交互实验室

步骤 60 / 60速度

A(t)e_1

A(t)e_2

A(t)v

变换后的单位面积 1.42

A(t)\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=1A(t)e_1+1A(t)e_2=\begin{bmatrix}1.80\\0.85\end{bmatrix}

读取当前图形说明

当前插值矩阵为 [1.25, 0.55, -0.20, 1.05], 行列式与单位正方形的有向面积倍率均为 1.423，普通面积倍率为 1.423，秩为 2，方向保持。第一基向量终点 (1.25, -0.20)，第二基向量终点 (0.55, 1.05)。

键盘：空格播放或暂停，左右方向键单步，Home 重置。

目标矩阵行列式为 1.423；有向面积保持正号。

模型与操作说明

观察目标: 比较二维矩阵对网格、标准基和单位正方形有向面积的共同作用。
数学模型: 矩阵按 $A(t)=(1-t)I+tA$ 插值。两支基向量是 $A(t)$ 的两列， $\det A(t)$ 表示有向面积倍率， $|\det A(t)|$ 表示面积倍率。
假设与适用范围: 矩阵为实 $2\times2$ 矩阵，作用对象是欧氏平面中的列向量。
矩阵按元素在 $I$ 与 $A$ 之间插值。中间矩阵可能不可逆，也可能改变长度和方向。
操作步骤: 选择单位、旋转、缩放、剪切、反射、投影、秩一或零矩阵。
播放或单步改变 $t$ ，比较基向量终点、网格和 $\det A(t)$ 。
在奇异点与方向翻转前后读取秩、有向面积和普通面积，并导出当前图形复核。
预期现象: $\det A>0$ 时方向保持， $\det A<0$ 时有向面积变号， $\det A=0$ 时平面压缩到直线或原点。
投影矩阵满足 $A^2=A$ ；秩一投影和零矩阵的二维面积倍率均为零。
计算说明: 二维线性映射保持原点，直线的像是直线或点。
旋转预设只指定终点矩阵，中间的插值矩阵通常还会产生缩放。
相关正文: 线性映射及其矩阵表示

二维线性变换

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