术语从定义进入关系。

用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分，并判断其收敛性。

若对每个 $R>a$ ， $f$ 在 $[a,R]$ 上可积，并且有限极限 $\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,\mathrm dx$ 存在，则称 $\int_a^\infty f(x)\,\mathrm dx$ 收敛，并把该极限作为积分值。若 $f$ 在 $a$ 的右侧无界，则定义 $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx =\lim_{\varepsilon\downarrow0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,\mathrm dx,$ 前提同样是有限极限存在。区间内部有奇点 $c$ 时，必须把积分拆成 $\int_a^c f+\int_c^b f$ ，左右两项都收敛才称原积分收敛。

为证明命题 $Q$ ，暂时假设 $\neg Q$ 。若由 $\neg Q$ 、题设和已知真命题推出 $R\land\neg R$ ，则 $\neg Q$ 不成立，因而 $Q$ 成立。

以一维 Dirichlet 边值问题的 Green 积分算子为主线，逐步核验 Banach 完备性、基本定理、Hilbert 投影、核的对称性、紧性、自伴性、谱分解与 Fredholm 选择。

设 $X$ 是实或复向量空间。映射 $\|\cdot\|:X\to[0,\infty)$ 若对任意 $x,y\in X$ 和标量 $\alpha$ 满足 $\|x\|=0\Longleftrightarrow x=0, \qquad \|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|, \qquad \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|,$ 就称为范数， $(X,\|\cdot\|)$ 称为赋范空间。由 $d(x,y)=\|x-y\|$ 得到距离。序列 $(x_n)$ 若对每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $N$ ，使 $m,n\ge N$ 时 $\|x_m-x_n\|<\varepsilon$ ，就称为 Cauchy 列。若 $X$ 中每个 Cauchy 列都在 $X$ 中收敛，则称 $X$ 为 Banach 空间。

以实数域上的解集为主线，区分恒等式与方程，判断变形是否同解，并用分区和符号表求解绝对值问题与不等式。

方程是要求两个表达式在某些允许输入上相等的条件，写作 $L(x)=R(x)$ 。若等式在共同定义域内对每个输入都成立，它是恒等式；恒等式常用符号 $\equiv$ 强调“处处成立”。两个方程的解集相同，称它们同解。

沿任意给定方向定义多变量函数的变化率，并连接单位方向与局部线性近似。

曲线 $\gamma$ 若满足 $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0,$ 就称为仿射参数测地线。在局部坐标中等价于 $\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x(t))\dot x^i\dot x^j=0, \qquad k=1,\ldots,n.$

定义 $\int_X s\,\mathrm d\mu =\sum_{k=1}^{r}a_k\mu(A_k).$ 若某个 $a_k=0$ 而 $\mu(A_k)=\infty$ ，约定该项为零。

若 $f:X\to[0,\infty]$ 可测，定义 $\int_X f\,\mathrm d\mu =\sup\left\{ \int_X s\,\mathrm d\mu: s\text{ 为非负简单函数且 }0\le s\le f \right\}.$ 该积分属于 $[0,\infty]$ ，允许取无穷。

分布 $T$ 是 $\mathcal D(\mathbb R)$ 上的连续线性泛函。它把测试函数 $\varphi$ 映成数 $\langle T,\varphi\rangle,$ 满足线性，并且在上述测试函数收敛意义下连续。尖括号表示分布的作用，不是点乘，也不预设 $T$ 在每一点有函数值。

分布 $T$ 的导数 $T'$ 由 $\langle T',\varphi\rangle =-\langle T,\varphi'\rangle$ 定义。高阶导数满足 $\langle T^{(m)},\varphi\rangle =(-1)^m\langle T,\varphi^{(m)}\rangle.$

曲线长度为 $L(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,\mathrm dt.$ 若曲线像上 $|f(z)|\le M$ ，则由积分三角不等式得到 ML 估计 $\left|\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz\right| \le M L(\gamma).$ 这里 $M$ 必须是整条曲线上的上界， $L(\gamma)$ 是几何长度而不是参数区间长度。该估计只给上界，积分的模通常小于“最大值乘长度”。

连续映射 $\mathbf r:[a,b]\to\mathbb R^n$ 称为参数曲线。若区间可分成有限段，使每段上 $\mathbf r$ 为 $C^1$ 且 $\mathbf r'(t)\ne\mathbf0$ ，则称它分片正则。向量 $\mathbf r'(t)$ 是参数方向的切向量， $\lVert\mathbf r'(t)\rVert$ 是相对于参数的速度。

从有限精度舍入模型出发，辨认吸收与消去等误差机制，用条件数区分问题敏感性，用前向和后向误差区分结果偏差与输入扰动，并据此判断算法是否数值稳定。

以一个圆盘到条带的对数型函数为主线，串联全纯性、幂级数、Cauchy 公式、Laurent 系数、留数、保角映射与解析延拓，并用区域、围道方向、奇点和分支假设组织完整论证。

