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公式索引

300 条公式
  1. 式 281

    物理学 · 凝聚态基础 · 约束

    正规模量子化与声子占据

    教材位置：P10 · 晶格振动、声子与热容

    H=12∑qs(∣Pqs∣2+ωqs2∣Qqs∣2).H=\frac12\sum_{\boldsymbol q s} \left( |P_{\boldsymbol q s}|^2 +\omega_{\boldsymbol q s}^2 |Q_{\boldsymbol q s}|^2 \right).
    成立条件
    • 稳定平衡要求所有 ω2≥0\omega^2\ge0；若计算得到负本征值，常把频率画成“虚频”，它表示所选结构沿该模式并非局部能量极小，而不是原子以虚数频率振动。
    • 增加一个量子称为产生一个声子，能量为 ℏω\hbar\omega，晶体动量标签为 ℏq\hbar\boldsymbol q，但只在模倒易矢量意义下守恒。
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    变量与应用

    变量

    HH
    在“正规模量子化与声子占据”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    qq
    在“正规模量子化与声子占据”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    ss
    在“正规模量子化与声子占据”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    PqsP_{q s}
    用下标 q s 区分 P 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    ωqs\omega_{q s}
    用下标 q s 区分 omega 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    QqsQ_{q s}
    用下标 q s 区分 Q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

    相关概念

    晶格振动、声子与热容

    适用与边界

    • 应用：把正则模量子化和声子占据整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：x≪1x\ll1 时每个模式贡献趋于 kBk_B，对应经典均分；x≫1x\gg1 时占据和热容指数压低，常称该高频模式“冻结”。
    • 推导：P10 · 晶格振动、声子与热容
  2. 式 282

    物理学 · 波动 · 典范公式

    正弦行波的参数与单位

    教材位置：P03 · 行波、相位、叠加与色散

    u(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+ϕ0).u(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi_0).
    成立条件
    • 观察一根长弦时，仅说“它在振动”并不足以预测下一时刻的形状。
    • 若状态量是弦的横向位移，振幅单位为米；若状态量是声压扰动，振幅单位为帕；若状态量是电场，振幅单位为伏特每米。
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    变量与应用

    变量

    uu
    在“正弦行波的参数与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）
    xx
    在“正弦行波的参数与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）
    tt
    在“正弦行波的参数与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：秒（s）
    AA
    在“正弦行波的参数与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    kk
    在“正弦行波的参数与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：每米（m⁻¹）
    ω\omega
    在“正弦行波的参数与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：赫兹（Hz）
    ϕ0\phi_{0}
    用下标 0 区分 phi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

    相关概念

    行波、相位、叠加与色散

    适用与边界

    • 应用：把叠加原理、波包和群速度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：公式结构可以相同，但振幅的物理单位、能量表达式和边界条件不能跨系统照搬。
    • 推导：P03 · 行波、相位、叠加与色散
  3. 式 283

    物理学 · 统计物理 · 定义式

    正则分布与配分函数

    教材位置：P06 · 正则系综、配分函数与涨落

    pi=e−βEiZ(β,V,N),Z=∑ie−βEi.p_i=\frac{e^{-\beta E_i}}{Z(\beta,V,N)}, \qquad Z=\sum_i e^{-\beta E_i}.
    成立条件
    • 若能级 ErE_r 有简并度 grg_r，则按能级求和写成 Z=∑rgre−βErZ=\sum_r g_r e^{-\beta E_r}。
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    变量与应用

    变量

    pip_{i}
    作为统计平均中的归一化权重，单位：无量纲
    ee
    在“正则分布与配分函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    β\beta
    将能量转换为无量纲指数，单位：每焦耳（J⁻¹）
    EiE_{i}
    决定该状态的玻尔兹曼权重，单位：焦耳（J）
    ZZ
    归一化全部微观状态的统计权重，单位：无量纲
    VV
    在“正则分布与配分函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：立方米（m³）
    NN
    在“正则分布与配分函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲
    ii
    在“正则分布与配分函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    正则系综、配分函数与涨落

