交互实验室

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解析 ∇f·u: 0.588
中心差分: 0.588
绝对误差: 8.81e-13
‖∇f‖: 1.210
∇f 向量: (0.98, -0.71)
u 单位向量: (0.91, 0.42)
当前角度: 25°

读取当前图形说明

曲面 f(x,y)=0.45x²+0.75y²+0.35xy。观察点 (1.4, -0.8) 的梯度向量为 (0.98, -0.71)，模长 1.21。当前单位方向向量为 (0.91, 0.42)。两向量的内积 ∇f·u 是标量方向导数 0.5881，中心差分为 0.5881，绝对误差 8.81e-13。沿当前方向移动时函数值上升。

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∇f 与 u 是向量，内积 ∇f·u 是标量方向导数。沿当前方向移动时函数值上升。中心差分核对的绝对误差为 8.81e-13。

模型与操作说明

观察目标: 在同一点比较梯度向量、单位方向向量与标量方向导数，并用差分独立复算。
数学模型: 我们计算曲面的解析梯度，并用 $D_u f(x)=\nabla f(x)\cdot u$ 求方向导数，其中 $\|u\|=1$ 。中心差分 $\frac{f(x+hu)-f(x-hu)}{2h}$ 用于比较数值误差。
假设与适用范围: 曲面在观察点附近可微，最陡上升方向使用标准欧氏内积和对应范数定义。
方向向量必须非零；差分步长相对观察点尺度选取。
操作步骤: 选择椭圆碗面、鞍面或耦合二次面，并调整观察点。
旋转单位向量 $u$ ，比较 $\nabla f$ 、 $\nabla f\cdot u$ 、中心差分和绝对误差。
将 $u$ 与 $\nabla f$ 同向或反向对齐，观察方向导数的最大值与最小值。
预期现象: 梯度是向量，方向导数是内积得到的标量；驻点的梯度和全部方向导数均为零。
在欧氏内积下，单位方向与梯度同向时方向导数等于 $\|\nabla f\|$ 。
计算说明: 曲面均为平滑二次示例；不可微点和非欧氏度量需要另行定义方向导数与最陡方向。
箭头表示方向，各曲面的屏幕长度采用独立缩放。
相关正文: 偏导数、方向导数与梯度

方向导数与梯度场

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