术语从定义进入关系。

对线性映射 $T:V\to W$ ，定义 $\ker T=\{\mathbf v\in V:T(\mathbf v)=\mathbf0\}, \qquad \operatorname{im}T=\{T(\mathbf v):\mathbf v\in V\}.$ 核的维数称为零化度，记作 $\operatorname{nullity}T$ ；像的维数称为秩，记作 $\operatorname{rank}T$ 。

同态 $\varphi:G\to H$ 的核和像分别是 $\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e_H\}, \qquad \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(g):g\in G\}.$ 核记录被映射压缩为单位元的信息；像记录目标群中真正被抵达的部分。

分片正则曲线 $C$ 的弧长定义为 $L(C)=\int_a^b\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,\mathrm dt.$ 局部记号 $\mathrm ds=\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,\mathrm dt$ 称为弧长元。

随机变量 $X,Y$ 的互信息定义为 $I_b(X;Y) =D_{b,\mathrm{KL}}\!\left( p_{X,Y}\,\middle\Vert\,p_Xp_Y \right).$ 在各项有限时，它有等价表达 $\begin{aligned} I_b(X;Y) &=H_b(X)+H_b(Y)-H_b(X,Y)\\ &=H_b(Y)-H_b(Y\mid X)\\ &=H_b(X)-H_b(X\mid Y). \end{aligned}$

在统一的含幺约定下区分交换环、单位、零因子与子环，用理想的吸收性保证商环乘法良定义，并由环同态的核与像证明第一同构定理。

映射 $\varphi:R\to S$ 若对所有 $a,b\in R$ 满足 $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\quad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),\quad \varphi(1_R)=1_S,$ 则称为环同态。定义 $\ker\varphi=\{a:\varphi(a)=0\}, \qquad \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(a):a\in R\}.$

设 $B=(\mathbf b_1,\ldots,\mathbf b_n)$ 与 $B'=(\mathbf b'_1,\ldots,\mathbf b'_n)$ 是 $V$ 的两组有序基。把每个新基向量的旧基坐标作为列，得到换基矩阵 $P_{B\leftarrow B'} =\begin{bmatrix} [\mathbf b'_1]_B&\cdots&[\mathbf b'_n]_B \end{bmatrix}.$ 它满足 $[\mathbf x]_B=P_{B\leftarrow B'}[\mathbf x]_{B'}$ 。若同一线性算子 $T:V\to V$ 在基 $B$ 下的矩阵为 $A$ ，则它在基 $B'$ 下的矩阵为 $[T]_{B'\leftarrow B'} =P_{B\leftarrow B'}^{-1} A P_{B\leftarrow B'}.$…

从求导法则反向建立换元、分部积分和部分分式方法，以极限定义反常积分与无穷级数，并用幂级数和 Taylor 余项串联单变量微积分。

使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。

从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。

齐次方程的 $n$ 个解 $y_1,\ldots,y_n$ 若线性无关，就构成基本解组。其 Wronskian 为 $W(y_1,\ldots,y_n)(t)= \det\!\begin{pmatrix} y_1&\cdots&y_n\\ y_1'&\cdots&y_n'\\ \vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)} \end{pmatrix}.$ 若某个普通点 $t_0$ 上 $W(t_0)\ne0$ ，这些解线性无关，任意齐次解都能唯一写成 $c_1y_1+\cdots+c_ny_n$ 。

一组既张成 $V$ 又线性无关的有序向量 $B=(\mathbf b_1,\ldots,\mathbf b_n)$ 称为 $V$ 的一组基。若 $\mathbf x=c_1\mathbf b_1+\cdots+c_n\mathbf b_n,$ 则系数列 $[\mathbf x]_B=(c_1,\ldots,c_n)^\mathsf T$ 称为 $\mathbf x$ 在基 $B$ 下的坐标。

从数列极限过渡到函数的 ε-δ 定义，处理单侧与无穷极限、无穷小等价关系，并用连续性和介值定理研究区间上的函数行为。

集合由其元素决定。两个集合相等，当且仅当它们拥有完全相同的元素： $A=B \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in A\Longleftrightarrow x\in B).$