    适用与边界

    • 应用：把配分函数导出能量和热容整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：有限热库会因交换能量而改变温度，分布不再是精确指数形式；系统与热库耦合能也必须相对体能量可忽略，才能把总能量近似拆成两部分。
    • 推导：P06 · 正则系综、配分函数与涨落
  4. 式 284

    物理学 · 经典力学 · 定义式

    质点动量与系统总动量

    教材位置：P01 · 动量、冲量与碰撞

    p=mv.\boldsymbol p=m\boldsymbol v.
    成立条件
    • 若我们关心的是碰撞前后的速度，就不必重建力的每个瞬时细节；只需知道力—时间曲线的有向面积，即冲量。
    • 若只知道该区间平均力，则 J=FavgΔt\boldsymbol J=\boldsymbol F_{\mathrm{avg}}\Delta t。
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    变量与应用

    变量

    pp
    在“质点动量与系统总动量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：千克米每秒（kg·m·s⁻¹）
    mm
    在“质点动量与系统总动量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：千克（kg）
    vv
    在“质点动量与系统总动量”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

    相关概念

    动量、冲量与碰撞

    适用与边界

    • 应用：把弹性和非弹性碰撞的守恒方程整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：不能把各物体动量大小相加来代替矢量和。
    • 推导：P01 · 动量、冲量与碰撞
  5. 式 285

    物理学 · 计算物理 · 典范公式

    重要性采样

    教材位置：P11 · Monte Carlo、重要性采样与误差估计

    μ=E[f−c(h−Eh)].\mu=\mathbb E[f-c(h-\mathbb E h)].
    成立条件
    • 分层采样则把区域拆成若干层，按每层概率加权独立均值，确保小而重要的区域获得样本。
    • 无论采用哪种方法，误差公式都应对应实际抽样设计，不能继续套用原始简单随机样本方差。
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    变量与应用

    变量

    μ\mu
    在“重要性采样”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    ff
    在“重要性采样”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    cc
    在“重要性采样”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    hh
    在“重要性采样”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    Monte Carlo、重要性采样与误差估计

    适用与边界

    • 应用：把Metropolis–Hastings 重要性采样整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：无论采用哪种方法，误差公式都应对应实际抽样设计，不能继续套用原始简单随机样本方差。
    • 推导：P11 · Monte Carlo、重要性采样与误差估计
  6. 式 286

    物理学 · 分析力学与非线性动力学 · 定义式

    驻作用量条件

    教材位置：P02 · 最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程

    ddεS[q+εη]∣ε=0=0,\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\varepsilon}S[q+\varepsilon\eta] \right|_{\varepsilon=0}=0,
    成立条件
    • 把 LL 在时间上积分以后，数值会依赖整段路径；仅比较某一时刻的 LL 不能判断哪条路径满足驻作用量条件。
    • 若给 LL 加上全时间导数 dF(q,t)/dt\mathrm dF(q,t)/\mathrm dt，在固定端点下作用量只改变端点值 F(t2)−F(t1)F(t_2)-F(t_1)，运动方程不变。
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    变量与应用

    变量

    ε\varepsilon
    在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    SS
    在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳秒（J·s）
    qq
    在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    η\eta
    在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程

    适用与边界

    • 应用：把Euler–Lagrange 方程从一阶变分导出整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：把 LL 在时间上积分以后，数值会依赖整段路径；仅比较某一时刻的 LL 不能判断哪条路径满足驻作用量条件。
    • 推导：P02 · 最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程
  7. 式 287

    物理学 · 热力学 · 定义式

    状态方程

    教材位置：P05 · 平衡态、状态方程与准静态过程

    f(p,V,T,n)=0.f(p,V,T,n)=0.
    成立条件
    • 状态方程是在给定物质、相态和适用范围内约束平衡态变量的关系。
    • 给定物质的量后，四个变量并非都独立；在单相区域通常指定两个合适的强度或比状态变量即可确定其余量。
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    变量与应用

    变量

    ff
    在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    pp
    在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）
    VV
    在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）
    TT
    在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）
    nn
    在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：摩尔（mol）

