公式索引

变量

$\nabla f$

函数在当前位置的梯度，单位：不适用

$\mathbf{u}$

考察方向，单位：不适用

$x$

在“方向导数与梯度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：梯度
• 应用：导数与微分
• 边界：第二式来自令 $\mathbf h=t\mathbf u$ 后除以 $t$ 并取极限。
• 推导：M03 · 偏导数、方向导数与梯度

变量

$\gamma$

在“仿射参数测地线”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把联络、协变导数与测地线整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：非仿射重参数可能保留同一条几何轨迹，却不再满足右端为零的方程。
• 推导：M15 · Riemann 度量、测地线与曲率

变量

$X$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$s$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\mu$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$k$

在“非负简单函数的积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{k}$

用下标 k 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$A_{k}$

用下标 k 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把单调收敛、Fatou 引理与控制收敛整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：Lebesgue 理论先处理只取有限多个值的可测函数，再用单调极限逼近一般非负可测函数。
• 推导：M12 · Lebesgue 积分与收敛定理

变量

$T$

在“分布导数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\varphi$

在“分布导数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把冲激梳、Poisson 求和与频谱周期化整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：因为测试函数在远处为零，边界项消失。
• 推导：M09 · 广义函数、采样与 Poisson 求和

变量

$L$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\gamma$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把柯西积分定理及单连通性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：它最初看似只是两个实线积分的组合，却因全纯性而出现强烈约束：在没有奇点和拓扑障碍时，改变路径不会改变积分；沿闭路的积分为零；反过来，一个闭合边界上的函数值能够决定边界内部的函数值乃至全部导数。
• 推导：M13 · Cauchy 定理与积分公式

变量

$F$

在“概率测度的三条公理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把加法公式、容斥与有限可加性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这一区分也解释了为什么不能把结果值直接当作概率。
• 推导：M05 · 概率公理与组合概率

变量

相关概念

适用与边界

• 应用：把条件化、独立性与联合分布整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：抽样是否放回决定独立性；工厂来源是否可见决定是否条件化；总缺陷数和缺陷比例虽然只差一个常数，却有不同单位；中心极限定理近似需要正确的中心与尺度，而整数计数用连续正态分布近似时还要处理半单位连续性校正。
• 推导：M05 · 概率模型、随机变量与极限定理综合复习

变量

$p_{X}$

给取值 x 分配概率权重，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

$S_{X}$

用下标 X 区分 S 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把离散分布、连续密度与变量变换整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：反过来，任何满足单调不减、右连续以及两端极限为零和一的实函数，都唯一确定一个实值概率分布。
• 推导：M05 · 随机变量与分布

变量

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$t$

在“高阶线性微分方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“高阶线性微分方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“高阶线性微分方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{n-1}$

用下标 n-1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{1}$

用下标 1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{0}$

用下标 0 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$g$

在“高阶线性微分方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把常系数方程的特征根整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若首项系数在某点为零，该点可能是奇点，不能直接套用普通点附近的结论。
• 推导：M08 · 高阶线性方程与常系数方法

变量

$p$

在“根与重数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“根与重数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“根与重数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“根与重数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“根与重数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把因式分解、根与重数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：只试若干数值不能证明两个高次多项式恒等；系数比较或完整展开才覆盖所有实数输入。
• 推导：M01 · 多项式、因式分解与有理式

变量

$f$

在“孤立奇点处的留数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“孤立奇点处的留数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$c_{-1}$

用下标 -1 区分 c 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把留数定理与闭合路径选择整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：挖去每个奇点周围的小圆，剩余多连通区域上可用 Cauchy 定理；内边界相对该区域取顺时针方向。
• 推导：M13 · 孤立奇点、Laurent 级数与留数

变量

$L$

在“弧长与弧长元”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“弧长与弧长元”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把第一类与第二类曲线积分整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若一整段参数都映到同一点，或者在正长度参数区间上无限次回扫，就不能直接套用正则曲线公式。
• 推导：M03 · 曲线积分与曲面积分

变量

$A$

在“集合的外延相等”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$B$

在“集合的外延相等”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“集合的外延相等”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把映射的单射、满射与双射整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：成员关系与子集关系不能互换。
• 推导：M00 · 集合、映射与关系

变量

$f$

在“几乎处处等价与 Lp 空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“几乎处处等价与 Lp 空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\mu$

在“几乎处处等价与 Lp 空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把乘积测度、Tonelli 与 Fubini 定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M12 · Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理

变量

$i$

在“加法原理、乘法原理与双射计数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“加法原理、乘法原理与双射计数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$A_{i}$

用下标 i 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把排列、组合与多重集合整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M07 · 计数原理、容斥与鸽巢原理

变量

$\theta$

在“检验函数、两类错误与功效”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\Theta_{0}$

用下标 0 区分 Theta 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$E_{\theta}$

用下标 theta 区分 E 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\varphi$

在“检验函数、两类错误与功效”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把第一类错误、第二类错误与功效整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M06 · 假设检验、功效与多重比较

变量

$h$

在“解集、符号区间与图像交点”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“解集、符号区间与图像交点”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“解集、符号区间与图像交点”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“解集、符号区间与图像交点”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a_{i}$

用下标 i 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$m_{i}$

用下标 i 区分 m 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$j$

在“解集、符号区间与图像交点”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$b_{j}$

用下标 j 区分 b 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$n_{j}$

用下标 j 区分 n 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把函数图像和方程解的互译整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$-2$ 和 $2$ 使分子为零，可以纳入；$1$ 使原式无定义，不能纳入。
• 推导：M01 · 代数、函数与解析几何综合复习

变量

$A$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$B$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$j$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$k$

在“矩阵乘法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“矩阵乘法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a_{ik}$

用下标 ik 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$b_{kj}$

用下标 kj 区分 b 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把矩阵乘法、列组合与映射复合整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M04 · 矩阵及其运算

变量

$N$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把解空间、零空间与秩-零化度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：阶梯形的主元列位置能告诉我们应从原矩阵选择哪些列作为 $\operatorname{Col}(A)$ 的基；不能拿最简阶梯形中的主元列替代原列。
• 推导：M04 · 线性方程组的解结构

变量

$x$

在“卷积近似恒等族”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\delta$

在“卷积近似恒等族”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$k_{\varepsilon}$

用下标 varepsilon 区分 k 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\varepsilon$

在“卷积近似恒等族”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把卷积定理、相关与滤波整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：由有限采样计算离散卷积时，还需区分线性卷积、循环卷积和边界填充；连续定理本身不替代离散实现的索引检查。
• 推导：M09 · 傅里叶变换与卷积