从成员、子集和笛卡尔积建立集合语言，严格定义函数、像与原像，并推导单射、满射、双射、复合和逆映射的基本性质。

两个可测函数若满足 $f=g\quad\mu\text{-a.e.},$ 即集合 $\{x:f(x)\ne g(x)\}$ 的测度为零，就称它们几乎处处相等。这个关系把可测函数分成等价类， $[f]$ 表示含有 $f$ 的等价类。 对 $1\le p<\infty$ ，定义 $L^p(X,\mu) =\left\{[f]:f\text{ 可测且 }\int_X |f|^p\,d\mu<\infty\right\}, \qquad \lVert f\rVert_p =\left(\int_X |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.$ 这里的 $f$ 是等价类的任一代表元。若换成几乎处处相等的 $g$ ，积分和范数不变，所以定义与代表元无关。

若命题在 $X\setminus N$ 上成立，其中 $N\in\mathcal A$ 且 $\mu(N)=0$ ，则称该命题 几乎处处成立，记作 $\mu$ -a.e.。 若每个零测可测集 $N$ 的任意子集 $S\subseteq N$ 都属于 $\mathcal A$ ，则称测度空间 $(X,\mathcal A,\mu)$ 完备。

从对象集合与互斥分类出发，建立加法、乘法和双射计数，推导排列、组合与多重集合公式，并用容斥和鸽巢原理处理重叠与必然碰撞。

局部模型把点和小增量映到近似变化；多重积分把区域上的密度映到总量；标量曲线或曲面积分把几何载体上的密度映到总量；功、环流与通量积分把带方向的场和有向载体映到带符号结果；积分定理则在满足正则性与取向条件时，把边界结果改写为内部微分量的积分。 配对关系先确定合法的积分元或微分算子，再讨论哪一种坐标或定理更省计算。

若有限集合 $A_1,\ldots,A_m$ 两两不交，则 $\left|\bigcup_{i=1}^m A_i\right| =\sum_{i=1}^m|A_i|.$ 这是加法原理。若一个结果由依次作出的 $m$ 个选择唯一确定，且第 $i$ 步在此前每种合法选择下都有 $n_i$ 种可能，则结果总数为 $n_1n_2\cdots n_m.$ 这是乘法原理。若存在双射 $f:A\to B$ ，即每个 $A$ 中元素对应唯一的 $B$ 中元素，且每个 $B$ 中元素恰好被对应一次，则 $|A|=|B|$ 。双射计数把难数的对象无遗漏、无重复地编码成较容易计数的对象。

以检验函数为统一语言，区分第一类与第二类错误，推导 Neyman–Pearson 简单假设检验和正态均值检验，解释 p 值、区间反演、精确二项双侧排序、效应量以及 Bonferroni、Holm 与 BH 的控制目标和条件。

检验函数 $\varphi(X)\in[0,1]$ 给出观察样本 $X$ 后拒绝 $H_0$ 的概率。非随机化检验只取零或一，拒绝域为 $R=\{x:\varphi(x)=1\}$ 。 - 当 $\theta\in\Theta_0$ 却拒绝 $H_0$ ，发生第一类错误。检验的大小为 $\sup_{\theta\in\Theta_0}E_\theta[\varphi(X)].$ 大小不超过 $\alpha$ 时，称为水平 $\alpha$ 的检验。 - 对具体 $\theta\in\Theta_1$ ，未拒绝 $H_0$ 的概率 $\beta(\theta)=E_\theta[1-\varphi(X)]$ 是第二类错误概率；功效函数为 $\pi(\theta)=E_\theta[\varphi(X)]=1-\beta(\theta).$

若可测函数 $s:X\to\mathbb R$ 只取有限多个值，则称 $s$ 为简单函数。它可以写成 $s=\sum_{k=1}^{r}a_k\mathbf1_{A_k},$ 其中 $A_k\in\mathcal A$ 。可把 $A_k$ 选成两两不交且并为 $X$ 的水平集 $\{s=a_k\}$ 。

设 $X,Y$ 为赋范空间， $T:X\to Y$ 为有界线性算子。若 $T$ 把 $X$ 中每个有界集映为 $Y$ 中相对紧致的集合，即其像的闭包紧致，则称 $T$ 为紧算子。等价地，只需检查闭单位球 $B_X=\{x:\|x\|\le1\}$ 的像是否相对紧致。