    相关概念

    平衡态、状态方程与准静态过程

    适用与边界

    • 应用：把p–V–T 状态方程和热膨胀系数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：状态方程是在给定物质、相态和适用范围内约束平衡态变量的关系。
    • 推导：P05 · 平衡态、状态方程与准静态过程
  8. 式 288

    物理学 · 粒子物理与场论导论 · 典范公式

    自由场量子化与传播子

    教材位置：P12 · 粒子物理与场论导论综合复习

    ΔF(x−y)=⟨0∣Tϕ(x)ϕ(y)∣0⟩\Delta_F(x-y)=\langle0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle
    成立条件
    • 产生算符作用于真空建立 Fock 态，粒子数只在存在稳定自由或渐近模的背景下清楚。
    • 内部线动量一般 off shell，不满足 p2=m2p^2=m^2；把内部传播子画成“暂时违反能量守恒的真实粒子”是误导，顶角四动量仍严格守恒。
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    变量与应用

    变量

    ΔF\Delta_{F}
    用下标 F 区分 Delta 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    xx
    在“自由场量子化与传播子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    yy
    在“自由场量子化与传播子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    TT
    在“自由场量子化与传播子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    ϕ\phi
    在“自由场量子化与传播子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    粒子物理与场论导论综合复习

    适用与边界

    • 应用：把离散对称性 C、P、T 的检验整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：是自由 Klein–Gordon 算子的带边界处方逆。
    • 推导：P12 · 粒子物理与场论导论综合复习
  9. 式 289

    物理学 · 统计物理 · 定义式

    Boltzmann 熵

    教材位置：P06 · 微正则系综与熵的统计解释

    S(E,V,N)=kBln⁡Ω(E,V,N),kB=1.380649×10−23 J K−1.S(E,V,N)=k_B\ln\Omega(E,V,N), \qquad k_B=1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}.
    成立条件
    • 若 ε=2.00×10−21 J\varepsilon=2.00\times10^{-21}\,\mathrm J，总能量为 6.00×10−21 J6.00\times10^{-21}\,\mathrm J；态数仍无量纲。
    • 两个弱耦合系统在给定各自宏观约束时，复合微观态由一对微观态组成，故态数相乘：ΩAB=ΩAΩB\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B。
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    变量与应用

    变量

    SS
    在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    EE
    在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳（J）
    VV
    在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）
    NN
    在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：无量纲
    kBk_{B}
    连接温度与能量尺度，单位：焦耳每开尔文（J·K⁻¹）
    Ω\Omega
    在“Boltzmann 熵”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    微正则系综与熵的统计解释

    适用与边界

    • 应用：把Boltzmann 熵和最概然宏观态整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：这给出熵在短程相互作用、边界贡献可忽略时的可加性。
    • 推导：P06 · 微正则系综与熵的统计解释
  10. 式 290

    物理学 · 粒子物理与场论导论 · 约束

    Dirac 方程的线性化

    教材位置：P12 · Klein–Gordon 场与 Dirac 场

    i∂tψ=(−iα⋅∇+βm)ψ.i\partial_t\psi =\left( -i\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla +\beta m \right)\psi.
    成立条件
    • 普通数不能同时满足这些关系，ψ\psi 必须有多个分量。
    • 在本章号型下可选 (γ0)†=γ0(\gamma^0)^\dagger=\gamma^0、 (γi)†=−γi(\gamma^i)^\dagger=-\gamma^i。
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    变量与应用

    变量

    ii
    在“Dirac 方程的线性化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    tt
    在“Dirac 方程的线性化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    ψ\psi
    在“Dirac 方程的线性化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    α\alpha
    在“Dirac 方程的线性化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    β\beta
    在“Dirac 方程的线性化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    mm
    在“Dirac 方程的线性化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    Klein–Gordon 场与 Dirac 场

    适用与边界

    • 应用：把Dirac 矩阵、旋量与反粒子整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：普通数不能同时满足这些关系，ψ\psi 必须有多个分量。
    • 推导：P12 · Klein–Gordon 场与 Dirac 场
  11. 式 291

