公式索引

变量

$y$

在“前向误差与后向误差”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“前向误差与后向误差”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“前向误差与后向误差”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把前向误差、后向误差与条件数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：大量正负项抵消时分母很小，求和问题本身就可能病态；改变求和次序、从小到大累加或补偿求和可以减少算法误差，却不能恢复输入中原本不存在的精度。
• 推导：M10 · 浮点数、条件数与误差传播

变量

$t$

在“切向量与切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\varphi$

在“切向量与切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\gamma_{1}$

用下标 1 区分 gamma 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\gamma_{2}$

用下标 2 区分 gamma 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把浸入、嵌入和子流形整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不能因为 $S^1$ 没有全局参数就否定这些映射的光滑性：逐点选择局部图即可。
• 推导：M15 · 流形、坐标图与切空间

变量

$T_{p}$

用下标 p 区分 T 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$S$

在“球面的切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$dF_{p}$

用下标 p 区分 dF 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v$

在“球面的切空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“球面的切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把切空间、微分形式和积分的协同整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个结论来自紧致性，而不是因为经纬线“在极点挤在一起”；后者只说明某一套坐标失效，不能排除其他单图候选。
• 推导：M15 · 拓扑与微分几何综合复习

变量

$E$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\Omega$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把保角映射和边界对应整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正实轴与正虚轴分别被送到单位圆的两段边界；原点只属于边界，不必用 $F'(0)=0$ 否定区域内部的保角性。
• 推导：M13 · 保角映射与解析延拓

变量

$f$

在“全微分、Hessian 与局部模型”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“全微分、Hessian 与局部模型”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“全微分、Hessian 与局部模型”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$o$

在“全微分、Hessian 与局部模型”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把面积、体积和质量的多重积分模型整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：局部模型把点和小增量映到近似变化；多重积分把区域上的密度映到总量；标量曲线或曲面积分把几何载体上的密度映到总量；功、环流与通量积分把带方向的场和有向载体映到带符号结果；积分定理则在满足正则性与取向条件时，把边界结果改写为内部微分量的积分。
• 推导：M03 · 多变量微积分与向量分析综合复习

变量

$f$

在“权函数与正交性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“权函数与正交性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$w$

在“权函数与正交性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“权函数与正交性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“权函数与正交性”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“权函数与正交性”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把施密特正交化和最佳平方逼近整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：在 $L^2[-\pi,\pi]$ 中，标准化正弦族 $\{\sin(nx)/\sqrt\pi\}_{n\ge1}$ 彼此正交，却不能表示非零偶函数。
• 推导：M09 · 正交函数系与 Fourier 系数

变量

$G$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把群作用、轨道与稳定子整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M14 · 群同态、商群与群作用

变量

$u_{t}$

用下标 t 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\kappa$

在“热、波动与 Laplace 方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u_{xx}$

用下标 xx 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把热方程的平滑与最大值原理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这三类方程最直观的差别体现在信息行为上：热扩散会平滑并衰减高频结构；波动以有限速度传播并在无耗散模型中保存能量；Laplace 方程没有时间方向，区域内部由整个边界共同约束。
• 推导：M09 · 热方程、波动方程与 Laplace 方程

变量

$Y_{n}$

用下标 n 区分 Y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$Y$

构成联合分布或条件分布的第二个变量，单位：不适用

$\varepsilon$

在“三种随机收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把几乎处处收敛与强大数定律整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有一个重要特例：若依分布极限是常数 $c$，则 $Y_n\xrightarrow d c$ 会推出 $Y_n\xrightarrow{\mathbb P}c$。
• 推导：M05 · 大数定律与中心极限定理

变量

$y_{n+1}$

用下标 n+1 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$y_{n}$

用下标 n 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$h$

在“三种显式单步方法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“三种显式单步方法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t_{n}$

用下标 n 区分 t 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把多步法、刚性方程与自适应控制整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不能只按函数调用数判断优劣：达到同一精度时，高阶方法通常允许更大步长；遇到刚性问题时，扩大显式方法的阶数也未必解除稳定性限制。
• 推导：M10 · 常微分与偏微分方程数值方法

变量

$s$

在“上界、上确界与确界原理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“上界、上确界与确界原理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把单调收敛、嵌套区间与柯西列整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：以有理数逐位截断 $\sqrt2$，所得数列的尾项可以任意接近，但极限不属于有理数。
• 推导：M12 · 实数完备性、紧致性与连续性

变量

$S$

在“生成子群与循环群”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$H$

在“生成子群与循环群”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$G$

在“生成子群与循环群”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把陪集、拉格朗日定理与指数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M14 · 群、子群与循环结构

变量

$f$

在“实形式傅里叶级数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“实形式傅里叶级数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{0}$

用下标 0 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$n$

在“实形式傅里叶级数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$b_{n}$

用下标 n 区分 b 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：傅里叶级数
• 应用：一维波动方程
• 边界：频率、振幅与相位共同决定波形，只有项数无法描述具体信号。
• 推导：M09 · 傅里叶级数、收敛与 Gibbs 现象

变量

$E_{a}$

用下标 a 区分 E 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“实指数函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“实指数函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把对数恒等式及换底公式整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$a=1$ 时 $1^x$ 恒为 $1$，仍能形成常函数，但它没有覆盖正实数的反函数，不能作为对数的底。
• 推导：M01 · 指数函数、对数函数与复合函数

变量

$z_{0}$

用下标 0 区分 z 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$R$

在“收敛圆与解析函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“收敛圆与解析函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把解析函数的泰勒展开整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：级数中心、半径和有效区域是表示的一部分；不能把圆内等式越过最近的奇点继续代入。
• 推导：M13 · 幂级数、初等复函数与局部表示

变量

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$L$

在“数列收敛的 ε-N 定义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“数列收敛的 ε-N 定义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把单调有界定理与极限夹逼整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不存在有限极限的数列称为发散数列。
• 推导：M02 · 数列极限与收敛判据

变量

$L$

在“似然与最大似然估计”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\theta$

在“似然与最大似然估计”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$p_{\theta}$

用下标 theta 区分 p 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把估计量的偏差、方差与一致性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：方法名称不能替代偏差计算。
• 推导：M06 · 点估计、充分性与信息量

变量

$T$

在“算子的图与闭图”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“算子的图与闭图”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“算子的图与闭图”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$Y$

在“算子的图与闭图”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把一致有界原理和算子族控制整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：两端 Banach 条件也不能随意删去。
• 推导：M16 · Hahn–Banach、开映射与一致有界原理

变量

$T$

在“随机样本、统计量与抽样分布”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$X_{1}$

用下标 1 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$X_{n}$

用下标 n 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把经验分布、次序统计量与抽样分布整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：的可测函数，它只能含样本和已知常数，不能含未知参数。
• 推导：M06 · 样本、统计量与抽样分布

变量

$A$

方阵，单位：不适用

$\mathbf{v}$

非零特征向量，单位：不适用

$\lambda$

对应特征值，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：特征值与特征向量
• 应用：矩阵
• 边界：定义排除零向量作为特征向量，因为零向量对任意 $\lambda$ 都满足等式，无法提供方向信息；特征空间为了保持子空间结构必须包含零向量。
• 推导：M04 · 特征值、特征向量、对角化与综合复习