从有界集像的相对紧致性和有界列的子列刻画出发，分析有限秩逼近与弱收敛，借助 Riesz 表示定义伴随、自伴和正算子，并严格证明紧自伴算子的非零谱点、有限重数与唯一可能聚点等局部谱性质。

以开覆盖定义紧致性并证明连续像保持紧致、Hausdorff 空间中的紧集闭；以分离和闭开集刻画连通性，严格区分连通与道路连通，再比较 T1、Hausdorff、正则和正规公理及其反例。

若集合 $K\subseteq X$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖，则称 $K$ 紧致。若 $K$ 中每个数列都有一条收敛到 $K$ 内一点的子列，则称 $K$ 序列紧致。

用近端算子处理不可微正则项，并把梯度步骤与结构化收缩组合。

设 $F:M^m\to N^n$ 光滑。 - 若每个 $p$ 处 $\mathrm dF_p$ 都是单射，则 $F$ 是浸入，必有 $m\le n$ ； - 若每个 $p$ 处 $\mathrm dF_p$ 都是满射，则 $F$ 是浸没，必有 $m\ge n$ ； - 若 $F$ 是浸入，并且 $F:M\to F(M)$ 对子空间拓扑是同胚，则 $F$ 是光滑嵌入。 嵌入的像称为 $N$ 的嵌入子流形。浸入只控制局部一阶行为，不要求单射，也不阻止远处的点在像中相交。

给定随机样本 $X_1,\ldots,X_n$ ，经验分布函数为 $F_n(t)=\frac1n\sum_{i=1}^n\mathbf 1_{\{X_i\le t\}}.$ 对固定样本， $F_n$ 是右连续的非降阶梯函数；每个观测贡献 $1/n$ 的跳跃，重复值使同一点的跳幅相加。

设 $f$ 在 $z_0$ 的邻域内定义。若任意两条在 $z_0$ 相交且切向量非零的光滑曲线，经 $f$ 映射后仍有非零切向量，并保持它们的有向夹角，就称 $f$ 在 $z_0$ 保角。 若 $f$ 在 $z_0$ 全纯，则它在 $z_0$ 保角当且仅当 $f'(z_0)\ne0$ 。这里采用保持定向的约定；共轭映射虽保持无向夹角，却反转定向，不属于全纯保角映射。

若 $\mathbb E[|X|^k]<\infty$ ，则第 $k$ 阶原点矩记为 $m_k=\mathbb E[X^k].$ 若二阶矩有限，令 $\mu_X=\mathbb E[X]$ ，方差与标准差为 $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.$

一个 $m\times n$ 实矩阵是按 $m$ 行、 $n$ 列排列的实数数组 $A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}.$ 两个矩阵相等，当且仅当形状相同，并且每个对应位置的元素相等。

从行列内积和映射复合理解矩阵乘法，明确不可交换性与维度匹配条件。

设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 、 $B\in\mathbb R^{n\times p}$ 。乘积 $AB\in\mathbb R^{m\times p}$ 的元素定义为 $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$ 等价地， $AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列。

矩阵 $A$ 的零空间是齐次方程全部解组成的子空间 $\mathcal N(A)=\{\mathbf x\in\mathbb R^n:A\mathbf x=\mathbf0\}.$ 其维数称为零化度，记作 $\operatorname{nullity}(A)$ 。非齐次系统若有一个特解 $\mathbf x_p$ ，则全部解恰为 $\mathbf x_p+\mathcal N(A)$ 。

用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。

从矩阵的形状、索引和分块结构出发，以列的线性组合和映射复合推导矩阵乘法，再建立单位矩阵、逆矩阵与正交矩阵的基本性质。

同形矩阵按对应元素相加，标量乘法也逐元素进行： $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, \qquad (cA)_{ij}=ca_{ij}.$ 转置交换行列。若 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ ，则 $A^\mathsf T\in\mathbb R^{n\times m}$ ，并且 $(A^\mathsf T)_{ij}=a_{ji}.$

掌握矩阵加法、数乘、转置和分块操作，并跟踪各运算对矩阵形状的要求。

对可积函数 $f,g$ ，定义 $(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)\,\mathrm dt.$ 当 $f,g\in L^1(\mathbb R)$ 时，卷积几乎处处有定义，且 $\lVert f*g\rVert_1\le\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1$ 。

