 解析。 全纯是以复差商定义的性质，解析是以局部幂级数定义的性质。复分析的核心定理将证明两者等价；在尚未建立积分公式之前，不应把这一深刻结论当作无需条件的代数同义反复。
难度 4 一阶线性方程与积分因子 正文定义 在 p , q p,q p , q 连续的区间 I I I 上，标准形式 y ′ + p ( t ) y = q ( t ) y'+p(t)y=q(t) y ′ + p ( t ) y = q ( t ) 的一阶线性方程可取积分因子 μ ( t ) = exp ( ∫ p ( t ) d t ) . \mu(t)=\exp\left(\int p(t)\,\mathrm dt\right). μ ( t ) = exp ( ∫ p ( t ) d t ) . 它满足 μ ′ = p μ \mu'=p\mu μ ′ = p μ ，因而 ( μ y ) ′ = μ y ′ + μ ′ y = μ ( y ′ + p y ) = μ q . (\mu y)'=\mu y'+\mu' y =\mu(y'+py)=\mu q. ( μ y ) ′ = μ y ′ + μ ′ y = μ ( y ′ + p y ) = μ q . 积分后得到 y ( t ) = 1 μ ( t ) ( C + ∫ μ ( t ) q ( t ) d t ) . y(t)=\frac{1}{\mu(t)} \left(C+\int \mu(t)q(t)\,\mathrm dt\right). y ( t ) = μ ( t ) 1 ( C + ∫ μ ( t ) q ( t ) d t ) .
难度 3 一阶最优性条件 章节主题 用梯度为零、方向导数和次梯度条件判断无约束候选最优点。
难度 3 以一点为中心的幂级数 正文定义 幂级数是 ∑ n = 0 ∞ c n ( x − a ) n . \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n. ∑ n = 0 ∞ c n ( x − a ) n . 存在收敛半径 R ∈ [ 0 , ∞ ] R\in[0,\infty] R ∈ [ 0 , ∞ ] ，使级数在 ∣ x − a ∣ < R |x-a|<R ∣ x − a ∣ < R 时绝对收敛，在 ∣ x − a ∣ > R |x-a|>R ∣ x − a ∣ > R 时发散。当 0 < R < ∞ 0<R<\infty 0 < R < ∞ 时，两个端点 x = a ± R x=a\pm R x = a ± R 必须分别代入原级数判断。
难度 3