公式索引

变量

$\boldsymbol{\theta}$

第 k 次迭代的模型参数，单位：由上下文确定

$\eta$

更新步长，单位：由上下文确定

$L$

目标损失，单位：由上下文确定

$k$

标记当前或下一次更新，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：梯度下降
• 应用：梯度
• 应用：损失函数
• 边界：训练损失、数据构造和模型结构决定目标究竟表达什么；优化器不能修复标签错误、数据泄漏或错误的任务定义。
• 推导：M11 · 一阶优化与梯度下降

变量

$g$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$k$

在“图像的平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把图像变换、复合与反函数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：定义域也随横坐标对应而改变，不能只移动几个特征点。
• 推导：M01 · 函数、变换与图像

变量

$\mathbf{y}$

输出向量，单位：不适用

$A$

变换矩阵，单位：不适用

$\mathbf{x}$

输入向量，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：线性变换
• 边界：同样的逻辑适用于多项式、函数和矩阵空间：只要一组基确定，记录基向量的像就足以恢复整个映射。
• 推导：M04 · 线性映射及其矩阵表示

变量

$I$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$T$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$H$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\xi$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把高斯求积和正交多项式整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：评价公式时不能只报告“理论阶数”，还要说明函数光滑性、步长、数据精度和误差测量方式。
• 推导：M10 · 数值积分与数值微分

变量

$a_{1}$

用下标 1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v_{1}$

用下标 1 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{k}$

用下标 k 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v_{k}$

用下标 k 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把线性组合、张成与线性无关整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：两个坐标数目相同但物理意义不同的记录不能自动相加；把位置与速度直接相加通常没有合理单位。
• 推导：M04 · 向量、坐标与线性组合

变量

$x$

在“一点处与集合上的连续性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“一点处与集合上的连续性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“一点处与集合上的连续性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把路径极限、累次极限与联合极限整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：边界点的极限只沿 $D$ 内的点接近。
• 推导：M03 · 多变量函数、极限与连续

变量

$F$

在“优化模型与可行域”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“优化模型与可行域”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“优化模型与可行域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“优化模型与可行域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g_{i}$

用下标 i 区分 g 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$h_{j}$

用下标 j 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把局部最优、全局最优与一阶条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：多个目标不能只并排列出后交给算法猜测优先级。
• 推导：M11 · 优化模型、可行域与最优性

变量

$E$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$v$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$V$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把路径、回路与连通性分解整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M07 · 图、路径、连通性与树

变量

$T_{p}$

用下标 p 区分 T 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$M$

在“余切空间与微分形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把形式的拉回和坐标不变性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这些操作由广义 Stokes 定理联系：内部的外微分积分等于边界上的原形式积分。
• 推导：M15 · 微分形式、外微分与 Stokes 定理

变量

$R_{T}$

用下标 T 区分 R 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\lambda$

在“预解集、谱与预解算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$T$

在“预解集、谱与预解算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$I$

在“预解集、谱与预解算子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把连续函数演算和投影值测度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个定义既包含普通特征值，也捕捉没有特征向量却仍不能稳定求解的连续谱现象。
• 推导：M16 · 谱、预解式与谱定理

变量

$\iota$

在“域与特征”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$F$

在“域与特征”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“域与特征”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把多项式整除、不可约性与分裂域整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M14 · 域扩张、多项式与有限域

变量

$L$

在“域自同构群与 Galois 群”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$K$

在“域自同构群与 Galois 群”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把同态核像和同构定理族整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：反过来，不能随意置换根；一个排列只有在延拓成保持加法、乘法与基域的域自同构时才属于 Galois 群。
• 推导：M14 · 群、环、域与 Galois 思想综合复习

变量

$\omega$

在“正常顶点着色与染色数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$G$

在“正常顶点着色与染色数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\chi$

在“正常顶点着色与染色数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把点覆盖、边覆盖与极值对偶整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：“不能直接加一条边”只说明极大。
• 推导：M07 · 匹配、覆盖与图着色

变量

$f_{n}$

用下标 n 区分 f 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“逐点收敛与一致收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“逐点收敛与一致收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“逐点收敛与一致收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把一致范数下的连续性保持整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：一致收敛要求先选定阶段，再让该阶段之后的所有函数同时在整个定义域上接近极限。
• 推导：M12 · 函数列、一致收敛与交换极限

变量

$I$

在“子环与双边理想”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“子环与双边理想”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“子环与双边理想”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$R$

在“子环与双边理想”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把理想、商环与同构定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这解释了为什么真理想不能同时是共享单位元的子环。
• 推导：M14 · 环、理想与商环

变量

$\imath_{b}$

用下标 b 区分 imath 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$b$

在“自信息与离散熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“自信息与离散熵”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把KL 散度、互信息与数据处理不等式整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：对一个概率为零的不可能结果，单独写自信息会得到 $+\infty$；但它在期望中的权重为零，极限约定使熵项为零。
• 推导：M11 · 熵、互信息与散度

变量

$x$

在“自治系统、平衡点与轨道”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“自治系统、平衡点与轨道”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把线性系统的矩阵指数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：同一条非平衡轨道不能在有限时间内自交：若轨道在两个时刻到达同一点，自治初值问题的唯一性会迫使之后的演化完全相同。
• 推导：M08 · 线性系统、矩阵指数与相平面

变量

$\Delta$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$u$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$u_{x}$

用下标 x 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u_{y}$

用下标 y 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$y$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$o$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$v$

在“Cauchy-Riemann 方程的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$v_{x}$

用下标 x 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v_{y}$

用下标 y 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把解析函数的调和实部和虚部整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：除以 $h$ 后余项趋于零，因此复差商趋于 $u_x+iv_x$。
• 推导：M13 · 复微分、Cauchy–Riemann 方程与全纯函数

变量

$u$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$v$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\alpha$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把对偶、投影与表示定理的联系整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：三个空间不能随意互换：$L^2$ 元素只是几乎处处等价类，点值 $u(0)$ 对一般 $L^2$ 元素没有定义；边界条件要通过 $H_0^1$ 的迹或由更光滑代表来解释。
• 推导：M16 · 泛函分析与算子理论综合复习

变量

$C$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$Q$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

相关概念

适用与边界

• 应用：把斯托克斯公式的边界定向整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：设 $D\subset\mathbb R^2$ 是有界正则区域，边界 $C=\partial D$ 由有限条互不相交的简单闭分片光滑曲线组成，并按正向取向。
• 推导：M03 · Green、Stokes 与 Gauss 定理