一族 $k_\varepsilon\in L^1(\mathbb R)$ 若满足 $\int k_\varepsilon=1$ ，其绝对积分一致有界，并且对任意 $\delta>0$ 有 $\int_{|x|>\delta}|k_\varepsilon(x)|\,\mathrm dx\longrightarrow0 \qquad(\varepsilon\to0),$ 则称为卷积近似恒等族。它把质量逐步集中到原点；在适当的 $L^p$ 或连续性条件下， $k_\varepsilon*f$ 逼近 $f$ 。

若存在可积非负函数 $f_X$ ，使每个 Borel 集 $B$ 都满足 $\mathbb P(X\in B)=\int_B f_X(x)\,\mathrm dx,$ 则 $X$ 的分布关于 Lebesgue 测度绝对连续， $f_X$ 称为概率密度。归一化条件为 $\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,\mathrm dx=1.$

对实数 $u$ ，绝对值定义为 $|u|=\begin{cases} u,&u\ge0,\\ -u,&u<0. \end{cases}$ $|u|$ 是 $u$ 到原点的距离， $|x-a|$ 是数轴上 $x$ 与 $a$ 的距离。

若开集族 $\mathcal U=\{U_i:i\in I\}$ 满足 $X=\bigcup_{i\in I}U_i$ ，则称它是 $X$ 的开覆盖。若存在有限指标 $i_1,\ldots,i_n$ 仍使 $X=U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_n},$ 则称这些成员构成有限子覆盖。若 $X$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖，就称 $X$ 紧致。子集 $K\subseteq X$ 紧致，是指它配子空间拓扑后紧致；等价地，每个由 $X$ 中开集覆盖 $K$ 的族都有有限成员仍覆盖 $K$ 。

集合 $U\subseteq\mathbb R^n$ 称为开集，如果每个 $\mathbf x\in U$ 都存在 $r>0$ ，使 $B_r(\mathbf x)\subseteq U$ 。集合 $C$ 称为闭集，如果补集 $\mathbb R^n\setminus C$ 是开集；等价地，在欧氏空间中， $C$ 包含所有由 $C$ 中收敛点列得到的极限。 若某个开球完全包含在集合内，该点是内点；若任意开球都同时碰到集合及其补集，该点是边界点。集合的所有边界点组成 $\partial C$ 。

给定中心 $\mathbf a\in\mathbb R^n$ 和半径 $r>0$ ，以 $\mathbf a$ 为中心的开球是 $B_r(\mathbf a) =\{\mathbf x\in\mathbb R^n:\lVert\mathbf x-\mathbf a\rVert<r\}.$ 去掉中心得到穿孔邻域 $B_r(\mathbf a)\setminus\{\mathbf a\}$ 。研究 $\mathbf x\to\mathbf a$ 的极限时排除中心，因为极限描述的是邻近点的函数值，不要求先知道 $f(\mathbf a)$ 。

一项可复核的计算至少区分五类误差： 1. 连续模型对真实系统的简化产生建模误差； 2. 参数和传感器读数的有限精度产生数据误差； 3. 插值、求积以及时空网格产生离散误差； 4. 线性或非线性迭代未完全收敛产生代数误差； 5. 浮点运算产生舍入误差。 不同误差需要不同证据。残差主要检查代数方程是否解好，网格加密检查离散变化，重复测量或区间参数处理数据不确定性，独立物理实验才检验模型本身。

设 $(X,\mathcal A)$ 为可测空间， $f:X\to\overline{\mathbb R}$ 。若每个 Borel 集 $B\subseteq\overline{\mathbb R}$ 的逆像 $f^{-1}(B)$ 都属于 $\mathcal A$ ，则称 $f$ 可测。 对实值或扩展实值函数，只需检查每个 $a\in\mathbb R$ 的集合 $\{x\in X:f(x)>a\}\in\mathcal A.$ 把 $>$ 换成 $\ge$ 、 $<$ 或 $\le$ 也给出等价判据。

按方程结构选择一阶解析方法：对可分离方程保存平衡解，对线性方程构造积分因子，对恰当方程恢复势函数，并以 Bernoulli 与齐次代换说明如何把新形式化归为已知类型。