用代数形式和极坐标形式表示复数，理解模、幅角、共轭与旋转缩放的联系。

复数写成 $z=a+bi$ ，其中 $a,b\in\mathbb R$ ，虚数单位 $i$ 满足 $i^2=-1$ 。 $z$ 的共轭复数是 $\overline z=a-bi$ ；当 $b\ne0$ 时， $z$ 与 $\overline z$ 是一对不同的非实复数。

从复差商对逼近方向的独立性推导 Cauchy–Riemann 方程，辨明其必要条件与带实可微性的充分条件，并连接全纯性、调和共轭及非零导数处的局部保角性质。

把非周期信号表示为连续频率成分，并连接时域卷积、频域乘法和谱宽。

固定连续傅里叶变换的归一化约定，说明逆变换的适用条件，推导平移、缩放、微分和卷积性质，并用双边指数函数与矩形脉冲完成可复算的时域—频域对应。

若 $f\in L^1(\mathbb R)$ ，定义 $\widehat f(\xi)=\mathcal F[f]\,(\xi) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,\mathrm dx.$ 在逆变换成立的意义下， $f(x)=\mathcal F^{-1}[\widehat f]\,(x) =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \widehat f(\xi)e^{i\xi x}\,\mathrm d\xi.$

以同一条三角形轮廓在导热杆、固定弦和半无限条带中的演化为主线，串联正交投影、傅里叶级数与变换、卷积核、分布初值、采样重建以及热、波、Laplace 方程的方法选择。

从三角函数正交性推导傅里叶系数，分析部分和、收敛、Gibbs 现象，并连接固定弦的模态演化。

以范数、Cauchy 列和完备性建立 Banach 空间，比较有限维与无限维中的等价范数边界，分析典型序列和函数空间、闭子空间与商空间，并证明线性算子的有界性、连续性和有限算子范数等价。

给定样本空间 $\Omega$ 及其事件 $\sigma$ -代数 $\mathcal F$ ，概率测度是映射 $\mathbb P:\mathcal F\to[0,1],$ 并满足： 1. 非负性：每个 $A\in\mathcal F$ 都有 $\mathbb P(A)\ge0$ ； 2. 归一化： $\mathbb P(\Omega)=1$ ； 3. 可列可加性：若事件 $A_1,A_2,\ldots$ 两两互斥，则 $\mathbb P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) =\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb P(A_i).$ 三元组 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ 称为概率空间。

从样本空间、事件 σ-代数和概率测度出发，推导补集、容斥与并集上界，再用排列组合建立条件明确的有限等可能模型。

若 $X$ 的取值落在至多可数集合 $S_X$ 中，则 $X$ 是离散随机变量。其概率质量函数为 $p_X(x)=\mathbb P(X=x),\qquad x\in S_X.$ 它满足 $p_X(x)\ge0$ 和 $\sum_{x\in S_X}p_X(x)=1.$ 任意 Borel 集 $B$ 的概率由 $\mathbb P(X\in B)=\sum_{x\in B\cap S_X}p_X(x)$ 给出。

以不放回抽样、分层工厂和批量缺陷为主线，贯通计数、条件化、联合分布、矩分解、精确概率、样本均值、标准误与中心极限定理近似，并区分计算误差和模型误差。

建立高阶线性初值问题的解空间结构，以特征多项式处理常系数齐次方程，再用待定系数法和参数变易法求受迫响应，并明确重根、共振及变系数方程的方法边界。

区间 $I$ 上的 $n$ 阶线性方程写成 $a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t),$ 其中各系数与外力 $g$ 是已知函数，且 $a_n$ 在所研究区间上不为零。若 $g=0$ ，方程称为齐次；若 $g\ne0$ ，称为非齐次。线性要求 $y$ 及其导数只以一次幂出现，彼此不相乘，也不进入正弦、指数等非线性函数。

通过初等行变换把线性方程组化为阶梯形，并稳定地回代求解。

把系数矩阵与右端项并排得到增广矩阵 $[A\mid\mathbf b]$ 。高斯消元反复使用三类初等行变换：交换两行；把一行乘以非零常数；把一行加上另一行的倍数。把矩阵化为行阶梯形后回代称为高斯消元；继续把每个主元化为一，并清除主元上下的元素，得到最简行阶梯形，称为 Gauss–Jordan 消元。

把 $N$ 个对象放入 $k$ 个盒子。若 $N>k$ ，至少一个盒子含两个对象。更一般地，至少一个盒子含有 $\left\lceil\frac Nk\right\rceil$ 个对象。否则每个盒子至多含 $\lceil N/k\rceil-1$ 个，总数会小于 $N$ ，产生矛盾。

若 $\mathbb P(C)>0$ ，事件 $A$ 与 $B$ 在给定 $C$ 后条件独立，当且仅当 $\mathbb P(A\cap B\mid C) =\mathbb P(A\mid C)\mathbb P(B\mid C).$