    物理学 · 粒子物理与场论导论 · 定义式

    Euler-Lagrange 场方程

    教材位置：P12 · 经典场、作用量与 Noether 流

    ∂L∂ϕa−∂μ∂L∂(∂μϕa)=0.\boxed{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu \frac{\partial\mathcal L} {\partial(\partial_\mu\phi_a)} =0 }.
    成立条件
    • 固定边界值时取 δϕa∣∂Ω=0\delta\phi_a|_{\partial\Omega}=0；若边界值自由，驻值条件会给自然边界条件。
    • 这个推导假设 L\mathcal L 至多含场的一阶导数。
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    变量与应用

    变量

    LL
    在“Euler-Lagrange 场方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    ϕa\phi_{a}
    用下标 a 区分 phi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    μ\mu
    在“Euler-Lagrange 场方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    经典场、作用量与 Noether 流

    适用与边界

    • 应用：把时空平移对应的能动量张量整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：边界项不是可以静默删除的装饰。
    • 推导：P12 · 经典场、作用量与 Noether 流
  12. 式 292

    物理学 · 凝聚态基础 · 约束

    Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导

    教材位置：P10 · 磁性、超导与序参量

    F=∫ ⁣d3x[α∣ψ∣2+β2∣ψ∣4+12m∗∣(−iℏ∇−q∗A)ψ∣2+∣B∣22μ0].F=\int\!\mathrm d^3x\left[ \alpha|\psi|^2+\frac\beta2|\psi|^4 +\frac1{2m^*}\left|(-i\hbar\nabla-q^*\mathbf A)\psi\right|^2 +\frac{|\mathbf B|^2}{2\mu_0}\right].
    成立条件
    • 若资料改报 HcH_c，则在真空边界约定下 Bc=μ0HcB_c=\mu_0H_c；混用 T 与 A m−1\mathrm{A\,m^{-1}} 会差一个 μ0\mu_0。
    • 由测得的 Bc(T)B_c(T) 可求熵差 sn−ss=−∂(fn−fs)/∂Ts_n-s_s=-\partial(f_n-f_s)/\partial T 和比热差，因而磁学与量热数据应满足同一热力学预算。
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    变量与应用

    变量

    FF
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    xx
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    α\alpha
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    ψ\psi
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    β\beta
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    mm
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    ii
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    ℏ\hbar
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    qq
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    AA
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    BB
    在“Ginzburg-Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    μ0\mu_{0}
    用下标 0 区分 mu 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

    相关概念

    磁性、超导与序参量

    适用与边界

    • 应用：把Ginzburg–Landau 序参量和磁通穿透整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：κ=λ/ξ\kappa=\lambda/\xi 无量纲；在 GL 适用的理想界限，κ1/2\kappa 1/\sqrt2 为第二类。
    • 推导：P10 · 磁性、超导与序参量
  13. 式 293

    物理学 · 量子力学 · 定义式

    Hamilton 算符的定义域与边界

    教材位置：P07 · Schrödinger 方程与时间演化

    ⟨ϕ∣H^ψ⟩−⟨H^ϕ∣ψ⟩=−ℏ22m[ϕ∗ψ′−ϕ′∗ψ]∂D.\langle\phi|\hat H\psi\rangle -\langle\hat H\phi|\psi\rangle =-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi^*\psi'-\phi'^*\psi \right]_{\partial\mathcal D}.
    成立条件
    • 方程对 ψ\psi 线性：若 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2 在相同势和相同齐次边界条件下是解，则 aψ1+bψ2a\psi_1+b\psi_2 也是解。
    • 无限直线上平方可积态在无穷远充分衰减； 有限区间硬壁条件 ψ(a)=ψ(b)=0\psi(a)=\psi(b)=0； 周期条件 ψ(a)=ψ(b)\psi(a)=\psi(b)、 ψ′(a)=ψ′(b)\psi'(a)=\psi'(b)； 其他满足自伴扩张条件的成对边界关系。
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    变量与应用

