专题路线
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
完成多变量微积分和线性代数，希望进入波动与量子方程的学习者。
正交展开、傅里叶变换，以及热、波动和 Laplace 方程。
振子、简正模、波动方程、干涉、衍射与光学分辨率。
量子态、算符、测量、时间演化、角动量与近似方法。
从固定端边界推导允许波数，并说明本征函数正交性如何展开任意初始形状。
比较弦驻波与势阱波函数的边界条件、本征值和物理解释。
难度 4/5
长度为 L、两端固定、波速为 c 的弦满足零初速度，初位移 u(x,0)=3sin(πx/L)-2sin(2πx/L)。写出 u(x,t)，并求 t=L/(2c) 时的位移。
零初速度使每个正弦空间模态只乘 cos(ωₙt)，其中 ωₙ=nπc/L。
u(x,t)=3sin(πx/L)cos(πct/L)-2sin(2πx/L)cos(2πct/L)。当 t=L/(2c) 时，两个时间因子分别为 cos(π/2)=0 与 cos(π)=-1，所以 u(x,t)=2sin(2πx/L)。
结果核验：令 t=0 可恢复给定初位移，时间导数在 t=0 为 0；令 x=0 或 x=L 时所有正弦项为 0，固定端边界在任意时刻均成立。
难度 4/5
粒子处于 0<x<L 的一维无限深方势阱。写出前三个归一化定态波函数与能量，并给出 E₁:E₂:E₃。
边界条件 ψ(0)=ψ(L)=0 把波数限制为 kₙ=nπ/L；归一化常数由正弦平方积分确定。
对 n=1,2,3，ψₙ(x)=√(2/L)sin(nπx/L)，Eₙ=n²π²ℏ²/(2mL²)。因此前三个能量分别为 E₁、4E₁、9E₁，比例 E₁:E₂:E₃=1:4:9。
结果核验：每个 ψₙ 在 x=0、L 都为 0；∫₀ᴸ|ψₙ|²dx=(2/L)(L/2)=1；把 kₙ=nπ/L 代入 E=ℏ²k²/(2m) 得到 n² 能级规律。
