专题路线
从微分方程、数值离散与计算图中选取必要节点，进入物理约束学习、神经算子和科学验证。
具备多变量微积分、线性代数和基础神经网络知识，希望研究科学计算与机器学习交叉方法的学习者。
可微分物理、物理信息神经网络、神经算子与逆问题。
为一个含初值和边界条件的偏微分方程分别写出内部、初值、边界与数据残差，并说明各损失权重为何不能掩盖量纲差异。
比较固定网格上的点值回归与从输入函数到解函数的算子学习，并列出跨网格评估必须报告的误差和稳定性检查。
难度 3/5
方程 u'(x)+u(x)=0 满足 u(0)=1。取候选族 uₐ(x)=exp(-ax)，推导内部残差和边界残差，并求使两者同时为零的 a。说明自动微分在这一步计算什么。
先对 exp(-ax) 关于 x 求导；边界残差直接代入 x=0，内部残差保留为 x 的函数。
uₐ'(x)=-a exp(-ax)，所以内部残差 r(x)=(1-a)exp(-ax)。边界残差 b=uₐ(0)-1=0。由于指数函数不为零，r 对所有 x 为零当且仅当 a=1。自动微分计算的是候选函数对输入 x 的导数，并把该导数代入方程残差。
结果核验：令 a=1 后，r(x)=0 且 b=0；再令 a=0 可得 r(x)=1，说明残差公式能识别不满足微分方程的常数候选。
难度 4/5
周期区间上的热方程 uₜ=νuₓₓ 取初值 sin(2πx)，ν=0.1。写出 t=0.5 时的解析解，并给出用该解检查神经算子输出的相对 L2 误差方案。
正弦模态的二阶导数会带来 -(2π)²，时间振幅因此按 exp(-(2π)²νt) 衰减。
解析解为 u(x,t)=exp(-4π²νt)sin(2πx)。代入 ν=0.1、t=0.5，振幅为 exp(-0.2π²)，约等于 0.139。把同一网格上的预测值与解析值作差，计算其离散 L2 范数，再除以解析值的离散 L2 范数即可得到相对误差。
结果核验：t=0 时振幅恢复为 1；对解析式分别求 t 与 x 的导数可得 uₜ=-4π²νu、νuₓₓ=-4π²νu，两边一致。
