交互实验室

步骤 60 / 60速度

读取当前图形说明

当前插值矩阵为 [1.25, 0.55, -0.20, 1.05], 行列式与单位正方形的有向面积倍率均为 1.423，普通面积倍率为 1.423，秩为 2，方向保持。第一基向量终点 (1.25, -0.20)，第二基向量终点 (0.55, 1.05)。

键盘：空格播放或暂停，左右方向键单步，Home 重置。

目标矩阵行列式为 1.423；有向面积保持正号。

科学说明

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 比较二维矩阵对网格、标准基和单位正方形有向面积的共同作用。
数学模型: 动画使用 A(t)=(1−t)I+tA。两支基向量是 A(t) 的两列，det A(t) 是有向面积倍率，|det A(t)| 是普通面积倍率。
假设与适用范围: 矩阵为实 2×2 矩阵，作用对象是欧氏平面中的列向量。
逐元素矩阵插值只表示从 I 到 A 的一条路径，不保证中间态保持旋转、反射或可逆性。
操作步骤: 选择单位、旋转、缩放、剪切、反射、投影、秩一或零矩阵。
播放或单步改变 t，比较基向量终点、网格和 det A(t)。
在奇异点与方向翻转前后读取秩、有向面积和普通面积，并导出当前图形复核。
预期现象: det>0 时方向保持，det<0 时有向面积变号，det=0 时平面压缩到直线或原点。
投影矩阵满足 A²=A；秩一投影和零矩阵的二维面积倍率均为零。
数值验证: 确定性测试覆盖单位、旋转、对角缩放、剪切、反射、秩一投影和零矩阵。
测试分别核对插值端点、矩阵列与基向量、det、有向面积、秩和投影幂等性。
局限: 实验只处理二维线性映射，不展示平移或一般非线性变形。
旋转预设的中间矩阵通常不是纯旋转；动画路径不能作为矩阵几何分解的证明。
相关正文: 线性映射及其矩阵表示：从核与像到换基

二维线性变换

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