    变量

    ϕ\phi
    在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    HH
    在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳（J）
    ψ\psi
    在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    ℏ\hbar
    在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：焦耳秒（J·s）
    mm
    在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    Schrödinger 方程

    适用与边界

    • 应用：把定态分离与能量本征方程整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：方程对 ψ\psi 线性：若 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2 在相同势和相同齐次边界条件下是解，则 aψ1+bψ2a\psi_1+b\psi_2 也是解。
    • 推导：P07 · Schrödinger 方程与时间演化
  14. 式 294

    物理学 · 电磁学 · 典范公式

    LC 与 RLC：能量交换和阻尼

    教材位置：P04 · 电磁感应、位移电流与电路响应

    Ld2qdt2+Rdqdt+qC=0.L\frac{\mathrm d^2q}{\mathrm dt^2} +R\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt} +\frac qC=0.
    成立条件
    • 当 R2<4L/CR^2<4L/C 时为欠阻尼振荡；等号是临界阻尼；大于时为过阻尼。
    • 稳恒 Ampère 定律若直接用于正在充电的电容器，会遇到曲面选择矛盾：同一边界回路可以选一张穿过导线的曲面，也可选一张鼓入极板间隙、不穿过导线的曲面。
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    变量与应用

    变量

    LL
    在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    qq
    在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：库仑（C）
    tt
    在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    RR
    在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    CC
    在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    电磁感应、位移电流与电路响应

    适用与边界

    • 应用：把Maxwell 位移电流和电荷连续性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：电源已提供的能量还包括电阻耗散，不能把全部输入都等同于磁能。
    • 推导：P04 · 电磁感应、位移电流与电路响应
  15. 式 295

    物理学 · 分析力学与非线性动力学 · 典范公式

    Legendre 变换与相空间

    教材位置：P02 · 分析力学与非线性动力学综合复习

    Wij=∂2L∂q˙i∂q˙jW_{ij}=\frac{\partial^2L}{\partial\dot q_i\partial\dot q_j}
    成立条件
    • 若 WW 奇异，动量之间出现约束；强行反解会制造虚假的自由度，需要另行处理约束 Hamilton 系统。
    • 因此一个不显含时间的量 FF 守恒，当且仅当它与 HH 的 Poisson 括号为零。
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    变量与应用

    变量

    WijW_{ij}
    用下标 ij 区分 W 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    LL
    在“Legendre 变换与相空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：焦耳（J）
    qiq_{i}
    用下标 i 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    qjq_{j}
    用下标 j 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

    相关概念

    分析力学与非线性动力学综合复习

    适用与边界

    • 应用：把Hamilton 流中的可积性和共振整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：线性变换也不能仅凭形式对称就认定正则；必须计算括号或验证辛矩阵条件。
    • 推导：P02 · 分析力学与非线性动力学综合复习
  16. 式 296

    物理学 · 热力学 · 约束

    Maxwell 关系、响应函数与相变

    教材位置：P05 · 响应函数、相变与热力学综合复习

    (∂S∂p)T=−(∂V∂T)p.\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T =-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.
    成立条件
    • 若计算得到负值，应先检查热量方向、能量守恒和绝对温度。
    • 环境约束不满足时，应回到总系统第一、第二定律。
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    变量与应用

    变量

    SS
    在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    pp
    在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）
    TT
    在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）
    VV
    在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：立方米（m³）

    相关概念

    响应函数、相变与热力学综合复习

    适用与边界

    • 应用：把Clapeyron 方程与一级相变曲线整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：相共存、不稳定分支或响应函数发散处不能把一个光滑单相势外推到底。
    • 推导：P05 · 响应函数、相变与热力学综合复习
  17. 式 297

    物理学 · 热力学 · 约束

    Maxwell 关系：混合偏导的物理用途

    教材位置：P05 · 自由能、Maxwell 关系与相平衡

    (∂T∂V)S,N=−(∂p∂S)V,N.\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} =-\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V,N}.
    成立条件
    • 若膨胀不可逆，系统仍有相同初末态 ΔF\Delta F，但实际功小于该可逆上限，差额与熵产生有关。
    • 若势函数在所研究单相区域具有连续二阶偏导，则混合偏导次序可交换。
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    变量与应用

