专题路线
从微分方程、数值离散与计算图中选取必要节点，进入物理约束学习、神经算子和科学验证。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
区分连续方程、离散求解器、数据观测与可学习模型各自承担的角色。
热方程、波动方程与 Laplace 方程：比较抛物型、双曲型与椭圆型方程的初边值数据，使用分离变量和本征函数展开构造解，并以能量衰减、能量守恒或最大值原理核对结果。
未开始常微分与偏微分方程数值方法：从 Euler 与 Runge–Kutta 时间推进进入有限差分离散，区分一致性、稳定性和收敛性，并比较显式格式的步长限制与隐式格式的线性求解成本。
未开始计算图、链式法则与局部导数：把复合函数表示为有向无环图，沿拓扑序计算前向值，并用局部 Jacobian 和链式法则组织导数。
未开始写出物理信息神经网络的方程残差、边界残差和数据残差，并检查量纲。
可微物理、自动微分与守恒约束：区分对离散模拟器求导和直接学习代理模型，推导切线或伴随梯度并检查单位、守恒和离散误差。
未开始物理信息神经网络与残差训练：把微分方程、初边值条件和观测写成复合损失，分析采样、尺度失衡、频谱偏差与残差不足。
未开始DeepONet 与算子逼近：用 branch net 编码输入函数、trunk net 编码查询位置，解释算子逼近、传感器选择和离散化依赖。
未开始比较有限维函数拟合与算子学习，说明网格变化时需要验证的泛化边界。
Fourier 神经算子与网格泛化：在函数空间中学习解算子，推导 Fourier 层并检查网格变化、频谱截断、边界条件和零样本超分辨率。
未开始逆问题、数据同化与不确定性：联合前向模型、观测算子、正则化与概率推断求解逆问题，区分参数、观测和模型不确定性。
未开始基准、外推边界与科学机器学习综合复习：综合可微模拟、PINN 与算子学习，以守恒、网格收敛、外推、成本和不确定性量化评价科学模型。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
为一个含初值和边界条件的偏微分方程分别写出内部、初值、边界与数据残差，并说明各损失权重为何不能掩盖量纲差异。
比较固定网格上的点值回归与从输入函数到解函数的算子学习，并列出跨网格评估必须报告的误差和稳定性检查。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 3/5
方程 u'(x)+u(x)=0 满足 u(0)=1。取候选族 uₐ(x)=exp(-ax)，推导内部残差和边界残差，并求使两者同时为零的 a。说明自动微分在这一步计算什么。
先对 exp(-ax) 关于 x 求导；边界残差直接代入 x=0，内部残差保留为 x 的函数。
uₐ'(x)=-a exp(-ax)，所以内部残差 r(x)=(1-a)exp(-ax)。边界残差 b=uₐ(0)-1=0。由于指数函数不为零，r 对所有 x 为零当且仅当 a=1。自动微分计算的是候选函数对输入 x 的导数，并把该导数代入方程残差。
结果核验：令 a=1 后，r(x)=0 且 b=0；再令 a=0 可得 r(x)=1，说明残差公式能识别不满足微分方程的常数候选。
难度 4/5
周期区间上的热方程 uₜ=νuₓₓ 取初值 sin(2πx)，ν=0.1。写出 t=0.5 时的解析解，并给出用该解检查神经算子输出的相对 L2 误差方案。
正弦模态的二阶导数会带来 -(2π)²，时间振幅因此按 exp(-(2π)²νt) 衰减。
解析解为 u(x,t)=exp(-4π²νt)sin(2πx)。代入 ν=0.1、t=0.5，振幅为 exp(-0.2π²)，约等于 0.139。把同一网格上的预测值与解析值作差，计算其离散 L2 范数，再除以解析值的离散 L2 范数即可得到相对误差。
结果核验：t=0 时振幅恢复为 1；对解析式分别求 t 与 x 的导数可得 uₜ=-4π²νu、νuₓₓ=-4π²νu，两边一致。