交互实验室

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解析 ∇f·u: 0.588
中心差分: 0.588
绝对误差: 8.81e-13
‖∇f‖: 1.210
∇f 向量: (0.98, -0.71)
u 单位向量: (0.91, 0.42)
当前角度: 25°

读取当前图形说明

曲面 f(x,y)=0.45x²+0.75y²+0.35xy。观察点 (1.4, -0.8) 的梯度向量为 (0.98, -0.71)，模长 1.21。当前单位方向向量为 (0.91, 0.42)。两向量的内积 ∇f·u 是标量方向导数 0.5881，中心差分为 0.5881，绝对误差 8.81e-13。沿当前方向移动时函数值上升。

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∇f 与 u 是向量，内积 ∇f·u 是标量方向导数。沿当前方向移动时函数值上升。中心差分核对的绝对误差为 8.81e-13。

科学说明

模型、验证与适用边界

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 在同一点比较梯度向量、单位方向向量与标量方向导数，并用差分独立复算。
数学模型: 对三个可微二次曲面计算解析梯度，并使用 Dᵤf(x)=∇f(x)·u；u 在计算前归一化。中心差分 [f(x+hu)−f(x−hu)]/(2h) 提供数值核验。
假设与适用范围: 曲面在观察点附近可微，最陡上升方向使用标准欧氏内积和对应范数定义。
方向向量必须非零；差分步长相对观察点尺度选取。
操作步骤: 选择椭圆碗面、鞍面或耦合二次面，并调整观察点。
旋转方向 u，比较 ∇f、∇f·u、中心差分和绝对误差。
将 u 对齐或反向对齐 ∇f，观察方向导数取得最大值或最小值。
预期现象: 梯度是向量，方向导数是内积得到的标量；驻点的梯度和全部方向导数均为零。
在欧氏内积下，单位方向与梯度同向时方向导数等于 ‖∇f‖。
数值验证: 三个曲面的解析梯度均与双侧中心差分比较，并显示当前点的误差。
测试覆盖任意长度方向的归一化、零方向拒绝、驻点与解析/数值方向导数一致性。
局限: 曲面均为平滑二次示例；不可微点和非欧氏度量需要另行定义方向导数与最陡方向。
箭头用于表达方向，屏幕长度不是跨曲面比较梯度模长的统一物理刻度。
相关正文: 偏导数、方向导数与梯度：从全微分到二阶判别

方向导数与梯度场

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