交互实验室

步骤 7 / 7速度

当前项数: 7
最高谐波阶数: n = 13
中点网格 RMSE: 0.170
周期: 2π

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方波的傅里叶部分和。目标是周期 2π 的奇函数，仅含正弦项；偶数阶系数为零，奇数阶 b_n=4/(πn)。当前显示 7 项，设定上限 7 项，最高谐波阶数 13，相位 0 度。2048 点半开周期中点网格 RMSE 为 0.170。已叠加 7 个非零正弦项，最高谐波阶数 n=13。跳跃点处部分和收敛到左右极限的中点；当前采样过冲约为跳跃幅度的 9.03%。增加项数会缩窄振荡区域，但极限峰值约为跳跃幅度的 8.95%，不会趋于零。

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已叠加 7 个非零正弦项，最高谐波阶数 n=13。跳跃点处部分和收敛到左右极限的中点；当前采样过冲约为跳跃幅度的 9.03%。增加项数会缩窄振荡区域，但极限峰值约为跳跃幅度的 8.95%，不会趋于零。

科学说明

模型、验证与适用边界

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 逐项比较方波、三角波和锯齿波的正弦级数、部分和误差与间断点附近行为。
数学模型: 三类目标均取 2π 周期：方波只含奇次 4/(πn)，三角波含交替奇次 8/(π²n²)，锯齿波含全频 2(−1)ⁿ⁺¹/(πn)。
假设与适用范围: 目标函数按奇函数约定定义；间断点取左右极限的中值 0。
RMSE 使用一个周期内不重复端点的 2048 个中点样本。
操作步骤: 选择目标波形，逐项增加谐波并读取最新项、最高频次和部分和。
调整相位，比较目标与部分和的同相平移及中点网格 RMSE。
在方波或锯齿波跳点附近观察振荡宽度与峰值超调。
预期现象: 三角波因系数按 1/n² 衰减而比含跳跃的波形更快平滑逼近。
Gibbs 振荡区随项数增加而变窄，但归一化峰值超调不会简单单调消失。
数值验证: 测试核对前三组系数、奇偶性、谐波顺序、2π 周期、跳点中值和相位等价性。
远离跳点的部分和、三角波误差衰减、重复端点排除和 Gibbs 超调均以确定性网格复算。
局限: 有限部分和不是原函数逐点处处收敛的证明，RMSE 也不描述跳点处的点态误差。
采样估计的峰值位置和超调只用于数值观察，不代替 Gibbs 常数的解析推导。
相关正文: 傅里叶级数：用正交谐波展开周期函数

傅里叶谐波叠加

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