术语从定义进入关系。

在参数曲面上累积密度或通量，明确面积元和法向方向的作用。

从正则参数化构造弧长与面积元，区分标量积分和有向的功、环流、通量，并在定义域条件下判断保守场与路径无关。

若存在一个线性映射 $Df(\mathbf x):\mathbb R^n\to\mathbb R$ ，使 $f(\mathbf x+\mathbf h) =f(\mathbf x)+Df(\mathbf x)[\mathbf h]+r(\mathbf h), \qquad \frac{r(\mathbf h)}{\lVert\mathbf h\rVert}\to0 \quad(\mathbf h\to\mathbf0),$ 则称 $f$ 在 $\mathbf x$ 可微。在线性空间采用标准欧氏内积时，存在唯一向量 $\nabla f(\mathbf x)$ 使 $Df(\mathbf x)[\mathbf h]=\nabla f(\mathbf x)^\mathsf T\mathbf h$ 。

以对称、同态核与商结构为主线串联群、环、域和模，再从不可约多项式、分裂域与自同构群进入有限 Galois 对应，准确说明根式可解与一般多项式公式的边界。

从二元运算的四条群公理出发，借助子群判别与生成子群组织循环结构，再以陪集等势和分割证明 Lagrange 定理，并辨明整除结论不能反向使用。

以保持运算的同态连接不同群，由核的正规性保证商群乘法良定义并证明第一同构定理，再用轨道、稳定子、共轭作用与 Burnside 引理完成对称计数。

设 $G,H$ 是群。映射 $\varphi:G\to H$ 若对所有 $a,b\in G$ 满足 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),$ 则称为群同态。双射同态称为同构；若存在同构 $G\to H$ ，记作 $G\cong H$ 。从群到自身的同构称为自同构。

若二元运算 $\ast$ 满足： 1. 对所有 $a,b,c\in G$ ，有 $(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)$ ； 2. 存在 $e\in G$ ，使每个 $a\in G$ 都满足 $e\ast a=a\ast e=a$ ； 3. 对每个 $a\in G$ ，存在 $a^{-1}\in G$ ，使 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$ ， 则称 $(G,\ast)$ 为群。若还满足 $a\ast b=b\ast a$ ，则称为交换群或 Abel 群。乘法记号下常省略 $\ast$ ；加法记号下，单位元写成 $0$ ，逆元写成 $-a$ 。

群 $G$ 在集合 $X$ 上的左作用是映射 $G\times X\to X, \qquad (g,x)\mapsto g\cdot x,$ 满足 $e\cdot x=x$ 与 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$ 。固定 $x\in X$ ，它的轨道和稳定子为 $G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}, \qquad G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}.$

比较抛物型热传导、双曲型波动和椭圆型 Laplace 方程所需的数据与传播机制，使用分离变量构造矩形区域中的模态解，并以能量、最大值原理和单位检查约束结论。

从单位圆定义正弦、余弦和正切，理解周期、相位与常用恒等式。

设被积函数在所讨论区间上有定义。 1. 若被积式含 $f(g(x))g'(x)$ ，优先检查换元 $u=g(x)$ ； 2. 若被积式是两类函数的乘积，且其中一项求导后简化、另一项容易积分，检查分部积分； 3. 若被积式是有理函数 $P(x)/Q(x)$ ，先做多项式除法，再按 $Q$ 的实因式进行部分分式分解。 这些规则给出候选路线，不保证得到初等原函数。每一步仍需对所得表达式求导，核验是否恢复原被积函数。

讨论依概率或几乎处处收敛时，随机变量序列 $Y_n$ 与随机变量 $Y$ 须定义在同一概率空间上。若对每个 $\varepsilon>0$ ， $\mathbb P(|Y_n-Y|>\varepsilon)\longrightarrow0,$ 则称 $Y_n\xrightarrow{\mathbb P}Y$ 。若 $\mathbb P\!\left(\left\{\omega: Y_n(\omega)\longrightarrow Y(\omega)\right\}\right)=1,$ 则称 $Y_n\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}Y$ 。依分布收敛只比较分布，不要求 $Y_n$ 与 $Y$ 定义在同一概率空间上；若在 $Y$ 的分布函数每个连续点 $x$ 上， $\mathbb P(Y_n\le x)\longrightarrow\mathbb P(Y\le x),$…

