专题路线
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
把初值、边值和本征值问题区分为不同的解选择机制。
初值问题、存在唯一性与方向场：把微分方程连同初值写成局部演化问题，用方向场解释解曲线，并区分连续性保证的存在与局部 Lipschitz 条件保证的唯一性。
未开始热方程、波动方程与 Laplace 方程：比较抛物型、双曲型与椭圆型方程的初边值数据，使用分离变量和本征函数展开构造解，并以能量衰减、能量守恒或最大值原理核对结果。
未开始傅里叶方法与偏微分方程综合复习：围绕初边值问题串联正交投影、级数与变换、卷积、分布和采样，依据区域、边界、正则性与收敛要求选择方法。
未开始本章研究傅里叶级数、收敛与 Gibbs 现象。内容依次处理周期函数与三角基、傅里叶系数、收敛与 Gibbs 现象、奇偶延拓、复指数形式与能量谱。
未开始用傅里叶与 Sturm–Liouville 展开解释线性波动的模态结构。
简谐振子、阻尼与受迫振动由线性回复力建立基准模型，以相位和能量描述自由运动，再比较阻尼衰减、受迫响应、共振峰与瞬态。
未开始耦合振子与简正模把多自由度线性系统写成质量矩阵与刚度矩阵的广义本征问题，利用正交模态解耦运动并解释拍频和能量交换。
未开始行波、相位、叠加与色散以振幅、频率、波数和相位参数化传播过程，通过叠加构造干涉与波包，并由色散关系区分相速度和群速度。
未开始一维波动方程与边界条件从弦微元受力推导偏微分方程，比较行波、固定端模态和能量流，并用边界条件与有限差分稳定性核验解。
未开始把同一边值与本征函数语言迁移到无限深方势阱。
Hilbert 空间、量子态与可观测量：从复 Hilbert 空间中的射线建立纯态，以自伴算符表示可观测量，连接谱分解、期望值、概率振幅和表象变换。
未开始测量、对易关系与不确定性：用 Born 规则、投影测量和密度算符描述统计预言与测后态，推导对易子控制的 Robertson 不确定关系并辨析测量误差。
未开始Schrödinger 方程与时间演化：从 Hamilton 算符生成幺正时间演化，比较 Schrödinger、Heisenberg 与相互作用表象，并分析守恒量、定态和概率流。
未开始一维势阱、隧穿与散射：通过无限深与有限深势阱、势垒和分段常势求解一维定态方程，计算束缚态、透射反射和量子隧穿的适用边界。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
从固定端边界推导允许波数，并说明本征函数正交性如何展开任意初始形状。
比较弦驻波与势阱波函数的边界条件、本征值和物理解释。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 4/5
长度为 L、两端固定、波速为 c 的弦满足零初速度，初位移 u(x,0)=3sin(πx/L)-2sin(2πx/L)。写出 u(x,t)，并求 t=L/(2c) 时的位移。
零初速度使每个正弦空间模态只乘 cos(ωₙt)，其中 ωₙ=nπc/L。
u(x,t)=3sin(πx/L)cos(πct/L)-2sin(2πx/L)cos(2πct/L)。当 t=L/(2c) 时，两个时间因子分别为 cos(π/2)=0 与 cos(π)=-1，所以 u(x,t)=2sin(2πx/L)。
结果核验：令 t=0 可恢复给定初位移，时间导数在 t=0 为 0；令 x=0 或 x=L 时所有正弦项为 0，固定端边界在任意时刻均成立。
难度 4/5
粒子处于 0<x<L 的一维无限深方势阱。写出前三个归一化定态波函数与能量，并给出 E₁:E₂:E₃。
边界条件 ψ(0)=ψ(L)=0 把波数限制为 kₙ=nπ/L；归一化常数由正弦平方积分确定。
对 n=1,2,3，ψₙ(x)=√(2/L)sin(nπx/L)，Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)。因此前三个能量分别为 E₁、4E₁、9E₁，比例 E₁:E₂:E₃=1:4:9。
结果核验：每个 ψₙ 在 x=0、L 都为 0；∫₀ᴸ|ψₙ|²dx=(2/L)(L/2)=1；把 kₙ=nπ/L 代入 E=ℏ²k²/(2m) 得到 n² 能级规律。