若 $p(a)=0$ ，实数 $a$ 是 $p$ 的根。若存在正整数 $m$ 和满足 $g(a)\ne0$ 的多项式 $g(x)$ ，使 $p(x)=(x-a)^m g(x),$ 则 $a$ 是重数为 $m$ 的根。

若 $\alpha$ 是 $f$ 的一个根， $K(\alpha)$ 称为由该根生成的单扩张。若扩张 $L/K$ 使 $f(x)=c\prod_{j=1}^{n}(x-\alpha_j) \quad\text{在 }L[x]\text{ 中成立},$ 且 $L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ ，则称 $L$ 是 $f$ 在 $K$ 上的分裂域。第二个条件表示没有加入与分解无关的多余元素。

设目标为参数函数 $g(\theta)$ 。估计量 $\widehat g=T(X_1,\ldots,X_n)$ 是不含未知参数的统计量；给定观测 $x$ 后得到的 $T(x)$ 称为估计值。若 $g(\theta)=\theta$ ，常把估计量记作 $\widehat\theta$ 。同一估计规则在重复抽样中具有抽样分布，有限样本优劣要相对于模型、目标和损失函数评价。

在圆环域中用 Laurent 级数刻画孤立奇点，以负一次项系数定义和计算留数，并用留数定理处理有向围道积分及参数化实积分。

若 $f$ 在 $a$ 的穿孔邻域 Laurent 展开为 $\sum c_n(z-a)^n$ ，定义 $\operatorname{Res}(f,a)=c_{-1}.$ 等价地，取足够小的正向圆， $\operatorname{Res}(f,a) =\frac1{2\pi i}\oint_{|z-a|=\rho}f(z)\,\mathrm dz.$ 留数可以为零；留数为零不表示奇点可去，例如 $1/z^2$ 在零点有二阶极点但留数为零。

用二元关系刻画等价与次序，区分等价类、极值元和最大元，并从自然数的良序性建立普通归纳、强归纳与最小反例法。

设 $X$ 可积，即 $\mathbb E[|X|]<\infty$ 。条件期望 $\mathbb E[X\mid Y]$ 是满足以下三项条件的随机变量 $Z$ ： $Z$ 关于 $\sigma(Y)$ 可测， $\mathbb E[|Z|]<\infty$ ，并且对每个 $A\in\sigma(Y)$ 都有 $\mathbb E[\mathbf 1_A Z] =\mathbb E[\mathbf 1_A X].$ 这样的 $Z$ 存在，并且在几乎处处相等的意义下唯一。在离散情形，若 $p_Y(y)>0$ ，可取 $Z=m(Y)$ ，其中 $m(y)=\mathbb E[X\mid Y=y] =\sum_x x\,p_{X\mid Y}(x\mid y).$ 连续且条件密度存在时，把求和换成 $m(y)=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx.$

以测试函数上的连续线性泛函定义分布，计算 Dirac delta 与分布导数，并在统一的傅里叶变换约定下推导理想采样、带限重建、混叠和 Poisson 求和公式。

给定基数 $\beta\ge2$ 、有效位数 $p$ 和指数范围，非零规格化浮点数写成 $x=\pm(d_0.d_1\cdots d_{p-1})_\beta\,\beta^e, \qquad d_0\ne0.$ 舍入到最近可表示数记为 $\operatorname{fl}(x)$ 。若中间结果既不溢出也不落入渐进下溢区，则 $\operatorname{fl}(x)=x(1+\delta), \qquad |\delta|\le u,$ 其中 $u$ 称为单位舍入误差。对“舍入到最近值”的系统， $u=\tfrac12\beta^{1-p}$ 。

集合 $R$ 配有加法和乘法。若满足： 1. $(R,+)$ 是交换群，零元记为 $0$ ； 2. 乘法结合，即 $(ab)c=a(bc)$ ； 3. 左右分配律成立； 4. 存在 $1\in R$ ，使 $1a=a1=a$ ； 则称 $R$ 为环。若还有 $ab=ba$ ，称为交换环。若 $R$ 是非零交换环，且 $ab=0$ 蕴含 $a=0$ 或 $b=0$ ，则称 $R$ 为整环。

从定义域、对应规则和图像出发，研究函数的单调性、奇偶性、周期性、复合、反函数以及常用图像变换。

函数 $f:X\to Y$ 可表示为 $X\times Y$ 的一个子集 $G_f$ ，并满足：对每个 $x\in X$ ，存在唯一的 $y\in Y$ 使 $(x,y)\in G_f$ 。把这个唯一输出记为 $f(x)$ 。

区分逐点收敛与一致收敛的量词顺序，以一致 Cauchy 判据和 Weierstrass M-test 控制函数项级数，证明连续性与积分在一致极限下保持，并说明逐项求导必须增加导数列一致收敛等条件。

函数 $f:X\to Y$ 要求每个 $x\in X$ 恰有一个输出 $f(x)\in Y$ 。两个函数相等，当且仅当它们的定义域相同、陪域相同，并且对定义域中每个输入给出相同输出。