对步长 $h>0$ ，显式 Euler 法为 $y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n).$ 改进 Euler 法先作预测，再用起点和预测终点的平均斜率校正： $\widetilde y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),$ $y_{n+1}=y_n+\frac h2 \left[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},\widetilde y_{n+1})\right].$ 经典四阶 Runge–Kutta 法记作 RK4： $\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_1\right),\\ k_3&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_2\right),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}$

从自信息和期望定义离散熵，推导联合熵、条件熵与链式法则，用 KL 散度证明互信息非负，并区分对数底、支撑零值、离散熵和微分熵的适用边界。

量化随机变量的不确定性以及两个变量共享的信息，连接编码、推断和学习。

设非空集合 $A\subseteq\mathbb R$ 。若 $M\in\mathbb R$ 满足每个 $a\in A$ 都有 $a\le M$ ，则称 $M$ 是 $A$ 的上界。若上界 $s$ 还满足：对 $A$ 的任意上界 $M$ 都有 $s\le M$ ，则称 $s$ 是 $A$ 的上确界，记作 $s=\sup A.$ 实数的确界原理断言：每个非空且有上界的实数集合都有实数上确界。下界和下确界相应定义，且 $\inf A=-\sup(-A)$ 。

由 $S$ 生成的子群定义为 $\langle S\rangle =\bigcap_{S\subseteq H\le G}H.$ 它是包含 $S$ 的最小子群，也等于由 $S$ 中元素及其逆元组成的一切有限乘积的集合。若存在 $g\in G$ 使 $G=\langle g\rangle$ ，则称 $G$ 为循环群，并写 $\langle g\rangle=\{g^k:k\in\mathbb Z\}.$

固定 $a>0$ 且 $a\ne1$ 。对数函数 $L_a:(0,\infty)\to\mathbb R,\qquad L_a(x)=\log_a x$ 是 $E_a$ 的反函数。它的定义域是正实数，值域是全体实数，并满足 $\log_a1=0$ 、 $\log_a a=1$ 。

以极限、积分与累次积分的换序为主线，串联完备性、紧致性、一致收敛、可测性、单调收敛、Fatou 引理、控制收敛、Lp 控制及 Tonelli–Fubini 定理，并用反例定位每项假设的作用。

从上确界公理推出单调收敛和 Cauchy 完备性，再把序列语言推广到度量空间，建立紧致性、序列紧致性以及连续函数在紧集上的保值性质，并辨明闭有界判据的适用范围。

一个实向量空间 $V$ 是配备向量加法和实数标量乘法的集合。对任意 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in V$ 与 $a,b\in\mathbb R$ ，运算满足： 1. 加法封闭、交换且结合； 2. 存在零向量，并且每个向量存在加法逆元； 3. $a(\mathbf u+\mathbf v)=a\mathbf u+a\mathbf v$ ； 4. $(a+b)\mathbf u=a\mathbf u+b\mathbf u$ ； 5. $(ab)\mathbf u=a(b\mathbf u)$ 且 $1\mathbf u=\mathbf u$ 。

实值随机变量是可测函数 $X:(\Omega,\mathcal F)\longrightarrow (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)).$ 这里 $\mathcal B(\mathbb R)$ 是由开区间生成的 Borel $\sigma$ -代数。可测性要求每个 $B\in\mathcal B(\mathbb R)$ 的原像 $X^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega:X(\omega)\in B\}$ 都属于 $\mathcal F$ 。

固定底数 $a>0$ 且 $a\ne1$ 。指数函数 $E_a:\mathbb R\to(0,\infty),\qquad E_a(x)=a^x$ 的定义域是全体实数，值域是正实数。函数值永远为正，图像经过 $(0,1)$ 。

若开集 $\Omega$ 上存在 $C^1$ 标量函数 $\Phi$ ，使 $\mathbf F=\nabla\Phi$ ，则称 $\mathbf F$ 为保守场， $\Phi$ 为势函数。若 $\Omega$ 中任意两点之间的向量场线积分只依赖端点、不依赖所选分片正则路径，则称积分在 $\Omega$ 上路径无关。

