公式索引

变量

$u$

在“绝对值与距离”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把绝对值方程的分区求解整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：先判断右侧常数的符号，能够避免套用不适用的区间公式。
• 推导：M01 · 方程、不等式与绝对值

变量

$X$

在“开覆盖、子覆盖与紧致空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$U_{i}$

用下标 i 区分 U 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$U_{i}$

用下标 i 区分 U 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把序列紧致、局部紧致与度量条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：无限集合是否紧致不能由“大小”判断。
• 推导：M15 · 紧致性、连通性与分离公理

变量

$y$

在“可分离方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“可分离方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“可分离方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“可分离方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把恰当方程和势函数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个论证也明确了 $h(y)\ne0$ 的适用范围。
• 推导：M08 · 可分离、线性与恰当方程

变量

$L$

提供需要最小化的标量目标，单位：不适用

$x$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\lambda$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\nu$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\lambda_{i}$

用下标 i 区分 lambda 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$g_{i}$

用下标 i 区分 g 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$j$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\nu_{j}$

用下标 j 区分 nu 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$h_{j}$

用下标 j 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $g_i(x^\star)<0$，点到该边界尚有余量，足够小的局部移动不会首先撞上它；互补松弛于是迫使对应乘子为零。
• 推导：M11 · 约束优化、KKT 条件与对偶性

变量

$f$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$c$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把导数符号、单调区间与极值整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：证明的实质是从原函数中减去连接端点的直线，使问题退化为相同端点值的情形。
• 推导：M02 · 中值定理与导数应用

变量

$X$

离散随机变量，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$p_{X}$

给取值 x 分配概率权重，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：随机变量与概率分布
• 应用：期望、方差与协方差
• 边界：对称截断积分的主值为零，不能替代有限期望。
• 推导：M05 · 期望、方差与协方差

变量

$i$

在“黎曼定积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“黎曼定积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\xi_{i}$

用下标 i 区分 xi 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\Delta$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x_{i}$

用下标 i 区分 x 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$I$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把微积分基本定理的两部分整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不同取样规则可以有不同收敛速度，但只要网格趋于零，极限必须一致。
• 推导：M02 · 定积分与累积

变量

$h_{2}$

用下标 2 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把一阶算法的收敛假设和复杂度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：凸集、凸函数与次梯度 说明局部结论何时升级为全局结论，并处理不可微边界。
• 推导：M11 · 最优化与信息论综合复习

变量

$q$

在“练习”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“练习”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$V$

在“练习”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“练习”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把连续映射、开集原像与同胚整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这里必须使用 $f$ 连续与商拓扑；仅有集合层面的因子化不能推出连续性。
• 推导：M15 · 拓扑空间、基与连续映射

变量

$A$

在“两个事件的独立性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$B$

在“两个事件的独立性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把全概率分解与贝叶斯更新整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个定义即使某个事件概率为零仍然适用。
• 推导：M05 · 条件概率、独立性与贝叶斯公式

变量

$a_{0}$

用下标 0 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{1}$

用下标 1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{2}$

用下标 2 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把可数集的编码和对角论证整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：例如依次列出 $0,2,4,\ldots$ 不能证明所有整数可数，因为负整数和奇数从未出现。
• 推导：M00 · 有限性、可数性与基本代数结构

变量

$Y$

构成联合分布或条件分布的第二个变量，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

$\beta$

在“满列秩线性模型”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“满列秩线性模型”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把残差诊断、方差分析与显著性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：三者不能互相替代：对任意数值矩阵都可以最小化残差平方和；只有把响应看成随机变量并说明条件均值与条件方差，才能讨论估计量的偏差和方差；要使用有限样本精确的 t、F 分布，还必须再加入正态误差条件。
• 推导：M06 · 线性模型中的统计推断

变量

$s$

在“命题的对象、条件与结论”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$S$

在“命题的对象、条件与结论”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$c$

在“命题的对象、条件与结论”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“命题的对象、条件与结论”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$E$

在“命题的对象、条件与结论”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“命题的对象、条件与结论”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把集合、映射与关系的串联整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：”若不先说明学生集合、课程集合和“通过”关系，句子无法进入数学推理。
• 推导：M00 · 数学语言与证明综合复习

变量

$x$

在“命题结构与证明方法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“命题结构与证明方法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把反证法中的否定与矛盾整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：全称命题不能靠有限样例完成，存在命题却只需一个合法见证；否定全称命题只需反例，否定存在命题则要排除全部候选。
• 推导：M00 · 直接证明、反证法与构造法

变量

$P$

在“命题逻辑的德摩根律”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$Q$

在“命题逻辑的德摩根律”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把量词、否定与等价变形整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个例子同时说明，检验若干成功样例不能证明全称蕴含；直接代数推导覆盖了全部整数。
• 推导：M00 · 命题、量词与逻辑联结词

变量

$T$

在“挠元素与挠子模”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$M$

在“挠元素与挠子模”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“挠元素与挠子模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“挠元素与挠子模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$R$

在“挠元素与挠子模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把有限生成模的矩阵表示整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $R$ 是主理想整环，则有限生成模能被结构定理精确分成自由部分与挠部分；换成一般环，这个结论不再自动成立。
• 推导：M14 · 模、线性表示与结构定理

变量

$x$

在“内积空间与 Hilbert 空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把最佳逼近和正交投影定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若采用“第二个变量线性”的教材约定，Riesz 表示和伴随公式中的位置要相应交换，不能混用。
• 推导：M16 · Hilbert 空间、正交投影与对偶

变量

$x$

在“偏序集、格与布尔代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“偏序集、格与布尔代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“偏序集、格与布尔代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把布尔代数的运算和对偶律整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：格也不要求存在补元；即使一个有界格中的每个元素都有补元，缺少分配律时仍不能称为布尔代数。
• 推导：M07 · 偏序集、格与布尔代数

变量

$C$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

$\vartheta$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$L$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$U$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把正态总体均值和方差的区间整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：某次抽样得到 $[1.42,2.18]$ 后，频率学模型中的 $\theta$ 与两个端点都已经固定；此时应报告“该方法在给定模型下有 $95\%$ 的长期覆盖率”，不能改写成“$\theta$ 有 $95\%$ 的概率位于这个已实现区间”。
• 推导：M06 · 置信区间与枢轴量

变量

$x$

在“平衡点与稳定性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“平衡点与稳定性”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“平衡点与稳定性”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把非线性系统的线性化判别整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：平面线性中心的邻近轨线围绕原点闭合，原点稳定却不吸引；一维方程 $\dot x=-x^3$ 的原点既稳定又吸引，但收敛是代数速度，不能由此断言指数稳定。
• 推导：M08 · 稳定性、Lyapunov 方法与分岔