    变量

    TT
    在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）
    VV
    在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）
    SS
    在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    NN
    在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定
    pp
    在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

    相关概念

    自由能、Maxwell 关系与相平衡

    适用与边界

    • 应用：把Maxwell 关系由热力学势导出整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：符号来自势函数全微分，不能仅凭记忆排列。
    • 推导：P05 · 自由能、Maxwell 关系与相平衡
  18. 式 298

    物理学 · 经典力学 · 定义式

    Newton 第三定律

    教材位置：P01 · Newton 定律、受力分析与约束

    FA→B=−FB→A.\boldsymbol F_{A\to B}=-\boldsymbol F_{B\to A}.
    成立条件
    • 这是一个矢量方程；在直角坐标系中等价于每个分量分别满足 ∑Fx=max\sum F_x=ma_x、∑Fy=may\sum F_y=ma_y。
    • 只有先把两个物体合并为系统，内部作用反作用力才会在系统总动量方程中成对抵消。
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    变量与应用

    变量

    FABF_{A B}
    用下标 A B 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：牛顿（N）
    FBAF_{B A}
    用下标 B A 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：牛顿（N）

    相关概念

    Newton 运动定律

    适用与边界

    • 应用：把自由体图、约束力与摩擦模型整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：质量可变化的系统需要谨慎界定系统边界。
    • 推导：P01 · Newton 定律、受力分析与约束
  19. 式 299

    物理学 · 相对论基础 · 典范公式

    Poisson 极限的推导

    教材位置：P08 · Einstein 场方程与典型解

    d2xidt2≈−c2Γ00i≈−c22∂ih00.\frac{\mathrm d^2x^i}{\mathrm dt^2} \approx-c^2\Gamma^i_{00} \approx-\frac{c^2}{2}\partial_i h_{00}.
    成立条件
    • 若误把 T00T_{00} 写成质量密度 kg m−3\mathrm{kg\,m^{-3}} 而不补 c2c^2，右侧会少能量单位。
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    变量与应用

    变量

    xx
    在“Poisson 极限的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）
    ii
    在“Poisson 极限的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    tt
    在“Poisson 极限的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：秒（s）
    cc
    在“Poisson 极限的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）
    Γ\Gamma
    在“Poisson 极限的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    i00i_{00}
    用下标 00 区分 i 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定
    h00h_{00}
    用下标 00 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

    相关概念

    Einstein 场方程与典型解

    适用与边界

    • 应用：把场方程的 Newton 极限整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：致密星内部可能压强显著，即使外部轨道仍近似弱场，也不能把内部源只写成质量密度。
    • 推导：P08 · Einstein 场方程与典型解
  20. 式 300

    物理学 · 量子力学 · 定义式

    Robertson 不确定关系

    教材位置：P07 · 测量、对易关系与不确定性

    ΔA ΔB≥12∣⟨[A,B]⟩∣.\boxed{ \Delta A\,\Delta B \ge\frac12|\langle[A,B]\rangle| }.
    成立条件
    • 若 A,BA,B 为自伴算符，定义中心化算符 A~=A−⟨A⟩\widetilde A=A-\langle A\rangle、 B~=B−⟨B⟩\widetilde B=B-\langle B\rangle。
    • 推导要求相关向量与乘积期望存在；对无界算符，∣ψ⟩|\psi\rangle 必须处在足以定义 Aψ,Bψ,ABψ,BAψA\psi,B\psi,AB\psi,BA\psi 的共同定义域中。
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    变量与应用

    变量

    Δ\Delta
    在“Robertson 不确定关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    AA
    在“Robertson 不确定关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定
    BB
    在“Robertson 不确定关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

    相关概念

    测量、对易关系与不确定性

    适用与边界

    • 应用：把对易子、兼容观测量与共同本征态整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
    • 边界：三者在特定模型中可相关，但不能用同一符号替代。
    • 推导：P07 · 测量、对易关系与不确定性