幂级数的收敛圆是 $D(z_0,R)=\{z:|z-z_0|<R\}.$ 若函数 $f$ 在每一点附近都能写成某个收敛复幂级数，就称 $f$ 解析。级数中心、半径和有效区域是表示的一部分；不能把圆内等式越过最近的奇点继续代入。

函数 $Q(X,\theta)$ 若满足两点，则称为参数 $\theta$ 的枢轴量： 1. 它允许含待推断参数 $\theta$ ，但除样本和已知常数外不含其他未知量； 2. 在 $P_\theta$ 下， $Q(X,\theta)$ 的分布对所有 $\theta\in\Theta$ 相同并且已知。

连通且不含圈的有限简单无向图称为树。不要求连通、但每个连通分支都是树的图称为森林。若 $G=(V,E)$ 连通，子图 $T=(V,F)$ 是一棵树，则称 $T$ 是 $G$ 的生成树：它保留全部顶点，只留下维持连通所需的边。

设 $(a_n)$ 为实数列。若存在实数 $L$ ，使对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在正整数 $N$ ，当 $n\ge N$ 时恒有 $|a_n-L|<\varepsilon,$ 则称 $(a_n)$ 收敛到 $L$ ，记作 $\lim_{n\to\infty}a_n=L \quad\text{或}\quad a_n\to L.$ 不存在有限极限的数列称为发散数列。

以 ε-N 定义刻画数列收敛，建立极限运算、夹逼、单调有界与 Cauchy 判据，并把无穷级数解释为部分和数列的极限。

设命题 $P(n)$ 对每个整数 $n\ge n_0$ 都有确定真假。若能证明： 1. 基例 $P(n_0)$ 成立； 2. 对任意 $k\ge n_0$ ，由 $P(k)$ 成立推出 $P(k+1)$ 成立； 那么 $P(n)$ 对所有 $n\ge n_0$ 成立。第二步中的 $P(k)$ 称为归纳假设，它只在证明蕴含式时临时使用。

围绕类型、量词、集合、映射、关系和归纳组织完整论证，借助有限分类与商集映射案例训练形式化、证明闭环和反例定位。

从插值多项式和 Taylor 展开推导梯形、Simpson 及有限差分公式，比较复合误差阶与 Richardson 外推，并用截断误差和舍入、测量噪声的竞争解释步长为何不能无限减小。

给定观测 $x$ ，若模型具有联合 PMF 或相对于共同支配测度的联合密度 $p_\theta(x)$ ，则 $L(\theta;x)=p_\theta(x)$ 称为似然函数。最大似然估计量是任一满足 $\widehat\theta_{\mathrm{MLE}}(x) \in\operatorname*{arg\,max}_{\theta\in\Theta}L(\theta;x)$ 的选择；最大点可能不存在或不唯一。对数似然 $\ell(\theta;x)=\log L(\theta;x)$ 与似然具有相同最大点，只要所比较的似然值为正。

线性算子 $T:X\to Y$ 的图为 $\operatorname{Graph}(T)=\{(x,Tx):x\in X\}\subseteq X\times Y.$ 图闭等价于：只要 $x_n\to x$ 且 $Tx_n\to y$ ，就必有 $y=Tx$ 。

把随机变量作为到 Borel 实数的可测函数，依次建立推前分布、CDF、PMF、PDF、混合分布、变量变换以及联合、边缘、条件分布和独立性判据。

随机变量 $X,Y$ 独立，是指对所有 Borel 集 $A,B$ 都有 $\mathbb P(X\in A,Y\in B) =\mathbb P(X\in A)\mathbb P(Y\in B).$ 记为 $X\perp Y$ 。

用随机样本或小批量近似完整梯度，权衡计算成本、方差与泛化行为。

对具有有限二阶矩的随机向量 $\mathbf X=(X_1,\ldots,X_d)^{\mathsf T}, \qquad \boldsymbol\mu=\mathbb E[\mathbf X],$ 协方差矩阵定义为 $\Sigma =\operatorname{Cov}(\mathbf X) =\mathbb E[(\mathbf X-\boldsymbol\mu) (\mathbf X-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T}].$

若 $X_1,\ldots,X_n$ 相对于同一 $P_\theta$ 独立同分布，则称它们为来自 $P_\theta$ 的容量为 $n$ 的随机样本。统计量是形如 $T=T(X_1,\ldots,X_n)$ 的可测函数，它只能含样本和已知常数，不能含未知参数。把观测值代入后得到统计量的实现值 $t=T(x_1,\ldots,x_n)$ 。当同一抽样机制反复执行时， $T$ 在 $P_\theta$ 下形成的概率分布称为 $T$ 的抽样分布；该分布通常随 $\theta$ 与样本量 $n$ 改变。

集合族 $\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)$ 称为一个基，若： 1. 每个 $x\in X$ 至少属于一个 $B\in\mathcal B$ ； 2. 若 $x\in B_1\cap B_2$ 且 $B_1,B_2\in\mathcal B$ ，则存在 $B_3\in\mathcal B$ 使 $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$ 。 由 $\mathcal B$ 生成的开集是基元素的任意并。子基 $\mathcal S$ 只要求覆盖 $X$ ； $\mathcal S$ 中元素的有限交组成一个基，再取任意并得到生成拓扑。

从开集公理建立拓扑空间，借助邻域、基与子基描述局部结构，系统构造子空间、积空间和商拓扑，并证明开集逆像判据、复合连续性与同胚不变性。

设 $X$ 是集合。子集族 $\tau\subseteq\mathcal P(X)$ 若满足： 1. $\varnothing,X\in\tau$ ； 2. 对任意指标集 $I$ 及任意 $U_i\in\tau$ ，都有 $\bigcup_{i\in I}U_i\in\tau$ ； 3. 对任意正整数 $n$ 及 $U_1,\ldots,U_n\in\tau$ ，都有 $\bigcap_{k=1}^nU_k\in\tau$ ， 就称 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑， $(X,\tau)$ 是拓扑空间， $\tau$ 中元素称为开集。若 $X\setminus F$ 开，则 $F$ 称为闭集。

一个 $n$ 维拓扑流形 $M$ 是满足以下条件的拓扑空间： 1. $M$ 是 Hausdorff 空间； 2. $M$ 具有可数拓扑基； 3. 每个 $p\in M$ 都有开邻域 $U$ ，使 $U$ 与 $\mathbb R^n$ 的某个开集同胚。 同胚 $\varphi:U\to\varphi(U)\subset\mathbb R^n$ 称为坐标图， $U$ 是坐标邻域， $x^i=\pi_i\circ\varphi$ 是局部坐标函数。带边流形把第三项中的局部模型改为闭半空间 $\mathbb H^n=\{(x^1,\ldots,x^n):x^n\ge0\}$ 的相对开集。映到 $x^n=0$ 的点组成 $\partial M$ ，其余点组成内部 $M^\circ$ 。

以单位球面为贯穿案例，从拓扑基、紧致连通、坐标图和切空间出发，经微分形式与 Stokes 定理进入度量、测地线和曲率，并逐项区分坐标表达与几何不变量。

由特征方程进入特征空间、重数与对角化，比较缺陷矩阵和矩阵幂，再用实对称谱定理统一二次型，并综合核对线性代数全册结构。

设 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ 。若存在非零向量 $\mathbf v$ 和标量 $\lambda$ 使 则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $\mathbf v$ 是对应特征向量。所有满足该等式的向量连同零向量构成特征空间 $E_\lambda=\ker(A-\lambda I).$

从一阶近似与光滑性条件推导梯度下降，分析学习率、曲率、尺度、动量和停止准则如何共同决定收敛轨迹。

在条件事件概率为正时重新归一化概率空间，推导乘法公式、全概率与 Bayes 公式，并严格区分互斥、事件独立、两两独立、相互独立和条件独立。

若 $A,B\in\mathcal F$ 且 $\mathbb P(B)>0$ ，则在事件 $B$ 已发生的条件下，事件 $A$ 的条件概率定义为 $\mathbb P(A\mid B) =\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}.$